一個(gè)數(shù)學(xué)家的直覺(jué)

麗貝卡·戈德斯坦 著 唐璐 譯

選自《不完備性---哥德?tīng)柕淖C明和悖論》

如涉版權(quán)請(qǐng)聯(lián)系編輯微信@iwish89

哲學(xué)園鳴謝

老蟬原編錄入 轉(zhuǎn)載請(qǐng)?jiān)谖氖鬃⒚髡軐W(xué)園

本書(shū)其他選摘：

被流放的思想和靈魂---記20世紀(jì)兩大偉人！

何為柏拉圖主義？

維也納小組中的哥德?tīng)枺撼聊姆磳?duì)者

哥德?tīng)枮槭裁春芮撇黄鹁S特根斯坦,？

我們回到數(shù)學(xué)那獨(dú)一無(wú)二的撩人主題:通過(guò)演繹推理來(lái)尋求真理,堅(jiān)實(shí)地建立結(jié)論,使得關(guān)于世界本性的經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)不能顛覆它們。

一方面,最早從古希臘開(kāi)始,數(shù)學(xué)知識(shí)就被視為人類知識(shí)中最值得信任的領(lǐng)域,事實(shí)上是所有知識(shí)都應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)的真正典范:可靠而且不容置疑,簡(jiǎn)言之,被證明,。亳不奇怪,自柏拉圖以來(lái),方法論烏托邦者就極力主張數(shù)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)和方法應(yīng)當(dāng)盡可能被應(yīng)用到我們想要知道的一切領(lǐng)域,。

然而,另一方面,在挑剔的認(rèn)識(shí)論學(xué)者看來(lái),數(shù)學(xué)知識(shí)卻疑竇重重,其絕對(duì)的確定性讓烏托邦者膽氣橫生,在謹(jǐn)慎的人眼里卻值得懷疑。怎么可能讓一切知識(shí)都可靠而且不容置疑,簡(jiǎn)言之,被證明?也許,有些陰郁的認(rèn)識(shí)論學(xué)者會(huì)爭(zhēng)辯,這只不過(guò)因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)根本就不是真正的知識(shí);或許它只不過(guò)是根據(jù)約定規(guī)則玩的游戲,沒(méi)有告訴我們?nèi)魏问虑??！澳莾簺](méi)有那兒,那兒”,這是格特魯?shù)隆に固挂蜿P(guān)于她的出生地加利福利亞奧克蘭的著名言辭。至少對(duì)某些人來(lái)說(shuō),數(shù)學(xué)也是這樣,。

因此問(wèn)題是:確定性從何而來(lái)?數(shù)學(xué)確定性的根源是什么?經(jīng)驗(yàn)知識(shí)的基礎(chǔ)由感性知覺(jué)組成:我通過(guò)視覺(jué),、聽(tīng)覺(jué)觸覺(jué)、味覺(jué)和嗅覺(jué)直接感知的——或至少認(rèn)為的——外部世界,。感性知覺(jué)讓我們得以同那兒的物理實(shí)在相接觸,。數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)是什么呢?在數(shù)學(xué)中有類似于感性知覺(jué)的東西嗎？這個(gè)基礎(chǔ)由數(shù)學(xué)直覺(jué)組成?我們的直覺(jué)官能是我們同那兒的數(shù)學(xué)實(shí)在相接觸的途徑?或者那兒根本就沒(méi)有“那兒”?

數(shù)學(xué)證明必須以某處為出發(fā)點(diǎn),。通常證明從其他證明的結(jié)論開(kāi)始,然后從這里演繹出進(jìn)一步的結(jié)論,。但不是所有東西都是證出來(lái)的,否則我們從哪開(kāi)始呢?同經(jīng)驗(yàn)知識(shí)一樣，在數(shù)學(xué)中也必然有些是“被給定的”。通過(guò)什么途徑被給定?數(shù)學(xué)直覺(jué)通常被認(rèn)為是感性知覺(jué)的先驗(yàn)類似物,。

