（2016·全國1卷）已知函數f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),x=-為f(x)的零點,x=為y=f(x)圖像的對稱軸,且f(x)在(,)單調,則ω的最大值為

【解析】本題主要考查正弦函數的性質和三角函數的圖像,考查考生對基礎知識的理解及掌握情況.因為x=-為函數f(x)的零點,x=為y=f(x)圖像的對稱軸,所以+(k∈Z,T為周期),得T=(k∈Z).又f(x)在(,)單調,所以T≥,k≤,又當k=5時,ω=11,φ=-,f(x)在(,)不單調;當k=4時,ω=9,φ=,f(x)在(,)單調,滿足題意,故ω=9,即ω的最大值為9. 選B.

【答案】B

（2016·全國1卷）△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.

(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=,△ABC的面積為,求△ABC的周長.

【解析】本題主要考查解三角形知識,意在考查考生對公式的運用能力.(Ⅰ)由正弦定理進行邊角互化求解C;(Ⅱ)由三角形的面積公式得ab,再由余弦定理聯立方程求出△ABC的周長.

【答案】(Ⅰ)由已知及正弦定理得,

2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,

2cos Csin(A+B)=sin C,

故2sin Ccos C=sin C.

可得cos C=,所以C=.

(Ⅱ)由已知,absin C=.

又C=,所以ab=6.

由已知及余弦定理得,a²+b²-2abcos C=7,

故a²+b²=13,從而(a+b)²=25.

所以△ABC的周長為5+.

（2016·全國2卷）若cos(-α)=,則sin 2α=

【解析】本題考查了兩角差的三角函數公式、二倍角公式以及同角三角函數的關系.因為cos(-α)=coscos α+sinsin α=(sin α+cos α)=,所以sin α+cos α=,所以1+sin 2α=,所以sin 2α=-,故選D.

【答案】D

（2016·全國2卷）若將函數y=2sin 2x的圖像向左平移個單位長度,則平移后圖像的對稱軸為

【解析】本題主要考查三角函數的圖像變換和三角函數的性質,考查考生對基礎知識的掌握情況.函數y=2sin 2x的圖像向左平移個單位長度,得到的圖像對應的函數表達式為y=2sin 2(x+),令2(x+)=kπ+(k∈Z),解得x=+(k∈Z),所以所求對稱軸的方程為x=+(k∈Z),故選B.

【答案】B

（2016·全國2卷）△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,則b=　　　　. 

【解析】本題考查同角三角函數的關系,、正(余)弦定理的應用,對考生的基本運算能力有一定的要求,需要考生能根據條件靈活選擇相關公式進行解題.

解法一　因為cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=,從而sin B=sin(A+C)=

sin Acos C+cos Asin C=+.

由正弦定理,得b=.

解法二　因為cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=,從而cos B=-cos(A+C)=-cos Acos C+sin Asin C=-+.由正弦定理,得c=.由余弦定理b²=a²+c²-2accos B,得b=.

解法三　因為cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=,

由正弦定理,得c=.

從而b=acos C+ccos A=.

解法四　如圖,作BD⊥AC于點D,

由cos C=,a=BC=1,知CD=,BD=.

又cos A=,所以tan A=,從而AD=.

故b=AD+DC=.

【答案】

（2016·全國3卷）在△ABC中,B=,BC邊上的高等于BC,則cos A=

【解析】本題考查解三角形的知識,考查考生的運算求解能力.設△ABC中角A,B,C的對邊分別是a,b,c,由題意可得a=csinc,則a=c.在△ABC中,由余弦定理可得b²=a²+c²-ac=c²+c²-3c²=c²,則b=c.由余弦定理,可得cos A==-,故選C.

【答案】C

（2016·全國3卷）若tan α=,則cos²α+2sin 2α=

A.   B.     C.1     D.

【解析】本題考查三角恒等變換,考查考生的運算求解能力.通性通法　由tan α=,cos²α+sin²α=1,得或,則sin 2α=2sin αcos α=,則cos²α+2sin 2α=+.

