計算教學是小學數(shù)學教學的重要內(nèi)容,。學生在計算學習中不僅要探究并領悟算理,，抽象并掌握算法，而且要形成技能并學會運用,，發(fā)展數(shù)學思維,，豐富數(shù)學活動經(jīng)驗，形成良好的情感,、態(tài)度和價值觀,。我國歷來有重視計算教學的優(yōu)良傳統(tǒng),，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》更是明確要求注重發(fā)展學生的運算能力。運算能力不僅是一種數(shù)學的操作能力,，更是一種數(shù)學的思維能力,。但是一段時間以來，部分教師對于計算技能的形成過程認識不清,，訓練價值重視不夠,，導致學生運算能力有下降的趨勢。

計算技能是重要的數(shù)學技能,，屬于心智活動技能,。它是指能正確運用各種概念、公式,、法則進行數(shù)學運算,，作代數(shù)式的變形，包括對算法的選擇以及對所采用算法合理性的判斷,，還包括達到一定的運算速度,。衡量小學生計算技能形成的標志是：看運算的準確度、速度,、靈活性和意識到運算法則的清晰程度,。簡而言之，就是要求計算“正確,、迅速,、合理、靈活”,。這與我國計算教學的傳統(tǒng)是一脈相承的,。當然，絕不是越快越好,。從計算技能形成的復雜過程看，形成計算技能并非一朝一夕的練習所能奏效的,，要經(jīng)歷一個較長的訓練過程,。計算技能的發(fā)展總是從簡單到復雜、從低級到高級,、從具體到抽象,，有層次地發(fā)展起來的。計算技能是學生在學習和應用數(shù)學知識的過程中,，通過實際操作獲得動覺經(jīng)驗,，同時借助感覺、知覺,、想象,、思維等內(nèi)部語言,，在頭腦中進行數(shù)學思維活動而逐漸形成的心智活動方式。

前蘇聯(lián)心理學家加里培林認為,，智力活動是外部的,、物質(zhì)活動的反映，是外部物質(zhì)活動向反映方面─—知覺,、表象和概念方面轉(zhuǎn)化的結(jié)果,。可見,，心智活動技能是一個從外部的物質(zhì)活動向內(nèi)部的心理活動轉(zhuǎn)化的過程,。計算技能形成的過程，并不簡單等于機械,、反復地操練計算法則,，而是要遵循一定的心理規(guī)律，一般經(jīng)歷以下五個連續(xù)而又遞進的階段,。

一,、認知階段：建立定向映像

這個階段的任務是了解、熟悉活動,，知道要“做什么”和“怎樣做”,，從而在頭腦中建立定向映像。讓學生理解與技能有關的知識,、程序,，形成關于活動本身和結(jié)果的表象。如教學“筆算三位數(shù)乘一位數(shù)”,，經(jīng)復習“筆算兩位數(shù)乘一位數(shù)”的計算法則,，能有效喚起相關經(jīng)驗和方法，使學生自然產(chǎn)生接近聯(lián)想,，從而引起學習的正向遷移,。

二、物化階段：幫助理解算理

物化階段即物質(zhì)活動和物質(zhì)化階段,，主要應用實物,、圖片、模型,、圖解等為支柱進行智力活動,。所謂物質(zhì)活動是指動作的客體是實際事物，而物質(zhì)化活動是指活動借助于實際事物的代替物如模擬的教具,、學具,，乃至圖畫、圖解、言語等進行的,。數(shù)學知識具有一定的抽象性,，而低年級小學生的思維具有直觀性。據(jù)研究,，三至七八歲兒童的思維主要是憑借事物的具體形象的聯(lián)想進行的,，稱作具體形象思維。要解決數(shù)學知識的抽象性與兒童思維的具體形象性的矛盾,，可以先把要學的數(shù)學知識“物化”,，即用實物（學具）或圖形把教學內(nèi)容表達出來，讓學生根據(jù)對實物的操作或?qū)D形的觀察,，進行具體形象思維,，然后逐步使“物化”的知識“內(nèi)化”為兒童頭腦里的智力活動，使具體形象思維轉(zhuǎn)化為抽象的邏輯思維,。

小學數(shù)學課堂教學中主要不是以實際事物而是以它的替代物進行的物質(zhì)化活動,。如教學9+4，教材呈現(xiàn)的內(nèi)容是靜態(tài)的圖片情境“盒子里面有9個桃,，外面有4個桃,，一共有多少個桃？”教師要組織學生憑借圖片,、小棒等學具開展動態(tài)的數(shù)學思維活動,。因為盒子里面一共有10個格子，所以交流時就有少數(shù)資優(yōu)學生想到：從外面的4個中拿出1個放到盒子里面,，這樣就能一眼看出一共有13個桃,。這是契合教材意圖和教學目標的方法，如何將部分學生的智慧轉(zhuǎn)化為大家的共識,，還需要連續(xù)的跟進活動：