直覺(jué),不僅僅在數(shù)學(xué)中是棘手的玩意,。直覺(jué)被認(rèn)為是不用知道其他東西,我們就是了解它或知道有它的某種東西(當(dāng)然,有時(shí)候這個(gè)詞被用于更弱的情形,傳達(dá)一種含糊的感覺(jué),不確知。但是在認(rèn)識(shí)論爭(zhēng)論中它采用的是更強(qiáng)的意義,。)顯然直覺(jué)——或更精確點(diǎn),對(duì)直覺(jué)的主張——在人們之間多有不同;現(xiàn)在這個(gè)星球上有些地方人們正彼此殺戮,只是因?yàn)樗麄冎鲝埐煌闹庇X(jué),當(dāng)然不是數(shù)學(xué)直覺(jué),。真實(shí)的直覺(jué)都(重言式地)是真的(重言式地,因?yàn)樗鼈內(nèi)绻皇钦娴奈覀兙筒粫?huì)稱它們?yōu)椤罢鎸?shí)的”)。但是并不是所有獲得公認(rèn)的直覺(jué)都是真實(shí)的;當(dāng)一個(gè)人有了真實(shí)的東西他該如何確證呢?陰暗的動(dòng)機(jī)——去相信比如說(shuō)如果為真將有利于其自身地位的命題,、斷言自己種族天生優(yōu)越性的臭名昭著的命題——不僅到處都有而且善于掩飾自己,。覺(jué)得產(chǎn)生的信念直覺(jué)上顯而易見(jiàn),恰恰是因?yàn)槲覀儾幌胝曀鼈冋鎸?shí)而可疑的源頭,自已的私心和自尊心。

你可能會(huì)認(rèn)為在數(shù)學(xué)中關(guān)于信念的陰暗動(dòng)機(jī)極少,因?yàn)檫@里是Reine vernunft之塔的最頂層,遠(yuǎn)離瘋狂俗世,。盡管如此,在數(shù)學(xué)中我們也會(huì)被欺騙,。偶然因素會(huì)悄然潛入最純潔的數(shù)學(xué)推理,給我們呈現(xiàn)直覺(jué)上顯然其實(shí)本不顯然的命題——甚至根本都不是真的。

為了說(shuō)明“直覺(jué)”如何能不知不覺(jué)把我們引入歧途,想想為使數(shù)學(xué)抽象具體化而對(duì)草圖和示意圖的頻繁使用,。即使那些最敏銳的數(shù)學(xué)頭腦,這樣的具體化也是必不可少的,。比如說(shuō)希爾伯特——這個(gè)我們很快會(huì)看到極力想把最嚴(yán)格的規(guī)則強(qiáng)加于數(shù)學(xué)的人——曾寫(xiě)道:

如此看來(lái)幾何圖形是空間直覺(jué)的符號(hào)或助記符,也如此這般被所有數(shù)學(xué)家使用。有誰(shuí)不將雙不等式a>b>c與一條直線上依次三個(gè)點(diǎn)的圖形一起使用,作為“之間”思想的幾何圖形?當(dāng)要絕對(duì)嚴(yán)格證明基于函數(shù)連續(xù)性或點(diǎn)集稠密存在性的困難定理時(shí),有誰(shuí)不利用線段和相互包含的矩形?有誰(shuí)會(huì)無(wú)需三角形,、帶有圓心的圓或三條垂足交點(diǎn)的圖形?

如果說(shuō)即便是最嚴(yán)格的數(shù)學(xué)家也依賴這些對(duì)純粹理性的輔助那就很有可能草圖中某些偶然因素會(huì)被引人證明中;或者草圖會(huì)讓某些其實(shí)并不顯然的東西剛好顯得簡(jiǎn)單易見(jiàn),。

舉個(gè)例子,假如你想證明等腰三角形的底角相等,通過(guò)借助于下面的草圖1這似乎顯而易見(jiàn),用不著證明。又比如說(shuō)你想證明三角形所有的角都是銳角(小于90度),而由于你的頭腦里已經(jīng)有了這個(gè)“真理”,你就只畫(huà)滿足這一點(diǎn)的三角形草圖(草圖2),。

