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在希臘神話中,，阿波羅神代表著洞見和真理,，他的神殿在圣地德爾斐，阿波羅神會通過德爾斐神諭在他的神殿里向虔誠的人們預言未來,。神殿的門楣上刻著一行字：“γν?θι σεαυτ?ν（認識你自己）”,。這句德爾斐箴言是阿波羅神告誡人類的第一句話--認識你自己--是走進神殿的第一步。 那么,，對于平凡而無助的人類,，如何可以認識自己呢？我們不是奧林匹斯山上的神袛,，只能通過不斷地自我觀照,，自我學習，才能從紛繁迷亂的世相中,，從千頭萬緒的生活里,，提煉自我的秉性與稟賦。這走進阿波羅神殿的第一步,，已然談何容易,，從古希臘到現(xiàn)在，是大到人類小到己身的永恒命題,，能做到者,，已是圣賢了。平凡如你我,，在人生的歷程中反求諸己,，用一生去參透，亦不知能否走進神靈的殿堂,，一窺更加廣大的真理,。 古希臘人也許不知道，在以量子多體系統(tǒng)為代表的凝聚態(tài)物理體系中,，也有認識自己的永恒命題,，但是這樣的命題,，通過自我學習，也許有可能使我們登堂入室,，走到阿波羅神的面前,，聆聽更加廣大的神諭。量子多體系統(tǒng)中的紛繁迷亂的世相,，來源于其“量子”與“多體”：唯其“量子”,，對于關聯(lián)電子系統(tǒng)的正確描述，需要遵循量子統(tǒng)計（費米-狄拉克或者玻色-愛因斯坦）,；唯其“多體”,，當我們要從統(tǒng)計的意義上描述體系時，系統(tǒng)的相空間或者說希爾伯特空間的大小,，指數(shù)地隨著自由度的數(shù)目增加,。比如自旋為1/2的關聯(lián)電子系統(tǒng)，相空間為4^N,，其中N為電子數(shù)目,，當N=100時，相空間的大小已是天文數(shù)字,。希望在統(tǒng)計的意義上遍歷相空間,，嚴格地得到系統(tǒng)的配分函數(shù)，不做近似（只有可控的系統(tǒng)誤差）,，這是蒙特卡洛計算孜孜以求的境界,。只有不做近似，才能抓住凝聚態(tài)量子多體系統(tǒng)豐富的物理內(nèi)涵,，才能研究以量子相變和量子臨界現(xiàn)象,，拓撲相和拓撲序，高溫超導體,，量子自旋液體等等為代表的強關聯(lián)電子系統(tǒng)中涌現(xiàn)出的奇異現(xiàn)象,。 那么問題來了，對于凝聚態(tài)量子多體系統(tǒng),，蒙特卡洛模擬發(fā)展到了什么程度呢,？或者說，對于強關聯(lián)電子系統(tǒng),，（量子）蒙特卡洛模擬算法,，有什么瓶頸性的困難呢？茲事體大,，這里的篇幅沒法完全展開,，在這篇文章中，筆者只希望講述我們最近發(fā)展“自學習蒙特卡洛方法（Self-leaning Monte Carlo method, SLMC）”三部曲[1,2,3]，講述我們?nèi)绾瓮ㄟ^自我觀照,、自我學習蒙特卡洛構(gòu)型,，設計出自學習蒙特卡洛方法,，解決了凝聚態(tài)量子多體系統(tǒng)蒙特卡洛模擬中一些諸如臨界慢化和接收概率低等瓶頸性的問題,，推動領域的發(fā)展。 對于一大類凝聚態(tài)量子多體系統(tǒng),，蒙特卡洛計算的效率很低,，這樣的情況包括在臨界點附近的臨界慢化，在阻挫磁體中復雜而難以遍歷的低能構(gòu)型,，亦包括玻色子,、費米子系統(tǒng)中的多種相互作用而導致的計算復雜度大等情況，這些情況即使得普通的蒙特卡洛局域更新策略束手無策,，也使得高效的集團更新方法扼腕嘆息,。