?    函數(shù)是描述現(xiàn)實(shí)世界中變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型,。某些問題中的數(shù)量關(guān)系可以用二次函數(shù)表示,。本章在八年級(jí)下冊(cè)已經(jīng)介紹函數(shù)的有關(guān)概念與一次函數(shù)的基礎(chǔ)上，介紹二次函數(shù)的概念,、圖象和性質(zhì),，討論二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題,。本章教學(xué)時(shí)間約需12課時(shí),，具體分配如下（僅供參考）：

22.1 二次函數(shù)                                              6課時(shí)

22.2 用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程                              1課時(shí)

22.3 實(shí)際問題與二次函數(shù)                                    3課時(shí)

數(shù)學(xué)活動(dòng)

小結(jié)                                                       2課時(shí) 

一、教科書內(nèi)容和本章學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.本章知識(shí)結(jié)構(gòu)

本章知識(shí)結(jié)構(gòu)如下圖所示：

2.教科書內(nèi)容

本章共分三節(jié),。第一節(jié)介紹二次函數(shù)的概念,、圖象和性質(zhì)，第二節(jié)研究二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系,，第三節(jié)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決實(shí)際問題,。

在第22.1節(jié)中，二次函數(shù)的概念是通過三個(gè)實(shí)例（正方體的表面積與棱長(zhǎng),、比賽的場(chǎng)次數(shù)與球隊(duì)數(shù),、產(chǎn)量與計(jì)劃增產(chǎn)倍數(shù)）引入的。二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是按從簡(jiǎn)單到復(fù)雜,、從特殊到一般的順序討論的,。先討論函數(shù)y＝ax?的圖象和性質(zhì)。由于將二次函數(shù)的圖象上下,、左右平移就得到函數(shù)的圖象,，接下來研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)。以此為基礎(chǔ)討論二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（二次函數(shù)可以通過配方化成的形式）,。在第22.1節(jié)最后,，通過“探究”欄目安排了“知道給定不共線三點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定一個(gè)二次函數(shù)”的選學(xué)內(nèi)容。讓學(xué)生類比由兩點(diǎn)（兩點(diǎn)的連線不與坐標(biāo)軸平行）的坐標(biāo)確定一次函數(shù)的方法,，找出由不共線三點(diǎn)的坐標(biāo)確定二次函數(shù)的方法。

在第22.2節(jié)中,，首先設(shè)置小球飛行問題,。在這個(gè)問題中，將某一高度的值代入函數(shù)解析式,，就得到一元二次方程,，問題轉(zhuǎn)化為解一元二次方程。由此引出,，已知二次函數(shù)的值求自變量的值,，可以看作解一元二次方程；反過來,，解方程ax²＋bx＋c=0可以看作已知二次函數(shù)y=ax²＋bx＋c的值為0,，求自變量x的值,。然后利用二次函數(shù)的圖象討論一元二次方程。由“思考”欄目引出,，二次函數(shù)的圖象與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是相應(yīng)一元二次方程的根,；二次函數(shù)的圖象與x軸的三種位置關(guān)系對(duì)應(yīng)一元二次方程根的三種情況。最后通過例題介紹用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的根的方法,。

在第22.2節(jié)后,，教科書安排了一個(gè)信息技術(shù)應(yīng)用“探究二次函數(shù)的性質(zhì)”，介紹了利用計(jì)算機(jī)軟件畫二次函數(shù)的圖象,，探究它的性質(zhì),，以及利用圖象解一元二次方程等內(nèi)容。

在第22.3節(jié)中,，開頭的問題涉及求函數(shù)的最大值,。從所給函數(shù)的圖象可以看出，當(dāng)自變量取頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí),，函數(shù)值最大,。由此引出直接根據(jù)函數(shù)解析式求二次函數(shù)的最小（大）值的結(jié)論,，即當(dāng)x＝時(shí),，二次函數(shù)y＝ax?＋bx＋c有最小（大）值,。得出此結(jié)論后,，就可以直接運(yùn)用它求二次函數(shù)的最小（大）值,。接下來,，通過最大面積、最大利潤(rùn),、水位變化等三個(gè)探究問題,，展示二次函數(shù)與實(shí)際的聯(lián)系，并運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)加以解決,，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力,。

在第22.3節(jié)后，教科書安排了一個(gè)實(shí)驗(yàn)與探究“推測(cè)滑行距離與滑行時(shí)間的關(guān)系”,。根據(jù)實(shí)際問題得到有關(guān)數(shù)據(jù),，數(shù)形結(jié)合地求出表示變量間關(guān)系的函數(shù)，這屬于建立模擬函數(shù)描述實(shí)際問題,。

3.本章學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1） 通過對(duì)實(shí)際問題的分析,，體會(huì)二次函數(shù)的意義。

（2） 會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象,，通過圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì),。