在其他思想領(lǐng)域也是一樣,人們會(huì)有對(duì)“直覺(jué)”的幻象,比如說(shuō),眾所周知的,道德標(biāo)準(zhǔn),。在道德標(biāo)準(zhǔn)中虛幻的直覺(jué)能在真實(shí)世界導(dǎo)致大災(zāi)難。愛(ài)因斯坦和哥德?tīng)枙?huì)在普林斯頓靜僻的小路散步,正是因?yàn)閷?duì)愛(ài)因斯坦的德國(guó)和哥德?tīng)柕膴W地利的很多人來(lái)說(shuō),正確的做法是把世界上所有雅利安國(guó)家的非雅利安因素都清除掉,。事情看上去會(huì)直覺(jué)顯然實(shí)際上卻完全錯(cuò)誤的領(lǐng)域,數(shù)學(xué)并不是唯一的,。但是數(shù)學(xué)似乎又是獨(dú)一無(wú)二的,因?yàn)樗?也只有它,似乎提供了凈化真理的方法:公理體系。像17世紀(jì)的斯賓諾莎,他在葡萄牙的猶太商家庭就是因?yàn)閷?dǎo)致愛(ài)因斯坦和哥德?tīng)柸テ樟炙诡D的類似原因搬到了阿姆斯特丹,毫不奇怪這樣的理性主義者會(huì)想將數(shù)學(xué)中的公理方法移植到道德領(lǐng)域,。推廣數(shù)學(xué)方法的嚴(yán)密性正是所謂的理性主義認(rèn)識(shí)論運(yùn)動(dòng)的目標(biāo),。但是在考慮推廣數(shù)學(xué)方法的可能性之前,首先要解決的問(wèn)題是:到底什么是公理體系,它又是如何獲得其令人稱羨的嚴(yán)密的呢?

公理(或“公理化”——我將不加區(qū)分地使用這兩個(gè)術(shù)語(yǔ))體系背后的思想是一些特定數(shù)學(xué)分支各種各樣的真理可以被組織成公理、推理規(guī)則和定理,。公理是體系的基本真理,直覺(jué)上顯然,。我們理解其意義是什么,而且那對(duì)于知道其為真顯得是充分的。除此以外它們不需要任何證明,。然后我們用保持命題為真的推理規(guī)則①來(lái)得到其他衍生自這些假定的不那么顯而易見(jiàn)的真理,、定理。

舉個(gè)例子,考慮數(shù)學(xué)中最簡(jiǎn)單的分支——算術(shù),。算術(shù)涉及自然數(shù)的結(jié)構(gòu)——自然數(shù)即計(jì)數(shù)數(shù)以及0——以及它們之間由加法,、乘法和后繼關(guān)系這些運(yùn)算所決定的關(guān)聯(lián),后繼關(guān)系將你從任意數(shù)字n帶到根據(jù)自然數(shù)序列緊跟著的那個(gè)數(shù)(即n 1)。所有其他的算術(shù)運(yùn)算,像減法和除法,都可以用這三項(xiàng)來(lái)定義,。

①推理規(guī)則是保持命題為真的完美規(guī)則,。祖輩(公理)為真很自然后輩(定理)就為真,。這樣,如果你知道所有x都是P,并且你還知道某個(gè)個(gè)體i是x,那么,通過(guò)所謂的“全稱例化”推理規(guī)則,你就能得出i是P,比如說(shuō),假定你確鑿地知道所有數(shù)學(xué)家都是在40歲之前做出他們最偉大的工作,并且你知道哥德?tīng)柺菙?shù)學(xué)家,那么你就能得出哥德?tīng)栐?0歲之前做出了他最偉大的工作。