看一看：以問題“怎樣移動,，就能一眼看出一共有多少個桃？”驅(qū)動學生的思維,。學生交流后,，課件動態(tài)演示1個桃從盒子外面移到里面的過程。雖然是簡單的一“移”,，不僅可以讓學生一眼“看”出算式的結(jié)果,，而且這種感知有助于每個學生建立清晰的表象，為后續(xù)學習提供操作模型,。

擺一擺：每位學生利用學具小棒（也可用圓片、小正方體等）進行操作,，先從4根里拿出1根,，和原來的9根湊成10根，捆成一捆，然后把剩下的3根加上,，得13根,。這種操作雖然屬于簡單的、低層次的模仿活動,，但是學生學習過程中不可或缺的階段,。學生由觀察別人的操作到自己親自動手操作，是一種體驗學習的過程,，也是一種熟悉操作流程,、獲得動覺經(jīng)驗的過程。

加里培林認為,，物質(zhì)化的形式是學生最易理解,、最方便的。在活動的定向基礎建立后,，就要讓學生實際地做出這樣的活動（即操作）,，只有物質(zhì)的（或物質(zhì)化的）活動形式才是完備的智力活動的源泉。事實上,，計算9+4,，不經(jīng)歷物質(zhì)化操作活動，大多數(shù)學生是難以真正理解9+4=13算理的,。

說一說：學生一邊操作,，一邊用自己的語言表述，可以說是邊擺邊說,。在此基礎上,，引導學生用算式表示操作過程（板書如下），并組織學生采用多種形式表述計算步驟,，幫助每個學生逐步掌握計算方法,。

數(shù)學技能作為一種活動方式，主要是借助于內(nèi)部語言默默地進行的,，而內(nèi)部語言是由外部語言轉(zhuǎn)化而來的,。在邊做邊說的場合下，借助于出聲言語進行智力活動,，并逐漸將言語變成了表象,，借助言語聲音形象活動易于向言語執(zhí)行水平轉(zhuǎn)化。所以,，用自己的語言對數(shù)學活動的全過程進行描述,，是數(shù)學技能訓練中的一個重要措施。另外,，用自己的語言描述數(shù)學活動,，對于在數(shù)學學習中有困難的學生,，可以有效提高他們的概念理解能力和計算能力。

練一練：第86頁“試一試”,、第87頁“想想做做”第1,、2題。（板書如下）

這是學生在變化的數(shù)學情景下進行模式操作訓練,，依據(jù)已經(jīng)建立起的定向映像做出相應的動作,，以熟悉動作的各個步驟，使動作在頭腦中得到反映,，從而在感覺上獲得完備的動覺映像,。心理學認為，這種動覺映像是數(shù)學技能開始形成及內(nèi)化的基礎,。只有這樣才能使學生確切地了解活動的結(jié)構(gòu),，在頭腦中形成完備的動作映像，獲得正確的動覺經(jīng)驗,，使活動方式能夠在直覺水平上得到概括,，使獲得方式具有穩(wěn)定性，為動作定型奠定基礎,，并為內(nèi)化創(chuàng)造條件,。

想一想：計算9加幾時，為什么都要先把另一個加數(shù)拆成1和幾,？由于學生經(jīng)歷了看,、擺、說,、練等過程,，此時引導學生歸納、思考已經(jīng)水到渠成,。學生結(jié)合板書（如前文圖示）可以自然地想到“這是因為一個加數(shù)是9,，9加1等于10，再算10加幾等于十幾,，這樣好算”,，教師相機揭示“湊十法”。至此,，學生基本能夠理解計算9加幾運用“湊十法”的算理,。

算理指計算過程中每一個步驟在數(shù)學上的理由和操作過程的合理性。它是四則運算的理論依據(jù),，由數(shù)學概念,、運算定律、運算性質(zhì)等構(gòu)成,。在低年級運算概念的初步建立,、基本計算教學的起步階段,，要注意從情境出發(fā)學習，并加強學具操作,，避免單純的符號訓練。通過動手操作（知識的圖式表征）—語言表示（認知表征）—數(shù)學符號（抽象概括）,，提高學生對算理的理解,。縱觀現(xiàn)行的各種版本教材,，都非常重視讓學生經(jīng)歷觀察,、操作、比較,、分析和交流等探索活動,，發(fā)展學生的數(shù)學思考。