（3）會(huì)用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達(dá)式化為y=a(x-h)²+k的形式,，并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，能說出圖象的開口方向,，畫出圖象的對(duì)稱軸,，并能解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題。

（4）會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解,。                             

（5）^*知道給定不共線三點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定一個(gè)二次函數(shù),。

二、編寫時(shí)考慮的幾個(gè)問題

1．體現(xiàn)類比,、數(shù)形結(jié)合和歸納的思想          

在本章中,，一般二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是從最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)出發(fā)逐步深入地探討的。在研究的過程中注意體現(xiàn)類比,、數(shù)形結(jié)合和歸納的思想,。       

類比思想在討論過程中有多處體現(xiàn)。例如,，在討論二次函數(shù)之前的一段話中指出,，可以類比一次函數(shù)研究二次函數(shù)。又如,，對(duì)于二次函數(shù)y＝ax?是分a>0和a<0兩種情況討論的,，先討論a>0的情況，這樣,，a<0的情況就可以類比a>0的情況進(jìn)行討論,。再如，先討論二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),，再讓學(xué)生類比研究二次函數(shù)的方法研究二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),。

數(shù)形結(jié)合地研究函數(shù)貫穿二次函數(shù)的討論的始終。對(duì)于最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)的研究就是從畫這個(gè)函數(shù)的圖象開始,，然后通過圖象了解它的性質(zhì),。其后的二次函數(shù)的研究，也都展現(xiàn)了從解析式到圖象,，從圖象到性質(zhì)的過程,。包括第22.3節(jié)中，關(guān)于二次函數(shù)的最?。ù螅┲档慕Y(jié)論也是通過確定函數(shù)圖象的最低點(diǎn)或最高點(diǎn)獲得的,。

從特殊例子歸納一般結(jié)論也是常用的,。例如,，讓學(xué)生觀察函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)，歸納函數(shù)(a>0)的圖象特點(diǎn),；探究函數(shù),，的圖象的共同點(diǎn)與不同點(diǎn),，歸納函數(shù)（a<0）的圖象特點(diǎn)。又如,，說明拋物線y=與拋物線y=的關(guān)系,，從而歸納出把拋物線向上（下）向左（右）平移，得到拋物線的結(jié)論,。

這樣循序漸進(jìn)的安排,，力圖使學(xué)生不僅學(xué)到二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，而且在知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中不斷提高學(xué)習(xí)的能力,。

2.重視知識(shí)之間的聯(lián)系

學(xué)生在“一次函數(shù)”一章已經(jīng)了解了一次函數(shù)與一元一次方程,、一元一次不等式、二元一次方程組的聯(lián)系,。本章專設(shè)一節(jié),，通過探討二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，再次展示函數(shù)與方程的聯(lián)系,。這樣安排一方面可以深化學(xué)生對(duì)一元二次方程的認(rèn)識(shí),，另一方面又可以運(yùn)用二次函數(shù)解決一元二次方程的有關(guān)問題。

此外,，還在以下各處注意聯(lián)系已學(xué)知識(shí),。例如，在第一節(jié)開頭,，用函數(shù)的概念對(duì)正方體表面積,、比賽場(chǎng)次數(shù)、產(chǎn)量增長(zhǎng)等問題中變量之間的關(guān)系進(jìn)行說明,。又如,，用關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系說明y軸是拋物線的對(duì)稱軸。再如,，用平移描述拋物線y=ax與拋物線y=a(x－h)＋k 之間的關(guān)系,。這樣處理有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)新內(nèi)容，也使已學(xué)內(nèi)容得到復(fù)習(xí)鞏固,。

3.體現(xiàn)模型思想

對(duì)于某些實(shí)際問題,，如果其中變量之間的關(guān)系可以用二次函數(shù)模型來刻畫，就可以利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)來研究,，從而使實(shí)際問題得到解決,。這一過程體現(xiàn)了模型思想。

例如,，在日常生活,、生產(chǎn)和科研中，常常會(huì)遇到求什么條件下可以使材料最省、時(shí)間最少,、效率最高等問題,，其中一些問題可以歸結(jié)為求二次函數(shù)的最大值或最小值。本章用第三節(jié)中的探究1和探究2舉例說明此類問題的解決過程,。

此外,，在函數(shù)y=a(x－h)＋k的討論之后安排的修建噴水池時(shí)確定水管長(zhǎng)度的問題，在第三節(jié)中安排的探究3（水位問題）,，也是運(yùn)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的例子,。

這樣安排力圖加強(qiáng)二次函數(shù)與實(shí)際生活的聯(lián)系，使所學(xué)知識(shí)得到應(yīng)用,，體現(xiàn)模型思想,。