以描述磁性相變的伊辛模型為例， 在二維的square lattice上,，第一項描述伊辛自旋之間的最近臨鐵磁相互作用,，對于這樣的問題蒙特卡洛模擬可以完美求解：如果系統(tǒng)不在相變點上，局域的更新已經(jīng)可以毫不費力的算出配分函數(shù),，從而得到各種熱力學觀測量,。如果系統(tǒng)處在從高溫的順磁態(tài)到低溫鐵磁態(tài)的相變點上，局域更新遇到了臨界慢化的 阻撓,，使得真正統(tǒng)計獨立的蒙特卡洛自旋構(gòu)型不容易得到,。臨界慢化是指蒙特卡洛構(gòu)型之間的關聯(lián)隨著系統(tǒng)尺度的增大而指數(shù)增大的現(xiàn)象，可以用自關聯(lián)時間 但是,，如果再考慮模型H中的第二項，問題就又變得復雜了,。第二項是多體相互作用（這里是square lattice上的四體相互作用）,，在實際的材料中多體相互作用普遍存在，但是對于上面討論的集團更新策略,，它卻是災難性的,，因為集團更新是以兩體相互作用為判斷依據(jù)的，在多體相互作用下沒法做集團更新,，原來系統(tǒng)中的臨界慢化,，接收概率低等等問題會已更加嚴重的形式出現(xiàn)。那么如何是好呢,？這里,，正是自學習蒙特卡洛出場的地方。先來講講三部曲中的第一部[1],。 圖1：自學習蒙特卡洛路線圖,。(i)，使用傳統(tǒng)的更新辦法生成足夠多的蒙特卡洛構(gòu)型,。（ii）,觀察構(gòu)型,，用自學習的方法,，從現(xiàn)有構(gòu)型中擬合出有效模型，有效模型描述系統(tǒng)低能的物理,，比原始模型易于模擬,。(iii),對于簡單的有效模型，可以做集團更新,，克服了原始模型的臨界慢化等問題,。（iv），將對于有效模型的更新反饋回到原始模型,，其接收與否由細致平衡條件控制,，這樣一來保證了模擬的嚴格性（文獻[1]）。 自學習蒙特卡洛第一部： 經(jīng)典體系([1]) 解決之道還是要通過自我觀照,、自我學習，學習體系的自旋構(gòu)型,。雖然現(xiàn)在的模型不能進行普通的集團更新,，但是我們總是可以用局域更新的辦法對其進行模擬（起碼在遠離相變點的地方），總是可以通過這樣的模擬生成足夠多的合理的蒙特卡洛構(gòu)型,，然后再來觀察這些構(gòu)型,，我們意識到，這些合理的構(gòu)型,，總可以認為是一個有效模型Heff通過蒙特卡洛模擬而生成的,， 這個有效模型Heff比原始模型H簡單，只包括兩體相互作用,。那么既然我們手頭上已經(jīng)具有足夠多的原始模型H的構(gòu)型,，何不就用這些構(gòu)型對于有效模型Heff做一個擬合，對于每一個構(gòu)型,，要求 因為構(gòu)型足夠多,，我們總能以很高的置信度得到擬合參數(shù)，也就是有效模型中的自旋相互作用參數(shù) 接收概率P(A->B),實際上要通過構(gòu)型A和B之間的能量差來就決定。如果不做自學習,，E(B)-E(A)可能會是一個很大的數(shù),，造成exp(-beta(E(B)-E(A)))很小，故而接收概率很低,；但是我們自學習蒙特卡洛的妙處,，就在于即使E(B)-E(A)很大，但是只要有效模型擬合得足夠好,， 效果如何,，請看圖2，這里我們畫出對于Eq.(1)中的模型,，取參數(shù)K/J=0.2, L=40時,在其順磁到鐵磁的相變點上,，系統(tǒng)磁矩的蒙特卡洛自關聯(lián)函數(shù)。橫軸是蒙特卡洛的步數(shù)Delta t,，自關聯(lián)函數(shù)隨著Delta t 衰減越慢,，說明構(gòu)型之間的關聯(lián)越強，自關聯(lián)時間
