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河北省邯鄲一中2016屆高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版)

 許愿真 2016-11-04


2015-2016學(xué)年河北省邯鄲一中高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)

參考答案與試題解析

一,、選擇題:(每小題5分,,共60分)

1.已知集合A={(x,y)|x,,y為實數(shù),,且x2+y2=1},B={(x,,y)|x,,y為實數(shù),且y=x},,則A∩B的元素個數(shù)為( )

A.0 B.1 C.2 D.3

【考點】交集及其運算.

【分析】據(jù)觀察發(fā)現(xiàn),,兩集合都表示的是點集,所以求兩集合交集即為兩函數(shù)的交點,,則把兩集合中的函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立求出兩函數(shù)的交點坐標(biāo),,交點有幾個,兩集合交集的元素就有幾個.

【解答】解:聯(lián)立兩集合中的函數(shù)解析式得:

clip_image002,,把②代入①得:2x2=1,,解得x=±clip_image004

分別把x=±clip_image004[1]代入②,,解得y=±clip_image004[2],,

所以兩函數(shù)圖象的交點有兩個,坐標(biāo)分別為(clip_image004[3],,clip_image004[4])和(﹣clip_image004[5],,﹣clip_image004[6]),,

則A∩B的元素個數(shù)為2個.

故選C

2.設(shè)集合A={y|y=1nx,x≥1},,B={y|y=1﹣2x,,x∈R}則A∩B=( )

A.[0.1) B.[0,1] C.(﹣∞,,1] D.[0,,+∞)

【考點】交集及其運算.

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)圖象化簡集合A和B,再利用兩個集合的交集的定義求出A∩B.

【解答】解:∵集合A={y|y=1nx,,x≥1}={x|x≥0},,

B={y|y=1﹣2x,x∈R}={x|x<1}

∴A∩B={x|0≤x<1}

故選:A.

3.下列有關(guān)命題的說法正確的是( )

A.命題“若x2=1,,則x=1”的否命題為:“若x2=1,,則x≠1”

B.“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分條件

C.命題“?x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“?x∈R,,均有x2+x+1<0”

D.命題“若x=y,,則sinx=siny”的逆否命題為真命題

【考點】命題的否定;必要條件,、充分條件與充要條件的判斷.

【分析】對于A:因為否命題是條件和結(jié)果都做否定,,即“若x2≠1,則x≠1”,,故錯誤.

對于B:因為x=﹣1?x2﹣5x﹣6=0,,應(yīng)為充分條件,故錯誤.

對于C:因為命題的否定形式只否定結(jié)果,,應(yīng)為?x∈R,,均有x2+x+1≥0.故錯誤.由排除法即可得到答案.

【解答】解:對于A:命題“若x2=1,則x=1”的否命題為:“若x2=1,,則x≠1”.因為否命題應(yīng)為“若x2≠1,,則x≠1”,故錯誤.

對于B:“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分條件.因為x=﹣1?x2﹣5x﹣6=0,,應(yīng)為充分條件,故錯誤.

對于C:命題“?x∈R,,使得x2+x+1<0”的否定是:“?x∈R,,均有x2+x+1<0”.

因為命題的否定應(yīng)為?x∈R,均有x2+x+1≥0.故錯誤.

由排除法得到D正確.

故答案選擇D.

4.下列函數(shù)中,,在[﹣1,,0]上單調(diào)遞減的是( )

A.y=cosx B.y=﹣|x﹣1|

C.y=logclip_image006clip_image008 D.y=ex+ex

【考點】函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間.

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可.

【解答】解:A.函數(shù)y=cosx在[﹣1,0]上是增函數(shù),,故A不滿足條件.

B.當(dāng)﹣1≤x≤0,,y=﹣|x﹣1|=x﹣1為增函數(shù),,不滿足條件.

C.clip_image009 =clip_image011 =clip_image013﹣1,

當(dāng)﹣1≤x≤0時,,clip_image013[1]﹣1為減函數(shù),,∵y=logclip_image015t為減函數(shù),

∴此時y=logclip_image015[1]clip_image009[1]為增函數(shù),,故C不滿足條件.

