《數(shù)學(xué)人Mathmann》譯者：方建勇/浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系98級(jí)畢業(yè)生

黎曼幾何

黎曼幾何是微分幾何的分支,，研究黎曼流形,，具有黎曼度量的平滑歧管，即在每個(gè)點(diǎn)上的切點(diǎn)空間上的內(nèi)積在點(diǎn)到點(diǎn)平滑變化的分支,。這特別給出了角度,，曲線長(zhǎng)度，表面積和體積的局部概念,。從那些,，通過(guò)整合當(dāng)?shù)氐呢暙I(xiàn)可以獲得一些其他全球數(shù)量。

黎曼幾何起源于伯恩哈德·萊曼（Leonhard Riemann）在他的首次演講“Ueber die Hypothesen,，welche der Geometrie zu Grunde liegen”（“On the Hypotheses on Geometry is Based”）上的觀點(diǎn),。它是R3中表面差分幾何的非常廣泛和抽象的泛化。黎曼幾何的發(fā)展導(dǎo)致了關(guān)于表面的幾何形狀和測(cè)地線的行為的不同結(jié)果的綜合,，其技術(shù)可以應(yīng)用于更高維度的可微分歧管的研究,。它能夠制定愛(ài)因斯坦的一般相對(duì)論，對(duì)群論和代表理論產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響,，并對(duì)分析進(jìn)行了分析,，并激發(fā)了代數(shù)和差分拓?fù)涞陌l(fā)展。

介紹
伯恩哈德·黎曼

黎曼幾何首先在19世紀(jì)由Bernhard Riemann提出,。它處理各種幾何尺寸,，其度量屬性隨時(shí)間變化，包括非歐幾里德幾何的標(biāo)準(zhǔn)類型,。

任何順利的流形允許黎曼度量,，這通常有助于解決差分拓?fù)涞膯?wèn)題。它也是偽黎曼流形復(fù)雜結(jié)構(gòu)的入門級(jí),，（四維）是廣義相對(duì)論理論的主要對(duì)象,。黎曼幾何的其他概括包括Finsler幾何。

差分幾何與常規(guī)晶體缺陷的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)存在著密切的類比,。脫位和脫位產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)和曲率,。[1] [2]

以下文章提供了一些有用的介紹性材料：

度量張量
黎曼流
Levi-Civita連接
曲率
曲率張量
差異幾何主題列表
黎曼和公制幾何詞匯表

古典定理

以下是黎曼幾何中最經(jīng)典的定理的不完整列表。選擇取決于其重要性和優(yōu)雅的配方。大多數(shù)結(jié)果可以在Jeff Cheeger和D.Ebin的經(jīng)典專著中找到（見(jiàn)下文）,。

給出的配方遠(yuǎn)不是非常精確或最普遍的,。該列表面向已經(jīng)知道基本定義并想知道這些定義的人。
一般定理

高斯Bonnet定理高斯曲率在緊湊的二維黎曼流形上的積分等于2πX（M）,，其中χ（M）表示M的歐拉特性,。該定理具有對(duì)任何緊湊的均勻黎曼流形的泛化，見(jiàn)廣義高斯 – 邦尼定理,。
納什嵌入定理也稱為黎曼幾何的基本定理,。他們說(shuō)每個(gè)黎曼流形可以被等角地嵌入在歐幾里得空間Rn中。

幾何在大
在以下所有的定理中,，我們假設(shè)空間的一些局部行為（通常用曲率假設(shè)制定）來(lái)得出關(guān)于空間的全局結(jié)構(gòu)的一些信息,，包括關(guān)于歧管的拓?fù)漕愋偷囊恍┬畔⒒螯c(diǎn)的行為 在“足夠大”的距離。

截面曲率

球體定理如果M是簡(jiǎn)單連接的緊湊的n維黎曼流形,，其截面曲率嚴(yán)格地夾在1/4和1之間,，則M與球形成不同形狀。
Cheeger的有限定理,。給定常數(shù)C,，D和V，只有有限的（高達(dá)diffeomorphism）緊湊的n維黎曼流形,，截面曲率| K | ≤C,，直徑≤D，體積≥V,。
格羅莫夫的幾乎平坦的歧管。有一個(gè)εn> 0,，使得如果一個(gè)n維黎曼流形具有一個(gè)具有截面曲率| K |的度量≤εn和直徑≤1,，則其有限覆蓋與nil歧管不同。