文獻[1]中的模型稍嫌簡單,，雖然自學習方法的思想已蘊藏其中,。故而，在三部曲的第二,、第三部（文獻[2],[3]）,我們將自學習蒙特卡洛推廣到更加復雜但是更加貼近凝聚態(tài)量子多體系統(tǒng)實際的模型里,，取得了很好的效果，下面簡要描述之,。 自學習蒙特卡洛第二部： 費米子體系中的自學習蒙特卡洛([2]) 依前所述,，“量子”特性導致了蒙特卡洛方法對凝聚態(tài)多體系統(tǒng)的統(tǒng)計性質(zhì)的研究更加困難，而費米子的泡利不相容原理則進一步使得對費米子體系的研究雪上加霜,。蒙特卡洛的基本特性是按照體系特定的概率分布進行抽樣,，也就是基于構(gòu)型相應的權重（能量）來實現(xiàn)在相空間的行走，從而實現(xiàn)構(gòu)型的更新,。對于經(jīng)典體系或者玻色子體系,，對于給定構(gòu)型,，計算相應的權重可以在一個常數(shù)時間內(nèi)完成，即計算時間不依賴于體系的尺寸,，但是對于費米子體系,，同樣的計算所需要的時間則按照體系尺寸的三次方增長。這樣的特性導致對于費米子的蒙特卡洛研究變得極其困難,。而我們提出的自學習蒙特卡洛方法則可以很 好的克服這個困難,。利用自學習蒙特卡洛方法，我們用一個有效的波色子模型來代替原來的費米子模型,，更好地指導構(gòu)型在相空間的行走,。具體的做法是，利用有效模型進行很多步的相空間的局域行走之后,，把得到的新構(gòu)型作為原始模型的試探構(gòu)型,，再使用細致平衡條件，使得試探構(gòu)型以很高的概率接收,，從而及其高效地實現(xiàn)原始模型的構(gòu)型更新,。 如果把費米子體系蒙特卡洛的計算比作商品銷售，傳統(tǒng)的方法是我們需要開車拉著所有商品（原始模型）挨家挨戶推銷,，而挨家挨戶尋找客戶（不停的局域更新構(gòu)型）和實際售出商品（得到統(tǒng)計獨立的新構(gòu)型）,，都需要把所有商品從工廠配送到客戶家中，消耗是一樣的,，而且是極大的浪費,；而新的方法則是通過在銷售過程中自我觀照，自我學習,，訓練出一只精干的市場調(diào)研小分隊,，尋找潛在買家（高權重統(tǒng)計獨立的構(gòu)型）的工作只需要派出這只消耗極低和效率極高的小分隊（有效模型），達成購買協(xié)議之后再由運輸部門實際配送貨物（是否接受找到的新構(gòu)型）,。顯而易見,，新的方法通過自學習訓練有效模型并據(jù)此指導構(gòu)型更新，而有效模型的構(gòu)型更新又十分的廉價和迅速,，從而可以極大地增加蒙特卡洛的實際運行速度,，可以實現(xiàn)對更大體系的模擬研究。我們把有效模型指導下的連續(xù)不斷的更新稱為cumulative update（累積性更新）,。 這種結(jié)合累積性更新的自學習蒙特卡洛方法可以通用地適用于所有費米子體系,，也包括同時具有費米子和波色子相互作用的體系。并且對于尺寸越大的體系,，增速的效果越明顯,。我們基于雙交換模型，進行了新方法的測試,。如圖所示,，對于8×8×8大小的立方晶格中,，新的方法可以輕松達到上千倍的加速效果。
圖3：自學習蒙特卡洛在費米子雙交換模型中的結(jié)果,。傳統(tǒng)方法（Conventional）和自學習蒙特卡洛（SLMC）對于雙交換模型在不同大小的立方晶格中的效率比較,。橫軸是三維立方晶格的尺寸（L×L×L），縱軸是以費米更新步數(shù)為單位的自關聯(lián)長度,，正比于得到兩個統(tǒng)計獨立的構(gòu)型所需要的實際計算時間,。顯而易見，對于傳統(tǒng)方法,，隨著體系尺寸增大,，需要的計算時間指數(shù)上升；而對于自學習蒙特卡洛,，計算時間幾乎不依賴尺寸,，而且遠遠小于傳統(tǒng)方法。更重要的是,，尺寸越大,，加速倍數(shù)也越大（文獻[2]）。 