D.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=ex﹣ex,,由f′(x)=ex﹣ex<0得ex<ex,即x<﹣x,,即x<0,,

即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(﹣∞,0],,

即當(dāng)﹣1≤x≤0時,,函數(shù)y=ex+ex為減函數(shù),故D滿足條件.

故選:D

5.已知直線3x+2y﹣3=0和6x+my+1=0互相平行,,則它們之間的距離是( )

A.4 B.clip_image017 C.clip_image019 D.clip_image021

【考點】兩條平行直線間的距離.

【分析】根據(jù)兩條直線平行,,一次項的系數(shù)對應(yīng)成比例,求得m的值,,再根據(jù)兩條平行線間的距離公式求得它們之間的距離.

【解答】解:直線3x+2y﹣3=0即 6x+4y﹣6=0,,根據(jù)它和6x+my+1=0互相平行,可得clip_image023,,故m=4.

可得它們間的距離為 d=clip_image025=clip_image027,,

故選:D.

6.兩圓x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的連心線方程為( )

A.x+y+3=0 B.2x﹣y﹣5=0 C.3x﹣y﹣9=0 D.4x﹣3y+7=0

【考點】圓與圓的位置關(guān)系及其判定.

【分析】將兩圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程,得到它們的圓心分別為C1(2,,﹣3),、C2(3,0),,求出C1C2的斜率k=3,,再利用直線方程的點斜式列式,化簡即可得到兩圓的連心線方程.

【解答】解:將圓x2+y2﹣4x+6y=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程,,得(x﹣2)2+(y+3)2=13,,

∴圓x2+y2﹣4x+6y=0的圓心為C1(2,﹣3).

同理可得圓x2+y2﹣6x=0的圓心為C2(3,,0),,

∴C1C2的斜率k=clip_image029=3,

可得C1C2的直線方程為y+3=3(x﹣2),,化簡得3x﹣y﹣9=0,,即為兩圓的連心線方程.

故選:C

7.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=clip_image031(n∈N*,其前n項和Sn=clip_image033,,則雙曲線clip_image035clip_image037=1的漸近線方程為( )

A.clip_image039 B.clip_image041 C.clip_image043 D.clip_image045

【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).

【分析】根據(jù)數(shù)列{an}的通項利用裂項求和算出Sn,,代入題中解出n=9,,可得雙曲線的方程為clip_image047,再用雙曲線的漸近線方程的公式即可算出該雙曲線的漸近線方程.

【解答】解:∵數(shù)列{an}的通項公式為clip_image049,,

clip_image051,,可得

clip_image053

即1﹣clip_image055=clip_image057,解之得n=9.

∴雙曲線的方程為clip_image058,,得a=clip_image060,,b=3

因此該雙曲線的漸近方程為y=clip_image062,即clip_image064

故選:C

8.已知函數(shù)f(x)=sinx﹣clip_image066cosx的圖象向左平移m(m>0)個單位,,若所得的曲線關(guān)于y軸對稱,,則實數(shù)m的最小值是( )

A.clip_image068 B.clip_image070 C.clip_image072 D.clip_image074

【考點】函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換,;由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式.

【分析】求得y=sinx﹣clip_image076cosx的圖象向左平移m(m>0)個單位后的解析式,,利用正弦函數(shù)的對稱性可得m的最小值.

【解答】解:∵y=f(x)=sinx﹣clip_image076[1]cosx=2sin(x﹣clip_image070[1]),

∴f(x)的圖象向左平移m(m>0)個單位后得:

g(x)=f(x+m)=2sin(x+m﹣clip_image070[2]),,

∵g(x)=2sin(x+m﹣clip_image070[3])的圖象關(guān)于y軸對稱,,

∴g(x)=2sin(x+m﹣clip_image077)為偶函數(shù),

∴m﹣clip_image079=kπ+clip_image081,,k∈Z,,

∴m=kπ+clip_image083,k∈Z.