1889年皮亞諾(1858~1932)將算術(shù)還原成五條公理,。下面是前三條:0是一個(gè)數(shù);每個(gè)數(shù)的后繼元素也是一個(gè)數(shù)；任何兩個(gè)數(shù)都沒(méi)有相同的后繼元素,。全都平淡無(wú)奇,而這正是我們希望公理所具備的特性,。公理就是要平淡無(wú)奇,這樣我們就能認(rèn)為它們?yōu)檎?而不用去證明它們,讓其他的都根據(jù)它們得出來(lái),就像從一顆簡(jiǎn)單的種子長(zhǎng)出枝繁葉茂的大樹(shù)。如果我們想要全部繁盛的生長(zhǎng)都能確鑿無(wú)疑,我們就得讓公理的真理性不可能有疑問(wèn)——這個(gè)“不可能有疑問(wèn)”基本上就是我們說(shuō)的“直覺(jué)上顯然”,、“已知”,、“顯而易見(jiàn)”或“自明”的意思。

另一方面,公理體系的定理只有在它們被證明,通過(guò)保持命題為真的推理規(guī)則從公理或其他定理推導(dǎo)出來(lái),才被承認(rèn)為真,。如果你愿意,可以這樣想:公理就像典型的家中長(zhǎng)子：天生被崇拜,。定理則是下面的小孩,他們得證明自已值得被肯定。(長(zhǎng)子可以忽略這個(gè)類比,。因?yàn)槭羌依锏睦先?這個(gè)隱喻對(duì)我相當(dāng)有吸引力,。)

這樣在一個(gè)公理體系中(由古希臘人發(fā)明,尤其是歐幾里得),我們從幾個(gè)直觀上顯然的公理開(kāi)始(越少越好),然后向前證明從這些公理得出的任何東西。(越少越好是因?yàn)槲覀兿雽?duì)直覺(jué)的訴求降到最低,從而最大化確定性,。)不同于自由主義者的原則“讓我們只依靠公民(數(shù)學(xué)家)的良好意愿(直覺(jué))去做正確的事情”,公理體系利用一些嚴(yán)格的政府控制,。不是隨意訴諸直覺(jué),對(duì)于哪些被直接給定作為基礎(chǔ)，其他一切都服從系統(tǒng)性的規(guī)則約束,要有廣泛的一致意見(jiàn),。你可以將公理化想象為某種“大政府?dāng)?shù)學(xué)”,。公理體系背后的動(dòng)機(jī)是通過(guò)最小化對(duì)直覺(jué)的訴求,將它們限制在少量不可消去的公理中,從而最大化確定性。但直覺(jué)是必要的,因?yàn)椴还茉鯓?我們得從某處開(kāi)始,。

在西方思想的大部分歷史中,至少?gòu)臍W幾里得時(shí)代以來(lái),公理化體系就被普遍認(rèn)為代表了數(shù)學(xué)——從而也是知識(shí)本身——最完美的形式,。弗雷格從單獨(dú)一條公理推出了皮亞諾的五條公理,從而進(jìn)一步簡(jiǎn)化了皮亞諾的算術(shù)公理體系,他說(shuō):“在數(shù)學(xué)中我們必須總是爭(zhēng)取讓一個(gè)系統(tǒng)自身是完備的?！闭沁@個(gè)體系的建立導(dǎo)致了弗雷格所說(shuō)的數(shù)學(xué)獨(dú)一無(wú)二的確定性,“如果沒(méi)有構(gòu)建起一個(gè)系統(tǒng),沒(méi)有哪門(mén)學(xué)科能像數(shù)學(xué)這樣封閉,。

約束直覺(jué)的愿望甚至還要走得更遠(yuǎn)。目標(biāo)變成完全消除直覺(jué)就是這個(gè)目標(biāo)最終將我們帶入了形式系統(tǒng)的觀念,。形式系統(tǒng)是除去了一切對(duì)直覺(jué)的訴求的公理體系,。