光速解法　cos²α+2sin 2α=.故選A.

【答案】A

（2016·全國3卷）函數y=sin x-cos x的圖像可由函數y=sin x+cos x的圖像至少向右平移　　　　個單位長度得到. 

【解析】本題考查三角恒等變換,、三角函數的圖像,考查考生對平移法則的理解和應用能力.函數y=sin x-cos x=2sin(x-)的圖像可由函數y=sin x+cosx=2sin(x+)的圖像至少向右平移個單位長度得到.

【答案】

（2016·全國3卷）設函數f(x)=αcos 2x+(α-1)(cos x+1),其中α>0,記|f(x)|的最大值為A.

(Ⅰ)求f '(x);

(Ⅱ)求A;

(Ⅲ)證明|f '(x)|≤2A.

【解析】本題主要考查導數與函數及不等式的綜合應用,意在考查考生分析問題,、解決問題的能力.(Ⅰ)利用求導公式求解;(Ⅱ)利用換元法轉化為二次函數,結合二次函數的圖像求解;(Ⅲ)結合(Ⅱ)的結論及不等式的知識,分段討論進行證明.

【答案】(Ⅰ)f '(x)=-2αsin 2x-(α-1)sin x.  (Ⅱ)當α≥1時,

|f(x)|=|αcos 2x+(α-1)(cos x+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0).

因此A=3α-2. 當0α<>時,將f(x)變形為

f(x)=2αcos²x+(α-1)cos x-1.

令g(t)=2αt²+(α-1)t-1,則A是|g(t)|在[-1,1]上的最大值,

g(-1)=α,g(1)=3α-2,

且當t=時,g(t)取得極小值,極小值為g()=-.

令-1<>得α>.

(i)當0α≤時,g(t)在[-1,1]內無極值點,|g(-1)|=α,|g(1)|=2-3α,|g(-1)||g(1)|,所以A=2-3α.

(ii)當α<>時,由g(-1)-g(1)=2(1-α)>0,知g(-1)>g(1)>g().

又|g()|-|g(-1)|=>0,所以A=|g()|=.

綜上,A=                                                                                    

(Ⅲ)由(Ⅰ)得|f '(x)|=|-2αsin 2x-(α-1)sin x|≤2α+|α-1|.

當0α≤時,|f '(x)|≤1+α≤2-4α<>-3α)=2A.

當α<>時,A=++>1,所以|f '(x)|≤1+α<>A.

當α≥1時,|f '(x)|≤3α-1≤6α-4=2A.

所以|f '(x)|≤2A.

（2016·浙江卷）設函數f(x)=sin²x+bsin x+c,則f(x)的最小正周期

A.與b有關,且與c有關

B.與b有關,但與c無關

C.與b無關,且與c無關

D.與b無關,但與c有關

【解析】本題主要考查三角恒等變換,、三角函數的最小正周期等基礎知識,意在考查考生分析問題和解決問題的能力.由于f(x)=sin²x+bsin x+c=+bsinx+c.當b=0時,f(x)的最小正周期為π;當b≠0時,f(x)的最小正周期為2π.c的變化會引起f(x)圖象的上下平移,不會影響其最小正周期.故選B.

【答案】B

（2016·浙江卷）已知2cos²x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),則A=　　　　,b=　　　　. 

【解析】本題主要考查三角恒等變換,、三角函數的基本性質等知識,意在考查考生的運算求解能力.由于2cos²x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=sin(2x+)+1,所以A=,b=1.

【答案】　1

（2016·浙江卷）在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acos 

(Ⅰ)證明:A=2B;

(Ⅱ)若△ABC的面積S=,求角A的大小.