截面彎曲在下面

Cheeger-Gromoll的靈魂定理,。如果M是非緊湊的完全非負(fù)彎曲的n維黎曼流形,，則M包含一個(gè)緊湊的，完全測(cè)地線的子歧管S,，使得M與S的正常束是不同形狀的（S稱為M的靈魂）,。特別是，如果M在任何地方都有嚴(yán)格的正曲率,，那么它與Rn是不同的,。 G.佩雷爾曼在1994年給出了令人驚訝的優(yōu)雅/簡(jiǎn)短的靈魂猜想證明：如果只有一點(diǎn)具有正曲率，則M與Rn是不同的,。
格羅莫夫的貝蒂數(shù)定理存在常數(shù)C = C（n）,，使得如果M是具有正截面曲率的緊湊連接的n維黎曼流形，則其Betti數(shù)的和最多為C.
格羅夫 – 彼得森的有限定理。給定常數(shù)C,，D和V,，只有有限的許多同倫類型的緊湊的n維黎曼流形，截面曲率K≥C,，直徑≤D,，體積≥V。

上面界定的剖面曲率

Cartan-Hadamard定理指出,，具有非正向截面曲率的完全簡(jiǎn)單連接的黎曼流形M與通過(guò)指數(shù)圖在任何點(diǎn)處與n = dim M的歐幾里德空間Rn是不同的,。這意味著通過(guò)獨(dú)特的測(cè)地線連接一個(gè)簡(jiǎn)單連接的具有非正向截面曲率的完整黎曼流形的兩點(diǎn)。
具有負(fù)截面曲率的任何緊湊的黎曼流形的測(cè)地流是全能的,。
如果M是一個(gè)完整的黎曼流形,，其截面曲率上限在嚴(yán)格的負(fù)常數(shù)k之上，則它是一個(gè)CAT（k）空間,。因此,，其基本組Γ=π1（M）是Gromov雙曲線。這對(duì)基本組織的結(jié)構(gòu)有很多影響：

它有限地呈現(xiàn);
Γ的單詞問(wèn)題有一個(gè)積極的解決方案;
群Γ具有有限的虛擬同位素維度;
它只包含有限秩序元素的有限許多共軛類;
Γ的阿貝爾子群實(shí)際上是循環(huán)的,，因此它不包含與Z×Z同構(gòu)的子群,。

里奇曲率下方有界

邁爾斯定理如果一個(gè)緊湊的黎曼流形具有正的里奇曲率，則其基本組是有限的,。
Bochner的公式,。如果一個(gè)緊湊的黎曼n歧管具有非負(fù)Ricci曲率，則其第一個(gè)貝蒂數(shù)最多為n,，如果且僅當(dāng)黎曼流形是平坦的圓環(huán)時(shí),，則相等。
分裂定理如果一個(gè)完整的n維黎曼流形具有非負(fù)Ricci曲率和一條直線（即,，在每個(gè)間隔上最小化距離的測(cè)地線）,，則它是實(shí)線和完整（n-1）維黎曼線的直接乘積的等距具有非負(fù)Ricci曲率的歧管。
Bishop-Gromov不平等,。在具有正的里奇曲率的完整的n維黎曼流形中的半徑為r的公制球的體積在歐幾里得空間中具有相同半徑r的球的體積的體積,。
格羅莫夫的緊湊定理在Gromov-Hausdorff度量中，具有正的Ricci曲率和直徑至多為D的所有黎曼流形的集合是預(yù)緊湊的,。

負(fù)Ricci曲率

具有負(fù)Ricci曲率的緊湊的黎曼流形的等距組是離散的,。
尺寸n≥3的任何平滑的歧管承認(rèn)具有負(fù)Ricci曲率的黎曼度量。[3] （表面不是這樣）

正曲率曲率

n維圓環(huán)不允許具有正標(biāo)量曲率的度量,。
如果緊湊的n維黎曼流形的注入半徑≥π,，則平均標(biāo)量曲率最多為n（n-1）。