自學習蒙特卡洛第三部： 自學習行列式蒙特卡洛([3]) 巡游費米子的量子臨界性質(zhì)是強關聯(lián)電子領域的一個重要研究課題,。巡游費米子量子臨界點在很多過渡金屬氧化物,、重費米子等材料的超導、非費米液體等行為中扮演重要角色,。由于問題的復雜性,，以微擾論為代表的解析方法，無法給出定量正確甚至是定性正確的結(jié)果,，近年來量子蒙特卡洛方法的發(fā)展使得數(shù)值求解這一類問題成為可能。例如,，我們考慮一個描述金屬中的Ising鐵磁量子臨界點模型,，其中金屬中的Ising鐵磁量子臨界點通過玻色場與費米面的耦合引入，利用行列式蒙特卡洛（Determinantal quantum Monte Carlo, DQMC）,，我們可以數(shù)值求解這個模型,。但是，我們發(fā)現(xiàn)常規(guī)的行列式蒙特卡洛算法在相變點上會遭遇嚴重的臨界慢化問題,。此時,，利用自學習蒙特卡洛方法就可以徹底解決這個困難。圖4顯示的是在有限溫度的Ising鐵磁相變點上,，常規(guī)行列式蒙特卡洛（DQMC）與自學習行列式蒙特卡洛（Self-learning Determinantal Quantum Monte Carlo, SLDQMC）的構(gòu)型之間的自關聯(lián)時間隨著系統(tǒng)線性尺度（L）的變化,。
圖4：自學習蒙特卡洛在巡游關聯(lián)電子系統(tǒng)中的結(jié)果。如果使用常規(guī)行列式蒙特卡洛（DQMC）,由于算法只能使用局域更新,，其構(gòu)型之間的自關聯(lián)時間 在圖4中使用了對數(shù)坐標,，橫軸是系統(tǒng)線性尺度，縱軸是蒙特卡洛自關聯(lián)時 間,，可見,，自學習行列式蒙特卡洛（SLDQMC）方法的蒙卡自關聯(lián)時間不依賴于系統(tǒng)的線性尺度，臨界慢化問題得到根本解決,。更有意思的是,，計算復雜度也被大大降低，在特定溫度下,，SLDQMC和DQMC相比,，可以得到N倍的加速（N=L×L是二維晶格的大小）,，從而使得我們可以計算二維L=100這種費米子量子蒙特卡洛計算中前人無法企及的系統(tǒng)尺度,。 結(jié)語 通過自學習蒙特卡洛三部曲，從經(jīng)典系統(tǒng)[1],，到巡游費米子與經(jīng)典自旋的耦合（雙交換模型）[2],，再到巡游費米子的量子多體系統(tǒng)[3]，我們一步步地看到,，自學習蒙特卡洛比傳統(tǒng)的蒙特卡洛方法大大前進了一步,。通過觀察蒙特卡洛構(gòu)型，用自學習的方法,，可以擬合出描述系統(tǒng)低能物理的有效模型,，相比于原始模型，有效模型易于模擬,，而且可以通過對于有效模型的累積性更新,，克服臨界慢化的難題；更有意思的是,，我們可以善用細致平衡條件,，使得通過有效模型對于原始模型的更新，保持近乎完美的接收概率,。由于這兩個優(yōu)勢,，自學習蒙特卡洛可以極大地減少計算復雜度，在困難的凝聚態(tài)量子多體問題中，獲得上千倍的加速,。比如在第二和第三部中,，對于相互作用的費米子體系，100×100的晶格已變的可以模擬,，這是領域內(nèi)期盼多年的結(jié)果,。對于凝聚態(tài)量子多體系統(tǒng)中的一些基本問題，現(xiàn)在有望給出更加確定性的回答,。 時光再回到古希臘,，德爾斐箴言——“認識你自己”，這句在人類文明的孩童期就提出的永恒命題,，似乎還會永恒下去,。平凡如你我者，只有在不斷追問,、上下求索的過程中,，籍心于能夠走進神殿，聆聽阿波羅的真理,，然而這談何容易,。但是，往往就是在追問的時候,，偶爾的靈光一閃,，可以讓我們在自己的領域里參透一些幽深的真理，片刻地走入神靈的殿堂,，自學習蒙特卡洛與其在凝聚態(tài)多體系統(tǒng)中的應用,，是為一例。 