【解析】本題主要考查三角恒等變換、三角形內角和定理及正弦定理的應用等基礎知識,考查考生的運算求解能力.(Ⅰ)利用正弦定理進行求解;(Ⅱ)利用三角形的面積公式及正弦定理求出

sin C=cos B,進而求出角A的大小.

【答案】(Ⅰ)由正弦定理得

sin B+sin C=2sin Acos B,

故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=

sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).

又A,B∈(0,π),故0A-B<>所以,

B=π-(A-B)或B=A-B,

因此A=π(舍去)或A=2B,

所以A=2B.

(Ⅱ)由S=得absin C=,故有

sin Bsin C=sin 2B=sin Bcos B,

因為sin B≠0,所以sin C=cos B.

又B,C∈(0,π),所以C=±B.

當B+C=時,A=;

當C-B=時,A=.

綜上,A=或A=.

（2016·北京卷）將函數y=sin(2x)圖象上的點P(,t)向左平移s(s>0)個單位長度得到點P'.若P'位于函數y=sin 2x的圖象上,則

A.t=,s的最小值為     

B.t=,s的最小值為    

C.t=,s的最小值為            

D.t=,s的最小值為

【解析】本題考查三角函數的圖象和性質,意在考查考生的數形結合思想,、轉化與化歸思想以及運算求解能力.因為點P(,t)在函數y=sin(2x)的圖象上,所以t=sin(2×)=sin.又P'(s,)在函數y=sin 2x的圖象上,所以=sin 2(s),則2(s)=2kπ+或2(s)=2kπ+,k∈Z,得s=kπ+或s=kπ,k∈Z.又s>0,故s的最小值為.故選A.

【答案】A

（2016·北京卷）在△ABC中,a²+c²=b²+ac.

(Ⅰ)求∠B的大小;

(Ⅱ)求cos A+cos C的最大值.

【解析】本題主要考查余弦定理,、特殊角的三角函數、輔助角公式,、三角函數的最值等知識,意在考查考生的轉化與化歸能力及運算求解能力.(Ⅰ)根據余弦定理,即可求出∠B的余弦值,從而求出∠B 的大小;(Ⅱ)根據(Ⅰ)中得到的∠B,利用三角形的內角和定理與兩角差的余弦公式,再借助輔助角公式與角的范圍限制,即可求出cos A+cos C 的最大值.

【答案】(Ⅰ)由余弦定理及題設得

cos B=.

又0∠B<>所以∠B=.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知∠A+∠C=,則

cos A+cos C=cos A+cos(A)

=cos Acos A+sin A

=cos A+sin A

=cos(A).

因為0∠A,

所以當∠A=時,cos A+cos C取得最大值1.

（2016·山東卷）在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知2(tan A+tan B)=+.

(Ⅰ)證明:a+b=2c;

(Ⅱ)求cos C的最小值.

【解析】本題考查正弦定理,、余弦定理、同角三角函數之間的關系以及應用基本不等式求最值等,意在考查考生的基本計算能力和邏輯推理能力. (Ⅰ)首先把切函數轉化為弦函數,將分式化為整式,然后根據和角公式及三角形內角和定理化簡,最后根據正弦定理即可證明;(Ⅱ)首先根據(Ⅰ)中的結論和余弦定理表示出cos C,然后利用基本不等式求解其最值.

【答案】(Ⅰ)由題意知2(+)=+,

化簡得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B,

即2sin(A+B)=sin A+sin B,

因為A+B+C=π,

所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.

從而sin A+sin B=2sin C.

由正弦定理得a+b=2c.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知c=,

所以cos C=(+)-≥,

當且僅當a=b時,等號成立.

故cos C的最小值為.

（2016·四川卷）在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且+.

(Ⅰ)證明:sin Asin B=sin C;

(Ⅱ)若b²+c²-a²=bc,求.

【解析】本題主要考查三角恒等變換,、正弦定理、余弦定理等知識,考查考生的運算求解能力及轉化與化歸思想. (Ⅰ)利用正弦定理將+轉化為角的關系,整理化簡即可得證;(Ⅱ)利用余弦定理求出cos A,再結合(Ⅰ)即可求出tan B的值.