為什么要采取這么激進(jìn)的除去直覺(jué)的措施?嗯,正如我們前面所說(shuō)的,直覺(jué)是棘手的玩意。雖然真實(shí)的直覺(jué)是真的,當(dāng)我們擁有了真實(shí)的東西我們又如何確證呢?也許我們做不到,。也許感知,驅(qū)使信仰的直接說(shuō)服力,正與直覺(jué)是否為真一樣,。那訴諸直覺(jué)又有什么好處呢?因此,一切都是平等的,革除這些訴求似乎不錯(cuò),尤其是追求成為“所有學(xué)科中最嚴(yán)格的”的時(shí)候。

事實(shí)上,并不是一切都平等,而不平等恰好給無(wú)情地從數(shù)學(xué)中消除直覺(jué)的沖動(dòng)提供了額外的刺激,。19世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展動(dòng)搖了我們對(duì)公理體系中直覺(jué)上顯然的假定的信心,。(長(zhǎng)子也犯可怕的錯(cuò)誤。)這些破壞性事件中最戲劇性的是非歐幾何的發(fā)現(xiàn),。出人意料的數(shù)學(xué)發(fā)展表明歐氏幾何中的一個(gè)假設(shè),有名的平行公設(shè),歸根結(jié)底并不是那么不言自明,。事實(shí)上有可能構(gòu)造出一個(gè)不矛盾的幾何學(xué),在其中平行公設(shè)正好不為真!①此外,集合論也給我們帶來(lái)了一些關(guān)于我們公認(rèn)的直覺(jué)的壞消息,。集合論的假設(shè),同樣也是直覺(jué)上顯然,導(dǎo)致了不是自身的元素的所有集合組成的集合這種被悖論侵蝕的集合的形成。

顯然組成我們數(shù)學(xué)直覺(jué)的基礎(chǔ)歸根結(jié)底并不是那么基礎(chǔ),。如果有可能從我們的公理體系中徹底清除對(duì)直覺(jué)的訴求,那這就應(yīng)是我們的前進(jìn)方向,。

除去直覺(jué)是通過(guò)排除公理體系的一切意義來(lái)達(dá)成的,只保留那些能用系統(tǒng)中約定的規(guī)則項(xiàng)所定義的部分。規(guī)則除了被約定,不再被宣稱是任何東西,其他一切則通過(guò)它們來(lái)定義,。它們不自稱描述了什么客觀實(shí)在,不是數(shù)和集合那樣的獨(dú)立實(shí)體,。除去意義后留下的正是形式系統(tǒng)。這個(gè)剝離構(gòu)成了進(jìn)一步的“政府控制”,數(shù)學(xué)家想象得到的最嚴(yán)厲的,任何對(duì)直覺(jué)的訴求都溜不進(jìn)來(lái),。你可以想象是共產(chǎn)主義者接管了數(shù)學(xué),廢除私有財(cái)產(chǎn)(意義),一切都由公共規(guī)則掌控,。

