1．(2010年北京市東城區(qū)一模)如果對(duì)任意一個(gè)三角形，只要它的三邊長a,b,c都在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi),，就有f(a),f(b),f(c)也是某個(gè)三角形的三邊長,，則稱f(x)為保三角函數(shù)，則下列函數(shù)中是保三角函數(shù)的是_______．
(1) f(x)=√x,；
(2) g(x)=sinx,，x∈(0,π)；
(3) h(x)=lnx,，x∈[2,+∞)．

2．在△ABC中,，AC=BC=√5，點(diǎn)D,E,F分別在邊AB,BC,CA上,，且AD=DB=EF=1,，若→DE?→DF?2516，則→EF?→BA的取值范圍_______．

3．已知正整數(shù)a1,a2,?,a2016成等比數(shù)列,，公比q∈(1,2),，則a2016取最小值時(shí)，q=_______．

4．求所有的正整數(shù)x,y,，使得x2+3y和y2+3x都是完全平方數(shù)．

5．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?span style="color: inherit;">(0,1),，且f(x)={x,x?Q,p+1q,x=pq,p,q∈N?,(p,q)=1.

6．(2010年北京市朝陽區(qū)二模)已知{an}為遞增數(shù)列,，其前n項(xiàng)和為Sn,，a1>1，且10Sn=(2an+1)(an+2),，n∈N?．
(1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,；
(2) 是否存在m,n,k∈N?,，使得2(am+an)=ak成立？若存在,，寫出一組符合條件的m,n,k,；若不存在，請(qǐng)說明理由,；
(3) 設(shè)bn=an?n?32,，cn=2(n+3)an5n?1，若對(duì)于任意的n∈N?,，不等式√5m31(1+1b1)(1+1b2)?(1+1bn)?1√cn+1+n?1?0

7．從1,2,?,100個(gè)連續(xù)的正整數(shù)中選取三個(gè)不同的數(shù)．
(1) 可以選出的等差數(shù)列共有多少個(gè)？
(2) 可以選出的等比數(shù)列共有多少個(gè),？
(3) 三個(gè)數(shù)的和為3的倍數(shù)有多少種選法,？
(4) 兩兩之差不小于2，有多少種選法,？

參考答案

1．(1)(3)．

提示　一個(gè)單調(diào)函數(shù)是保三角函數(shù)的充要條件是對(duì)任意定義域上的實(shí)數(shù)a,b,c,，若a+b>c，則f(a)+f(b)>f(c)．(2)的反例為a=b=5π6,，而c=π2．對(duì)于(1),，當(dāng)a+b>c時(shí)，有√a+√b=√a+b+2√ab?√a+b>√c;

2．[43,2]．

提示　可以建系處理,，以D為原點(diǎn),，AB,DC分別為x,y軸建立空間直角坐標(biāo)系，有A(?1,0),B(1,0),C(0,2),，可以設(shè)點(diǎn)F(m,2?2m),F(n,2n+2),，則題意有{|EF|2=(m?n)2+4(m+n)2=1,→DE?→DF=4n?4m+4?3mn?2516,

3．32．

顯然q為有理數(shù),，設(shè)數(shù)列a1,a2,?,a2016為n2015a,n2014ma,?,m2015a,

4．當(dāng)x=y時(shí),，有x2+3x是完全平方數(shù)，而(x+1)2?x2+3x<(x+2)2,

5．情形一　當(dāng)x是無理數(shù)時(shí),，f(x)<kk+1．

情形二　當(dāng)x是有理數(shù)時(shí)，設(shè)x=pq,，k?1k<pq<kk+1,，所以pk?q(k?1)>0,qk?p(k+1)>0,

設(shè)p=q?i,i?2,，則由k?1k<q?iq<kk+1得ki<q<(k+1)i，而q越大時(shí),，f(q?iq)=q?i+1q越大,，所以取q=(k+1)i?1，從而有f(q?iq)=ki(k+1)i?1=kk+1+kk+1(k+1)i?1,

綜上所述,，由于當(dāng)k?1時(shí),，2k2k+1>kk+1，因此所求的最大值為2k2k+1,，此時(shí)x=2k?12k+1．

6．(1) 當(dāng)n=1時(shí),，有10a1=(2a1+1)(a1+2),

當(dāng)n?2時(shí)，有10an=(2an+1)(an+2)?(2an?1+1)(an?1+2),

(2) 不存在滿足條件的正整數(shù)m,n,k．用反證法證明如下．

假設(shè)存在m,n,k∈N?,，使得2(am+an)=ak，則5m?1+5n?1=5k?12,

(3) 根據(jù)題意,，有bn=2n+1,cn=n+3,

7．(1) 考慮首項(xiàng)和末項(xiàng)的奇偶性必須相同,，且首末項(xiàng)確定時(shí)數(shù)列確定,，因此可以選出的等差數(shù)列個(gè)數(shù)為A250+A250=4900.

(2) 可以選出的等比數(shù)列必然形如m2a,mna,n2a，其中m,n,a為正整數(shù),，且m,n互質(zhì),，m≠n．先考慮m<n的情形，可能的(m,n)有(1,2),(1,3),(2,3),(1,4),(3,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(1,6),(5,6),(1,7),(2,7),(3,7),(4,7),(5,7),(6,7),(1,8),(3,8),(5,8),(7,8),(1,9),(2,9),(4,9),(5,9),(7,9),(8,9),(1,10),(3,10),(7,10),(9,10).

(3) 1,2,?,100中模3余0,1,2的數(shù)分別有33,34,33個(gè)．因此所求的選法數(shù)為C333+C334+C333+C133C134C133=53922.

(4) 從1,2,?,98中選出3個(gè)數(shù)從小到大排列,，依次加上0,1,2即可,，因此不同的選法總數(shù)共有C398=152096．