∵m>0,,

∴mmin=clip_image083[1]

故選D.

9.x,、y滿足約束條件clip_image085,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,,b>0)的最大值為7,,則clip_image087的最小值為( )

A.14 B.7 C.18 D.13

【考點】基本不等式;簡單線性規(guī)劃.

【分析】作出可行域,,得到目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,,b>0)的最優(yōu)解,從而得到3a+4b=7,,利用基本不等式即可.

【解答】解:∵x,、y滿足約束條件clip_image085[1],目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,,b>0),,作出可行域:

由圖可得,可行域為△ABC區(qū)域,,目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)經(jīng)過可行域內(nèi)的點C時,,取得最大值(最優(yōu)解).

clip_image089解得x=3,,y=4,,即C(3,4),,

∵目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,,b>0)的最大值為7,

∴3a+4b=7(a>0,,b>0),,

clip_image091=clip_image093(3a+4b)·(clip_image091[1]

=clip_image093[1](9+clip_image095+16+clip_image097)≥clip_image093[2](25+2clip_image099)=clip_image101×49=7(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時取“=”).

故選B.

clip_image103

10.已知數(shù)列{an}滿足a1=0,an+1=an+2clip_image105+1,,則a13=( )

A.143 B.156 C.168 D.195

【考點】數(shù)列遞推式.

【分析】把已知的數(shù)列遞推式變形,,得到{clip_image105[1]}是以1為首項,以1為公差的等差數(shù)列,,求出其通項公式后得到an,,則a13可求.

【解答】解:由an+1=an+2clip_image105[2]+1,得

clip_image107,,

clip_image109,,

又a1=0,

∴{clip_image111}是以1為首項,,以1為公差的等差數(shù)列,,

clip_image113

clip_image115

則a13=169﹣1=168.

故選:C.

11.設(shè)橢圓clip_image117+y2=1的左,、右焦點分別為F1,,F(xiàn)2,M為橢圓上異于長軸端點的一點,,∠F1MF2=2θ,,△MF1F2的內(nèi)心為I,則|MI|COSθ=( )

A.2﹣clip_image119 B.clip_image121 C.clip_image123 D.clip_image125

【考點】圓錐曲線的綜合.

【分析】設(shè)圓與MF1,、MF2,,分別切于點A,B,,根據(jù)切線長定理就有|F1F2|=|F1A|+|F2B|=2clip_image126,,所以|MI|cosθ=|MA|=|MB|,由此可得結(jié)論.

【解答】解:由題意,,|MF1|+|MF2|=4,,而|F1F2|=2clip_image126[1]

設(shè)圓與MF1,、MF2,,分別切于點A,B,根據(jù)切線長定理就有|F1F2|=|F1A|+|F2B|=2clip_image126[2],,

所以|MI|cosθ=|MA|=|MB|=clip_image128=2﹣clip_image126[3],,

故選A.

12.已知橢圓C1clip_image130 +clip_image132=1的左右焦點為F1,F(xiàn)2,,直線l1過點F1且垂直于橢圓的長軸,,動直線l2垂直于直線l1于點P,線段PF2的垂直平分線與l2的交點的軌跡為曲線C2,,若A(1,,2),B(x1,,y1),,C(x2,y2)是C2上不同的點,,且AB⊥BC,,則y2的取值范圍是( )

A.(﹣∞,﹣6)∪[10.+∞) B.(﹣∞,,6]∪[10.+∞) C.(﹣∞,,﹣6)∪(10,+∞) D.以上都不正確

【考點】橢圓的簡單性質(zhì).

【分析】由已知條件推導(dǎo)出曲線C2:y2=4x.clip_image134,,clip_image136,,由AB⊥BC,推導(dǎo)出clip_image138,,由此能求出yclip_image140的取值范圍.

【解答】解:∵橢圓C1clip_image142 +clip_image144=1的左右焦點為F1,,F(xiàn)2

∴F1(﹣1,,0),,F(xiàn)2(1,0),,直線l1:x=﹣1,,

設(shè)l2:y=t,設(shè)P(﹣1,,t),,(t∈R),M(x,,y),,

則y=t,且由|MP|=|MF2|,,

∴(x+1)2=(x﹣1)2+y2,,

∴曲線C2:y2=4x.