三,、外化階段：明確計算程序

計算正確是計算技能形成的第一步,。從法則轉(zhuǎn)化為計算技能，最初要明確意識到法則,。明晰地意識法則,，嚴格按法則進行計算，是達到正確的保證,。在這個階段,，學生不僅要清晰地意識到算什么，還要清晰地意識到怎么算以及為什么這樣算,，并能夠按照法則的規(guī)定一步一步地進行思考,，說出或?qū)懗鲞\算的全過程，仿佛是在法則的變式課題上再理解法則一樣,。

例如,，初學5/9+2/9時，學生應清楚地知道,，要計算的是兩個同分母分數(shù)相加,，分子相加，分母不變,。把這個過程寫出來,，即5/9+2/9=5+2/9=7/9。這樣做,，才能保證各個運算環(huán)節(jié)嚴格按照規(guī)定的順序進行,，鞏固正確的運算方法。從意識到法則,，到不用意識到法則是一個熟練的過程,。有的研究認為,，運算時意識到法則，是法則變式課題引起對法則的聯(lián)想,。聯(lián)想包括兩個部分,，第一部分是法則中涉及的“條件和任務”，第二部分是法則中的“運算規(guī)定”,?？吹剿闶较嚷?lián)想到法則第一部分，但僅僅這樣還不知如何算,，于是又喚起聯(lián)想中的第二部分,，然后才一步步算。例如,，學生看到5/9+2/9,，先聯(lián)想到“同分母分數(shù)相加”（條件和任務）；再聯(lián)想到“分子相加,，分母不變”（運算規(guī)定）,。學生有了這些清晰的聯(lián)想，才能為形成計算技能打下堅實的基礎,。

在這個階段,，學生的學習活動離開了它的物質(zhì)或物質(zhì)化的客體，以出聲的外部語言形式來完成實在的活動,。如,，計算9+4學生可以不用學具，只看著算式說出其“湊十”的過程和最后的結(jié)果：因為9+（1）=10,，所以把4分成1和3,，先算9+1=10，再算10+3=13,。有時,，由于計算法則敘述比較冗長，計算步驟較多,，學生表述和記憶困難,，不能有效指導學生操練計算，這時就有必要幫助學生以簡潔的語言,，簡化的步驟對法則加以凝練,。精簡法則時要做到完整、準確,，板書時要盡量減少字數(shù),，抓住法則的要點。如計算9+4可以將算法簡化為有序的三步：一想,，9+（  ）=10,；二分,，把4分成1和3；三算,，先算9+1=10,，再算10+3=13。應該注意的是,，計算法則不宜由教師和盤托出,，而應由學生逐步悟出；不宜過早揭示,，而應水到渠成；不宜強求程式化敘述,，而應提倡個性化理解,；不宜強行統(tǒng)一，而應由學生自主選擇,。

活動向言語轉(zhuǎn)化,，不僅意味著用言語來表達活動，而首先意味著在言語中完成了實在的活動,；言語活動真正的優(yōu)越性,，不在于脫離與實際的直接聯(lián)系，而且它必然為活動創(chuàng)造新的目標──抽象化,，從而保證活動的高度定型化,，也保證活動的迅速自動化。

還要適時引導學生從出聲的外部語言階段過渡到不出聲的外部言語階段,。后者不只是“言語減去聲音”,，而是以詞的聲音表象、動覺表象為基礎的智力活動階段,，如教學9+4要提供機會讓學生在腦中如放電影般“過一過”,，靜思默想其計算步驟和結(jié)果。不出聲的外部言語形式的活動的形成,，是活動向智力水平轉(zhuǎn)化的開始,。

這個階段，還應該把新學法則與其他類似法則分化開來,，以排除干擾,。例如，計算25+30時,，一方面要嚴格按法則進行思考和計算,，另一方面還要將其與25+3加以對比，弄清它們的區(qū)別,。

四,、內(nèi)化階段：壓縮中間過程

數(shù)學活動中動作迅速是數(shù)學技能水平高的重要標志,。提高運算速度是運算技能形成的第二步。在此過程中,，學生意識法則的明晰度逐漸降下來,，壓縮了一部分運算的中間環(huán)節(jié)，簡化了推理過程,，提高了運算速度,。

    提高運算速度，主要是從兩方面來做的,。一方面,，說法則和寫法則所花費的時間和精力大為減少，通過簡縮思維,，算出結(jié)果,。例如5/9+2/9，想：分子相加,，分母不變,，得7/9。另一方面,，根據(jù)數(shù)的特點,、運算律和性質(zhì)，進行簡縮思維,，靈活地選用簡便算法,，迅速算出結(jié)果。例如,，381-（46+181）=381-181-46=200-46=154,。經(jīng)過練習，學生看到計算的題目所產(chǎn)生的聯(lián)想逐漸簡縮,。如果把表現(xiàn)法則的所有過程都一步步想清楚,，則需要很多個思考過程，是相當費時間的,。如果總這樣做,，運算技能也難形成。因此,，只有逐漸降低對法則意識的明晰度,，壓縮中間思維過程，才能逐漸形成運算技能,。