①歐幾里得五條公設(shè)中的第五條就是有名的平行公設(shè),其規(guī)定通過(guò)直線外任意一點(diǎn),只能畫(huà)一條平行于原來(lái)直線的直線。歐幾里得自己對(duì)這個(gè)公設(shè)并不滿意,覺(jué)得這條與其他的很不同,因?yàn)槠浒抵猩婕傲藷o(wú)窮,而且他在推理時(shí)能不用它就不用它,。為什么平行公設(shè)會(huì)涉及無(wú)窮呢?兩條直線當(dāng)且僅當(dāng)它們永不相交就稱為平行,。但如果是在有限空間區(qū)域中,你就可以通過(guò)一點(diǎn)畫(huà)出不止一條直線與直線平行(即,不相交)。因此平行公設(shè)隱含地涉及無(wú)窮,而且我們對(duì)自己關(guān)于無(wú)窮的直覺(jué)也一直有合理的疑慮,。歐幾里得對(duì)他的系統(tǒng)中這個(gè)原理的疑慮(他的杰作就以《幾何原本》命名)從古至今都一樣,很多數(shù)學(xué)家都試圖從其他四條公理推出這個(gè)有疑問(wèn)的公理,將其轉(zhuǎn)化成定理,。然后,到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家改變了他們的策略:試圖間接證明第五條公設(shè)是自其他四條得出:留下這四條,否定第五條,看是否能推出矛盾,。結(jié)果推出的不是矛盾,而是一個(gè)全新而且不矛盾的幾何學(xué)!三位數(shù)學(xué)家獨(dú)立地得出了非歐幾何:無(wú)與倫比的高斯(1777~1855),著名的“數(shù)學(xué)王子”;羅巴切夫斯基(1792~1856);以及年輕的雅諾什·鮑耶(1802~1860),他在1823年寫(xiě)給他父親的信中提到無(wú)意中發(fā)現(xiàn)了這個(gè)新的數(shù)學(xué)世界,“我發(fā)現(xiàn)了一些奇妙得讓我困惑的東西……我創(chuàng)造了一個(gè)奇怪的新世界”,他父親法爾卡什·鮑耶自己也是數(shù)學(xué)家,還是高斯的朋友,。當(dāng)這些結(jié)果被展示給高斯看時(shí),他寫(xiě)道:“我認(rèn)為這個(gè)年輕的幾何學(xué)家鮑耶是一流的天才?！钡撬仨毟嬖V這位天才他不是第一個(gè)推出如此奇怪的新世界的人,。他自己已經(jīng)這樣做了,但是沒(méi)有公開(kāi)結(jié)果,因?yàn)樗X(jué)得它們太具爭(zhēng)議性了。

形式系統(tǒng)也是公理體系,有其基本的假定(公理),、推理規(guī)則以及被證明的定理,除了不是用有意義的符號(hào)構(gòu)建的——像指稱數(shù)字和后繼函數(shù)的項(xiàng)——其完全由無(wú)意義的符號(hào)構(gòu)建,標(biāo)在紙上,其唯一的意義由它們相互之間通過(guò)規(guī)則表達(dá)的關(guān)系來(lái)定義,。凈化前的公理體系被理解為涉及比如說(shuō)數(shù)(算術(shù))或集合(集合論)或空間(幾何),而形式系統(tǒng)就其本身來(lái)說(shuō)卻是一個(gè)沒(méi)有涉及任何東西的公理體系。在制定形式系統(tǒng)的假定時(shí),我們無(wú)須訴諸關(guān)于數(shù)或集合或空間的直覺(jué),。形式系統(tǒng)由約定的規(guī)則組成:指定系統(tǒng)符號(hào)的規(guī)則(“字母表”);告訴我們?nèi)绾螌⒎?hào)組合在一起產(chǎn)生出語(yǔ)法結(jié)構(gòu)的規(guī)則(合式公式,wff);以及告訴我們?nèi)绾螐膚ff繼續(xù)演繹出其他wff的規(guī)則(推理規(guī)則),。

公理體系形式化的意圖是提供最嚴(yán)格的確定性,這樣我們就不用依靠關(guān)于數(shù)學(xué)上什么是顯然的什么又不顯然的直覺(jué)。目的是徹底消除對(duì)數(shù)學(xué)直覺(jué)的依賴,將數(shù)學(xué)活動(dòng)轉(zhuǎn)變成完全被清晰界定,、可以被純粹機(jī)械化的規(guī)則所確定的過(guò)程,無(wú)需想象力和獨(dú)創(chuàng)性,甚至不用理解符號(hào)意味著什么,。跟隨形式系統(tǒng)的規(guī)則——形式系統(tǒng)除了規(guī)則什么都沒(méi)有——其實(shí)就是從事一個(gè)組合性活動(dòng),純粹由遞歸函數(shù)組成(大致就是告訴你再利用一次遞歸函數(shù)或十分簡(jiǎn)單的基本函數(shù)的結(jié)果來(lái)得到結(jié)果的函數(shù)①),可以被寫(xiě)成計(jì)算機(jī)程序,也就是說(shuō),是可計(jì)算的。這個(gè)活動(dòng)實(shí)際就是通過(guò)使用算法①’來(lái)解決事情,一個(gè)告訴你根據(jù)上一步的輸出如何進(jìn)行下一步的操作序列,。