∵A(1,,2),B(x1,,y1),,C(x2,y2)是C2上不同的點,,

clip_image146clip_image148,,

∵AB⊥BC,,

clip_image150=(x1﹣1)(x2﹣x1)+(y1﹣2)(y2﹣y1)=0,

clip_image152,,clip_image154,,

∴(clip_image156﹣4)(clip_image158clip_image160)+clip_image162=0,

∵y1≠2,,y1≠y2,,

clip_image164

整理,,得clip_image166,,

關(guān)于y1的方程有不為2的解,

clip_image168,,且y2≠﹣6,,

clip_image1700,且y2≠﹣6,,

解得y2<﹣6,,或yclip_image172≥10.

故選:A.

二、填空題(本大題共4小題,,每小題5分,,共20分,把答案填在答題紙上.

13.雙曲線mx2+y2=1的虛軸長是實軸長的2倍,,則m= clip_image174

【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).

【分析】把雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,,根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程求出虛軸長和實軸長,再利用虛軸長是實軸長的2倍求出m值.

【解答】解:雙曲線mx2+y2=1的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2clip_image176=1,,虛軸的長是 2clip_image178,,實軸長 2.

由題意知,2clip_image179=4,,∴m=﹣clip_image181,,

故答案為﹣clip_image181[1]

14.若直線y=x+b被圓x2+y2=1所截得的弦長不小于1,則b的取值范圍是 clip_image183≤bclip_image183[1]

【考點】直線與圓相交的性質(zhì).

【分析】由條件求得弦心距d,,利用弦長公式,,結(jié)合直線y=x+b被圓x2+y2=1所截得的弦長不小于1,,即可求出b的取值范圍.

【解答】解:根據(jù)點到直線的距離公式可得弦心距d=clip_image185

∵直線y=x+b被圓x2+y2=1所截得的弦長不小于1,,圓x2+y2=1的半徑為r=1,,

∴2clip_image187≥1

故﹣clip_image189≤b≤clip_image189[1]

故答案為:﹣clip_image189[2]≤b≤clip_image189[3]

15.設(shè)拋物線y2=2x的焦點為F,過F的直線交該拋物線于A,,B兩點,,則|AF|+4|BF|的最小值為 clip_image191

【考點】拋物線的簡單性質(zhì).

【分析】設(shè)A(x1,y1),,B(x2,,y2).當(dāng)直線AB的斜率存在時,設(shè)直線AB的方程為y=clip_image193,,(k≠0).與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系,,利用|AF|+4|BF|=clip_image195及其基本不等式的性質(zhì)即可得出,當(dāng)直線AB的斜率不存在時,,直接求出即可.

【解答】解:Fclip_image197,,

設(shè)A(x1,y1),,B(x2,,y2).

當(dāng)直線AB的斜率存在時,設(shè)直線AB的方程為y=clip_image198,,(k≠0).

聯(lián)立clip_image200,,化為clip_image202

x1x2=clip_image204

∴|AF|+4|BF|=clip_image206=x1+4x2+clip_image208clip_image210+clip_image208[1]=clip_image212,,當(dāng)且僅當(dāng)x1=4x2=1時取等號.

當(dāng)直線AB的斜率不存在時,,|AF|+4|BF|=5p=5.

綜上可得:|AF|+4|BF|的最小值為clip_image212[1]

故答案為:clip_image212[2]

16.已知A(x1,y1)是拋物線y2=4x上的一個動點,,B(x2,,y2)是橢圓clip_image214+clip_image216=1上的一個動點,N(1,,0)是一定點,,若AB∥x軸,且x1<x2,,且△NAB的周長的取值范圍是_ clip_image218,,4

【考點】拋物線的簡單性質(zhì).