【答案】(Ⅰ)根據正弦定理,可設=k(k>0).

則a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.

代入+中,有+,變形可得

sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B

=sin(A+B).

在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,

所以sin Asin B=sin C.

(Ⅱ)由已知,b²+c²-a²=bc,根據余弦定理,有

cos A=.

所以sin A=.

由(Ⅰ),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,

所以sin B=cos B+sin B,

故tan B==4.

（2016·江蘇卷）在銳角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,則tan Atan Btan C的最小值是　　　　. 

【解析】本題考查三角恒等變換,、基本不等式的應用,考查等價轉化思想的應用. 由sin A=sin(B+C)=2sin Bsin C得sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C,兩邊同時除以cos Bcos C得tan B+tan C=2tan Btan C,令tan B+tan C=2tan Btan C=m,因為△ABC是銳角三角形,所以2tan Btan C>2,則tan Btan C>1,m>2.又在三角形中有tan Atan Btan C=tan(B+C)tan Btan C=·m==m2++4≥2+4=8,當且僅當m2=,即m=4時取等號,故tan Atan Btan C的最小值為8.

【答案】8

（2015·全國1卷）在平面四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,則AB的取值范圍是　　　　. 

【解析】本題考查解三角形的有關知識以及運用數形結合思想解決問題的能力.

如圖,作△PBC,使∠B=∠C=75°,BC=2,作直線AD分別交線段PB,、PC于A、D兩點(不與端點重合),且使∠BAD=75°,則四邊形ABCD就是符合題意的四邊形.過C作AD的平行線交PB于點Q,在△PBC中,可求得BP=+,在△QBC中,可求得BQ=-,所以AB的取值范圍是(-,+).

【答案】(-,+)

（2015·湖南卷）已知ω>0,在函數y=2sin ωx與y=2cos ωx的圖象的交點中,距離最短的兩個交點的距離為2,則ω=　　　　. 

【解析】本題主要考查三角函數的圖象與性質,結合數形結合思想,、函數思想和轉化思想求解三角函數問題.

由題意,兩函數圖象交點間的最短距離即相鄰的兩交點間的距離,設相鄰的兩交點坐標分別為P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),易知|PQ|²=(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²,其中|y₂-y₁|=-(-)=2,|x₂-x₁|為函數y=2sin ωx-2cos ωx=2sin(ωx-)的兩個相鄰零點之間的距離,恰好為函數最小正周期的一半,所以(2)²=()²+(2)²,ω=.

【答案】

（2015·山東卷）設f(x)=sin xcos x-cos²(x+).

(1)求f(x)的單調區(qū)間;

(2)在銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若f()=0,a=1,求△ABC面積的最大值.

【解析】本題主要考查三角函數的性質,、解三角形以及三角恒等變換等,意在考查考生基本的邏輯推理能力和計算能力.

(Ⅰ)首先利用二倍角公式及誘導公式將f(x)的解析式化為“一角一函數”的形式,然后求解函數f(x)的單調區(qū)間;(Ⅱ)首先求出角A的三角函數值,然后根據余弦定理及基本不等式求出bc的最大值,最后代入三角形的面積公式即可求出△ABC面積的最大值.

【答案】(1)由題意知f(x)=-

=-

=sin 2x-.

由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z;

由+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.

所以f(x)的單調遞增區(qū)間是[-+kπ,+kπ](k∈Z);

單調遞減區(qū)間是[+kπ,+kπ](k∈Z).

(2)由f()=sin A-=0,得sin A=,

由題意知A為銳角,所以cos A=.

由余弦定理a²=b²+c²-2bccos A,

可得1+bc=b²+c²≥2bc,

即bc≤2+,且當b=c時等號成立.

因此bcsin A≤.

所以△ABC面積的最大值為.