五,、熟練階段：形成動力定型

運算技能形成的最后階段是使運算自動化。外部語言已經(jīng)轉(zhuǎn)化為內(nèi)部語言，主要是用“為自己用的言語”進行思考,，所以在結(jié)構(gòu)上發(fā)生了較大的變化,，常常以非常簡縮的形式進行思考，此時,，學生完全掌握了心智活動技能,，對于技能所涉及的活動達到熟練程度，智力活動高度壓縮和自動化,，刺激和反應幾乎同時發(fā)生,，中間不需要有意識的思考。看到算式就直接接通到計算,，連法則第一部分也無須聯(lián)想到,，完全不用去意識法則了，不用意識到運算法則是運算熟練的主要特點,?？吹接械念}目，就能立即得出結(jié)果,。例如，前面講的9+4在這一階段,，很可能很快地得出13,，“湊十”的中間過程已簡約得連學生自己也覺察不到的自動化的地步。復雜的題目,，其運算過程也自動化了,，意識到的往往只是結(jié)果。

從認知心理學來看,，計算技能學習屬于程序性知識,。程序性知識的學習先以命題網(wǎng)絡的形式表征（陳述性知識），經(jīng)過在不同背景下的練習,，再轉(zhuǎn)化為以產(chǎn)生式的方式表征的知識（程序性知識）,。一系列小的操作步驟整合為大的步驟，從而形成產(chǎn)生式系統(tǒng)（某種次要的中間步驟被省略了）,，這就是所有熟練的技能達到自動化的心理機制,。還是以計算9+4為例，我們可以看到兒童在不同的心理發(fā)展階段,，思維由繁瑣到簡約,、由展開到壓縮的過程：

最初做簡單的加法題，如9+4,，采用“逐個加”的方法,，先數(shù)9個手指，再數(shù)4個手指,，最后求和,。其產(chǎn)生式為：

P1：如果  第一個加數(shù)是9,，

      那么  數(shù)9個手指。

P2：如果  第二個加數(shù)是4,，

      那么  數(shù)4個手指,。

P3：如果  總共有13個手指，

      那么  答案為13,。

以后,，采用“累加”的方法，先記住一個加數(shù),，如9,，然后從10開始累加4個手指，得到答案,。其產(chǎn)生式為：

P1：如果  第一個加數(shù)是9,，

      那么  記住9，從10開始累加,。

P2：如果  第二個加數(shù)是4,，

      那么  從10起數(shù)過4個手指，數(shù)到幾,，答案就是幾,。

到后來直接通過提取事實得到答案，其產(chǎn)生式為：

P：如果  要求計算9+4,，

     那么  結(jié)果為13,。

我們可以看到在技能熟練過程中從條件到目標之間的某些中間環(huán)節(jié)漸漸消失，到后來,，似乎已知條件和目標之間建立了直接的聯(lián)系,，中間的環(huán)節(jié)不再被信息加工者所意識。這充分說明了熟練的技能有助于學生迅速而正確地解決問題,。

運算的自動化并非完全無意識,，只是意識不與動作相聯(lián)系，主體覺察不到,，或者意識變?yōu)閴嚎s,、簡化的新形式，在頭腦中只閃出個別關鍵的詞語,。但是,，當運算遇到障礙時，又會有意識地進行調(diào)整,，排除障礙,，進一步提高自動化的程度。例如，當學生計算618÷6時,，如果得數(shù)是13,，在意識所得的結(jié)果時，感到似乎有誤,，此時就又會意識到“十位不夠商1應商0”這一法則,。

只有通過科學合理的訓練，并達到自動化的程度,，才能使技能真正發(fā)揮作用,。經(jīng)過適當訓練后，各相關的心智動作緊密地聯(lián)系在一起,，形成動作鏈索,，并達到自動化的熟練程度。這樣的技能可以在頭腦中表征為“技能組塊”,，在運用時只需占據(jù)少量的工作記憶空間,，這就為其他知識、技能進入工作記憶留出了空間,，這樣的技能就能夠在數(shù)學活動中有效地與其他知識技能發(fā)生聯(lián)系,。否則，如果計算技能水平低而造成計算速度慢,，就會產(chǎn)生執(zhí)行需要更多工作記憶的任務時的信息加工障礙,，從而造成今后越來越多的學習困難。

在計算技能形成的過程中,，心理活動大致分為以上五個過程。這些過程沒有明顯的界限,，每個過程的長短也因教材和學生而各不相同,，運算自動化的程度也各不一樣。教學中,，應根據(jù)教材,、班級和學生的情況，并按照學生心理變化的規(guī)律去組織,、指導練習,，這樣才能有效地提高學生的運算能力。

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