【分析】可考慮用拋物線的焦半徑公式和橢圓的焦半徑公式來做,先通過聯(lián)立拋物線與橢圓方程,,求出A,,B點的橫坐標(biāo)范圍,再利用焦半徑公式轉(zhuǎn)換為以B點的橫坐標(biāo)為參數(shù)的式子,,再根據(jù)前面求出的B點橫坐標(biāo)范圍計算即可.

【解答】解:如圖A,,B分別在如圖所示的實線運動,,

clip_image220得,拋物線y2=4x與橢圓clip_image214[1]+clip_image216[1]=1

在第一象限的交點橫坐標(biāo)為clip_image222,,

設(shè)A(x1,,y1),B(x2,,y2),,

則0<x1clip_image222[1]clip_image222[2]<x2<2,,

由可得,,三角形ABN的周長l=|AN|+|AB|+|BN|

=x1+clip_image224+x2﹣x1+a﹣ex2

=clip_image224[1]+a+clip_image226x2=3+clip_image226[1]x2

clip_image222[3]<x2<2,,

clip_image228<3+clip_image230x2<4,

故答案為:(clip_image231,,4).

clip_image233

三,、解答題(70分,解答應(yīng)寫出文字說明,,證明過程或步驟,,寫在答題紙的相應(yīng)位置.

17.過點P(4,1)作直線l分別交x軸的正半軸和y軸的正半軸于點A,、B,,當(dāng)△AOB(O為原點)的面積S最小時,求直線l的方程,,并求出S的最小值.

【考點】直線的截距式方程.

【分析】首先,,設(shè)直線的方程,然后,,將P坐標(biāo)代入,,然后,結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解.

【解答】解:設(shè)A(a,,0),,B(0,b),,(a,,b>0),

則直線l的方程為clip_image235,,

又∵P(4,,1)在直線l上,

clip_image237,,…

又∵clip_image239,,

∴ab≥16,,∴clip_image241

等號當(dāng)且僅當(dāng)clip_image243,,即a=8,,b=2時成立,

∴直線l的方程為:x+4y﹣8=0,,Smin=8. …

18.在△ABC中,,角A,B,,C的對邊分別為a,,b,c,,且A,,B,C成等差數(shù)列.

(Ⅰ)若b=7,,a+c=13,,求△ABC的面積;

(Ⅱ)求clip_image245sinA+sin(C﹣clip_image247)的最大值及取得最大值時角A的大?。?/p>

【考點】正弦定理,;三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用.

【分析】(Ⅰ)由條件求得B的值,利用余弦定理求得ac的值,,從而求得△ABC的面積clip_image249的值.

(Ⅱ)利用三角恒等變換,,化簡clip_image250sinA+sin(C﹣clip_image247[1])的解析式,再利用正弦函數(shù)的定義域和值域,,求得clip_image250[1]sinA+sin(C﹣clip_image247[2])的最大值及取得最大值時角A的大?。?/p>

【解答】解:(Ⅰ)△ABC中,因為A,,B,,C成等差數(shù)列,

所以B=clip_image251

由b2=a2+c2﹣2accos60°=(a+c)2﹣3ac,,

即72=132﹣3ac,,求得ac=40.

所以△ABC的面積clip_image253

(Ⅱ)clip_image255=clip_image257=clip_image259

又A∈(0,clip_image261),,

clip_image263,,

從而當(dāng)A+clip_image265=clip_image266,即A=clip_image251[1]時,,2sin(A+clip_image265[1])取最大值2.

綜上所述,,clip_image255[1]的最大值為2,此時A=clip_image070[4]

19.已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點,,其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=6x﹣2,,數(shù)列{an}的前n項和為Sn,,點(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上.

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式,;

(Ⅱ)設(shè)clip_image268,,Tn是數(shù)列{bn}的前n項和,求使得clip_image270對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m.

【考點】數(shù)列的求和,;導(dǎo)數(shù)的運算.