①遞歸函數(shù)這個(gè)碩果累累的數(shù)學(xué)概念首先是由哥德?tīng)栐谒牡谝徊煌陚湫远ɡ淼淖C明中定義的,。

①’這個(gè)詞來(lái)源于9世紀(jì)波斯數(shù)學(xué)家花拉子米,他于大約公元825年寫(xiě)本名為《代數(shù)學(xué)》(Kitab al jabr w'al-mugabala)的重要數(shù)學(xué)書(shū)?！按鷶?shù)(algebra)'”這個(gè)詞也是從他的書(shū)名中引申出來(lái)的,。

就如上一段試圖指出的,通往形式化時(shí)相互關(guān)聯(lián)的一整套數(shù)學(xué)概念家族都會(huì)出現(xiàn)。機(jī)械化或有效過(guò)程,、遞歸或可計(jì)算函數(shù),、組合過(guò)程或算法:這個(gè)概念家族幾乎都意味著同件事情,圍繞著同一個(gè)思想——將規(guī)則應(yīng)用于前面應(yīng)用這些規(guī)則得出的結(jié)果,除了這些規(guī)則本身,全然不考慮任何意義,。

在形式系統(tǒng)中直覺(jué)沒(méi)有立足之地。直覺(jué)告訴我們?nèi)绾嗡伎紝?shí)際事物——關(guān)于空間,關(guān)于數(shù),關(guān)于集合,。我們沒(méi)有關(guān)于虛構(gòu),、無(wú)意義的符號(hào)以及我們?cè)O(shè)定用來(lái)操作這些符號(hào)的嚴(yán)格規(guī)則的直覺(jué)。我們不需要它們,。在形式系統(tǒng)中我們的演繹推理所需做的一切都由這些規(guī)則指定,這就是為什么形式系統(tǒng)的思想與計(jì)算機(jī)的思想有如此緊密的關(guān)聯(lián),關(guān)系到計(jì)算機(jī)能做什么以及它們?nèi)绾巫?。這也是為什么圍繞在形式系統(tǒng)周圍的緊密相關(guān)的概念中也包含可計(jì)算的概念。

雖然形式系統(tǒng)的蘊(yùn)涵令人費(fèi)解,需要用真正的數(shù)學(xué)技巧來(lái)獲得它們,它們卻有著摒棄了直覺(jué)的透明,。直覺(jué)(據(jù)說(shuō))是一條設(shè)法繞開(kāi)實(shí)際事物本來(lái)的不透明的途徑,一條與它們接觸的途徑,但也是一條被證明在數(shù)學(xué)中同在其他地方一樣不可靠的途徑。形式化運(yùn)作的數(shù)學(xué)是清除了任何“給定”真理的數(shù)學(xué)——那些聲稱自己在“事物的真正本質(zhì)”中有無(wú)可爭(zhēng)議的源頭的真理,。

如果能表明邏輯上一致的形式系統(tǒng)足以證明所有數(shù)學(xué)真理,那我們就成功地從數(shù)學(xué)中消除了直覺(jué),。(“邏輯上一致”這個(gè)限制性條款當(dāng)然是必需的,因?yàn)樵诓灰恢碌南到y(tǒng)中人們什么都能證明。)我們也表明了數(shù)學(xué)不應(yīng)當(dāng)被認(rèn)為內(nèi)在地關(guān)涉到任何事物,通過(guò)清除直覺(jué)我們將消解掉數(shù)學(xué)描述的假定對(duì)象,我們將表明數(shù)學(xué)根本就不是描述性的,。

力圖表明形式系統(tǒng)對(duì)于數(shù)學(xué)完全夠用,以此來(lái)斷言消除直覺(jué)的可能性,并希望將其實(shí)現(xiàn),這種元數(shù)學(xué)觀點(diǎn)就是所謂的形式主義,。