參考文獻： [1]. Self-Learning Monte Carlo Method, Junwei Liu, YangQi, Zi Yang Meng, Liang Fu,arXiv:1610.03137[cond-mat.str-el]. [2]. Self-Learning Monte Carlo Method in Fermion Systems, Junwei Liu,Huitao Shen, Yang Qi, Zi Yang Meng,Liang Fu,arXiv:1611.09364[cond-mat.str-el]. [3]. Self-Learning Determinantal Quantum Monte Carlo Method, Xiao Yan Xu, Yang Qi, Junwei Liu,Liang Fu, Zi Yang Meng,arXiv:1612.03804 [cond-mat.str-el]. 致謝： 完成這三部曲的團隊,，除筆者外,，還包括物理所許霄琰，麻省理工學院劉軍偉,、戚揚,、沈匯濤、傅亮,。其中劉軍偉和許霄琰更對本文“自學習蒙特卡洛第二部”，“自學習蒙特卡洛第三部”的文字,，有直接貢獻,，這里一并感謝。我們這個團隊,，配合默契,，在地球的兩端共同認識彼此、認識自己,，收獲地不僅是有趣有益的物理,。 另外,，筆者尤其要感謝的，是我在物理所優(yōu)秀的同事王磊,。廣而言之,，自學習蒙特卡洛是機器學習的觀念在凝聚態(tài)多體問題中的具體應用，正是王磊滿懷激情地“鼓吹”和潛移默化地“滲透”,，讓筆者開始注意到這個方向,，原來一些模糊的想法開始被具體化。在運用機器學習優(yōu)化蒙特卡洛算法方面,，王磊與合作者（黃理,、楊義峰）也有不凡的工作，arXiv:1610.02746[physics.comp-ph],，arXiv:1612.01871[cond-mat.str-el],，與自學習蒙特卡洛類似的想法，也在其中閃爍著,。 編輯：楊發(fā)枝 近期熱門文章Top10 ↓ 點擊標題即可查看 ↓ 1. 如果再讀一次研究生 3. 你以為你很懂水？ 4. 拿過奧運會獎牌的數(shù)學家,，數(shù)學博士答辯時卻坐滿了他的球迷 6. 廣義相對論和狹義相對論的根本區(qū)別 |No.31 7. 物理天才馬約拉納消失之謎 9. 他是中科院超牛的物理學者，更是搖滾界無人不知的“李白”
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來自： 汐鈺文藝范 > 《數(shù)理化拾粹》
來描述,，在這里
的具體值,。這里所說的,，其實就是圖1“自學習蒙特卡洛路線圖”中的(i)和(ii)。 有了有效模型Heff中的參數(shù),，因為其只有兩體相互作用,，我們可以放心大膽地在它身上運用集團更新的方法，模擬有效模型,，這樣一來,，臨界慢化和接收概率低等等問題就有希望被克服，就是圖1中的(iii),。那么到底能否被克服呢,？我們來看圖1中的(iv),，這里我們運用細致平衡條件，把有效模型的更新反饋給原始模型,，在原始模型眼中,，將自旋構(gòu)型A更新到自旋構(gòu)型B，這個動作會以多大的概率被接收,，要看如下公式,，
可以很小,，同理，
也可以很小,，故而
,接收概率P(A->B)~exp(0)~1,，總是接收。這樣一來,，自學習蒙特卡洛即通過有效模型的集團更新克服了原始模型在相變點處的臨界慢化,，又通過有效模型是原始模型的低能近似的事實，保證了近乎完美的接收概率,。