【分析】(Ⅰ)設(shè)這二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a≠0),,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求得f(x)的表達(dá)式,再根據(jù)點(n,,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上,,求出an的遞推關(guān)系式,

(Ⅱ)把(1)題中an的遞推關(guān)系式代入bn,,根據(jù)裂項相消法求得Tn,,最后解得使得clip_image272對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m.

【解答】解:(Ⅰ)設(shè)這二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a≠0),

則f′(x)=2ax+b,,

由于f′(x)=6x﹣2,,得

a=3,b=﹣2,,

所以f(x)=3x2﹣2x.

又因為點(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上,,

所以Sn=3n2﹣2n.

當(dāng)n≥2時,,an=Sn﹣Sn1=(3n2﹣2n)﹣[3(n﹣1)2﹣2(n﹣1)]=6n﹣5.

當(dāng)n=1時,a1=S1=3×12﹣2=6×1﹣5,,

所以,,an=6n﹣5(n∈N*

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知clip_image274=clip_image276=clip_image278

故Tn=clip_image280=clip_image282clip_image284=clip_image282[1](1﹣clip_image286).

因此,,要使clip_image282[2](1﹣clip_image286[1])<clip_image288(n∈N*)成立的m,,必須且僅須滿足clip_image282[3]clip_image288[1],即m≥10,,

所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.

20.如圖,,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,,CD⊥平面PAD,,BC∥AD,PA=PD,,O,,E分別為AD,PC的中點,,PO=AD=2BC=2CD.

(Ⅰ)求證:AB⊥DE,;

(Ⅱ)求二面角A﹣PC﹣O的余弦值.

clip_image290

【考點】二面角的平面角及求法.

【分析】(Ⅰ)設(shè)BD∩OC=F,,連接EF,由已知條件推導(dǎo)出EF∥PO,,平面ABCD⊥平面PAD,,PO⊥平面ABCD,從而得到EF⊥平面ABCD,,進(jìn)而得到AB⊥EF,,再由AB⊥BD,能證明AB⊥平面BED,,由此得到AB⊥DE.

(Ⅱ)在平面ABCD內(nèi)過點A作AH⊥CO交CO的延長線于H,,連接HE,AE,,由已知條件推導(dǎo)出∠AEH是二面角A﹣PC﹣O的平面角.由此能求出二面角A﹣PC﹣O的余弦值.

【解答】(Ⅰ)證明:設(shè)BD∩OC=F,,連接EF,

∵E,、F分別是PC,、OC的中點,則EF∥PO,,…

∵CD⊥平面PAD,,CD?平面ABCD,∴平面ABCD⊥平面PAD,,

又PA=PD,,O為AD的中點,則PO⊥AD,,

∵平面ABCD∩平面PAFD=AD,,∴PO⊥平面ABCD,

∴EF⊥平面ABCD,,

又AB?平面ABCD,,∴AB⊥EF,…

在△ABD中,,AB2+BD2=AD2,,AB⊥BD,

又EF∩BD=F,,∴AB⊥平面BED,,

又DE?平面BED,∴AB⊥DE.…

(Ⅱ)解:在平面ABCD內(nèi)過點A作AH⊥CO交CO的延長線于H,,

連接HE,,AE,

∵PO⊥平面ABCD,∴POC⊥平面ABCD,,

平面POC∩平面ABCD=AH,,∴AH⊥平面POC,

PC?平面POC,,∴AH⊥PC.

在△APC中,,AP=AC,E是PC中點,,∴AE⊥PC,,

∴PC⊥平面AHE,則PC⊥HE.

∴∠AEH是二面角A﹣PC﹣O的平面角.…

設(shè)PO=AD=2BC=2CD=2,,

而AE2=AC2﹣EC2,,

AE=clip_image292,AH=clip_image123[1],,則sin∠AEH=clip_image294,,

∴二面角A﹣PC﹣O的余弦值為clip_image296.…

clip_image298

21.已知圓C經(jīng)(x﹣1)2+(y﹣2)2=5經(jīng)過橢圓E:clip_image300 +clip_image302=1(a>b>0)的右焦點F和上頂點B.