根據(jù)形式主義觀點(diǎn),數(shù)學(xué)成了復(fù)雜度提高了的國(guó)際象棋。我們都同意,沒(méi)有什么國(guó)際象棋系統(tǒng)表示的客觀象棋實(shí)在,。約定的規(guī)則組成了象棋的全部真理,。類似地,根據(jù)形式主義，約定的規(guī)則組成了數(shù)學(xué)的全部真理,。在數(shù)學(xué)中我們通過(guò)證明定理獲勝——即,通過(guò)使用達(dá)成共識(shí)的推理規(guī)則,從一些不做詮釋的符號(hào)串得出另一些不做詮釋的符號(hào)串,。這里沒(méi)有數(shù)學(xué)家必須用來(lái)衡量自己的外部規(guī)則。

哥德?tīng)柕牡谝徊煌陚湫远ɡ碇赋鋈魏呜S富到足以表達(dá)算術(shù)的形式系統(tǒng)都是不完備的,。因此你可能會(huì)想到,哥德?tīng)柕慕Y(jié)論與從數(shù)學(xué)中消除直覺(jué)的可行性(或由此的缺陷)有關(guān)聯(lián),。對(duì)直覺(jué)最直接的理解是它們都是通過(guò)事物的本質(zhì)賦予我們的;這里直覺(jué)被視為感性知覺(jué)的先驗(yàn)類似物,理解的直接形式。因此哥德?tīng)柕慕Y(jié)論,與從數(shù)學(xué)中消除直覺(jué)的可行性.(或由此的缺陷)有關(guān)聯(lián)的同時(shí),也可能對(duì)數(shù)和集合這樣的數(shù)學(xué)對(duì)象的實(shí)在性有重要的話要說(shuō),。換句話說(shuō),形式系統(tǒng)的適當(dāng)性——它們的一致性和完備性——與最終消除直覺(jué)的問(wèn)題相關(guān),也就是與最終消除數(shù)學(xué)實(shí)在的問(wèn)題相關(guān),這也是數(shù)學(xué)實(shí)在論或者說(shuō)柏拉圖主義的主要問(wèn)題,。正是由于這些聯(lián)系,哥德?tīng)柕慕Y(jié)論對(duì)于形式系統(tǒng)的局限也就有很多話要說(shuō)。這也是為何說(shuō)它們是數(shù)學(xué)史上最冗長(zhǎng)的定理,它們又為何被理解為,至少對(duì)它們的創(chuàng)造者來(lái)說(shuō),維護(hù)了他為之奉獻(xiàn)了自己情感和靈魂的元數(shù)學(xué)立場(chǎng),。一個(gè)年輕的學(xué)生證明了一條定理,第一不完備性定理,它同時(shí)擁有數(shù)學(xué)的嚴(yán)格和哲學(xué)的影響力,。

與其他任何的冗長(zhǎng)相反,數(shù)學(xué)上的冗長(zhǎng)對(duì)于哥德?tīng)柕墓殴謧€(gè)性是再合適不過(guò)了。他對(duì)數(shù)學(xué)真理,、知識(shí)和確定性的本質(zhì)有如此多的話要說(shuō),卻又只想用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法來(lái)說(shuō),。有了證明,他就不用再讓自己卷入他覺(jué)得厭煩甚至恐懼的爭(zhēng)論之中。我敢打賭,從沒(méi)有一個(gè)人有如此多的信念同時(shí)卻又如此不情愿用我們天生的常用手段——人的語(yǔ)言能力——來(lái)捍衛(wèi)他的信念,。絕對(duì)具有諷刺意味的是,在他的定理被承認(rèn)具有至高無(wú)上的重要性之后,人們也沒(méi)有經(jīng)常聽(tīng)到他想要通過(guò)它們闡明的東西,。他們聽(tīng)到的——而且不斷聽(tīng)到的——是維也納小組或存在主義或后現(xiàn)代主義或其他盛行于20世紀(jì)的各種各樣觀點(diǎn)的聲音。他們什么都聽(tīng)到了,，除了哥德?tīng)栂胝f(shuō)的,。