三、對(duì)教學(xué)的幾個(gè)建議

1．注意復(fù)習(xí)相關(guān)內(nèi)容

二次函數(shù)的學(xué)習(xí)是以已學(xué)函數(shù)內(nèi)容為基礎(chǔ)的,。從八年級(jí)下冊(cè)“一次函數(shù)”的學(xué)習(xí)到九年級(jí)上冊(cè)“二次函數(shù)”的學(xué)習(xí),，中間相隔了一段時(shí)間。函數(shù)的概念 ,描點(diǎn)法畫函數(shù)的圖象等在本章中都要用到,。因此,，要注意復(fù)習(xí)已學(xué)函數(shù)內(nèi)容，幫助學(xué)生學(xué)好二次函數(shù),。

二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,，函數(shù)的圖象可以由函數(shù)y=ax的圖象平移得到，這些內(nèi)容都涉及已學(xué)的圖形變化的內(nèi)容,。復(fù)習(xí)對(duì)稱的坐標(biāo)表示等內(nèi)容,，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)本章中的上述內(nèi)容。

討論函數(shù),，關(guān)鍵是用配方法把它化為y=a(x－h)＋k的形式,。配方法曾用來解一元二次方程，學(xué)生已經(jīng)有所了解,，要注意復(fù)習(xí),。

總之，在本章學(xué)習(xí)過程中,，注意復(fù)習(xí)相關(guān)內(nèi)容,，是順利完成本章學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

2．關(guān)注數(shù)形結(jié)合的研究方法

二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的討論運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的研究方法,，即先畫出二次函數(shù)的圖象,，再結(jié)合圖象討論二次函數(shù)的性質(zhì)。把握好數(shù)形結(jié)合的研究方法有利于本章教學(xué)的開展,。

在畫二次函數(shù)的圖象時(shí),，選取自變量的值很關(guān)鍵,，例如，畫函數(shù)的圖象時(shí),，要根據(jù)對(duì)稱性取頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)6并在6的左右取值。教學(xué)中要關(guān)注畫圖象的環(huán)節(jié),，為用圖象討論性質(zhì)打下基礎(chǔ),。

圖象直觀展示了函數(shù)的變化情況。例如,，函數(shù)圖象從左向右上升（或下降）對(duì)應(yīng)著函數(shù)隨自變量增大而增大（或減?。Ｓ秩?，如果函數(shù)圖象與x軸有公共點(diǎn),，表明當(dāng)自變量取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，函數(shù)值為0,，也就表明公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是相應(yīng)一元二次方程的根,。教學(xué)中，要幫助學(xué)生完成好從對(duì)圖象的描述到對(duì)函數(shù)變化情況的描述的轉(zhuǎn)換,，發(fā)揮好幾何直觀的作用,。

3．加強(qiáng)對(duì)實(shí)際問題的分析

運(yùn)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)，用二次函數(shù)表示問題中變量之間的關(guān)系是重要一環(huán),。要加強(qiáng)對(duì)實(shí)際問題的分析,。例如，在22.3節(jié)的探究1中,，用總長(zhǎng)一定的籬笆圍成矩形場(chǎng)地,，場(chǎng)地的面積隨矩形一邊長(zhǎng)的變化而變化。場(chǎng)地的面積是矩形一邊長(zhǎng)與它的鄰邊長(zhǎng)的乘積,，用矩形一邊長(zhǎng)表示它的鄰邊長(zhǎng),，從而得到場(chǎng)地面積隨矩形一邊長(zhǎng)變化的函數(shù)解析式。教學(xué)中,，加強(qiáng)對(duì)實(shí)際問題的分析,，有助于學(xué)生順利解決實(shí)際問題。

4．重視信息技術(shù)的使用

用某些計(jì)算機(jī)畫圖軟件（如《幾何畫板》）,，可以方便地畫出二次函數(shù)的圖象,，進(jìn)而從圖象探索二次函數(shù)的性質(zhì)。例如,，用計(jì)算機(jī)軟件畫出函數(shù)的圖象,，拖動(dòng)圖象上的一點(diǎn)P, 讓這點(diǎn)沿拋物線移動(dòng)，觀察動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的變化,，可以發(fā)現(xiàn)：圖象最低點(diǎn)或最高點(diǎn)的坐標(biāo),，也就是說,，當(dāng)x取這點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，有最小值或最大值,；當(dāng)小于這點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí),，隨的增大而減小（增大）,，當(dāng)大于這點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí),，隨的增大而增大（減小）,。

利用計(jì)算機(jī)軟件的畫圖功能,，很容易利用二次函數(shù)的圖象解一元二次方程。要解方程,，只要用計(jì)算機(jī)軟件畫出相應(yīng)拋物線,，再讓計(jì)算機(jī)軟件顯示拋物線與x軸的公共點(diǎn)的坐標(biāo)，就能得出要求的方程的根,。 

上述內(nèi)容安排在本章的選學(xué)欄目“信息技術(shù)應(yīng)用  探索二次函數(shù)的性質(zhì)”中,，有條件的話，可以讓學(xué)生加以嘗試,。