(1)求橢圓E的方程;

(2)過原點O的射線l在第一象限與橢圓E的交點為Q,,與圓C的交點為P,,M為OP的中點,求clip_image304·clip_image306的最大值.

clip_image308

【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系,;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【分析】(1)在圓(x﹣1)2+(y﹣2)2=5中,,令y=0,得F(2,,0),,令x=0,得B(0,,4),由此能求出橢圓方程,;

(2)設(shè)點Q(x0,,y0),x0>0,,y0>0,,由于M為OP的中點,則CM⊥OQ,,則clip_image310=(clip_image312+clip_image314clip_image316=clip_image312[1]clip_image316[1]=(1,,2)·(x0,y0)=x0+2y0,,設(shè)t=x0+2y0,,與clip_image318+clip_image320=1聯(lián)立,消去x0,再由判別式為0,,即可得到最大值.

【解答】解:(1)在圓C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=5中,,

令y=0,得F(2,,0),,即c=2,

令x=0,,得B(0,,4),即b=4,,

∴a2=b2+c2=20,,

∴橢圓E的方程為:clip_image322 +clip_image324=1.

(2)設(shè)點Q(x0,y0),,x0>0,,y0>0,

由于M為OP的中點,,則CM⊥OQ,,

clip_image326=(clip_image328+clip_image330clip_image332=clip_image328[1]clip_image332[1]

=(1,2)·(x0,,y0

=x0+2y0,,

clip_image334+clip_image336=1,

設(shè)t=x0+2y0,,與clip_image334[1]+clip_image336[1]=1聯(lián)立,,得:21y02﹣16ty0+4t2﹣80=0,

令△=0,,得256t2﹣84(4t2﹣80)=0,,

解得t=±2clip_image338

又點Q(x0,y0)在第一象限,,

∴當(dāng)y0=clip_image340時,,clip_image342取最大值2clip_image344

22.如圖,A為橢圓clip_image346(a>b>0)上的一個動點,,弦AB,,AC分別過焦點F1,F(xiàn)2.當(dāng)AC垂直于x軸時,,恰好|AF1|:|AF2|=3:1.

(1)求該橢圓的離心率,;

(2)設(shè)clip_image3481clip_image350clip_image3522clip_image354,,試判斷λ12是否為定值,?若是,則求出該定值;若不是,,請說明理由.

clip_image356

【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題.

【分析】(1)由|AF1|:|AF2|=3:1,,及橢圓定義|AF1|+|AF2|=2a,可求AF1,,AF2,,在Rt△AF1F2中,利用勾股定理可求

(2)由(1)可得b=c.橢圓方程為clip_image358,,設(shè)A(x0,,y0),B(x1,,y1),,C(x2,y2),,

①若直線AC⊥x軸容易求解②若直線AC的斜率存在,,則直線AC方程為clip_image360代入橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理可求clip_image362,,從而可求clip_image364,,同理可得clip_image366,代入可求

【解答】解:(1)當(dāng)AC垂直于x軸時,,|AF1|:|AF2|=3:1,,由|AF1|+|AF2|=2a,

clip_image368,,clip_image370在Rt△AF1F2中,,|AF1|2=|AF2|2+(2c)2

解得 e=clip_image004[7].…

(2)由e=clip_image004[8],則clip_image372,,b=c.

焦點坐標(biāo)為F1(﹣b,,0),F(xiàn)2(b,,0),,則橢圓方程為clip_image374

化簡有x2+2y2=2b2

設(shè)A(x0,,y0),B(x1,,y1),,C(x2,y2),,

①若直線AC⊥x軸,,x0=b,λ2=1,clip_image376

∴λ1+λ2=6. …

②若直線AC的斜率存在,,則直線AC方程為clip_image378

代入橢圓方程有(3b2﹣2bx0)y2+2by0(x0﹣b)y﹣b2y02=0.

由韋達(dá)定理得:clip_image380,,∴clip_image382

所以clip_image384

同理可得clip_image386

故λ1+λ2=clip_image388.綜上所述:λ1+λ2是定值6.…

2016年9月30

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