撰文：Jamie Condliffe

圖片：Christine Daniloff

翻譯：王樂

審校：丁家琦

這張圖里大大的公式就是傅里葉變換（Fourier Transform），有了它,，你才能每天聽MP3音樂,，在網(wǎng)上看大量五顏六色的圖片，甚至降噪耳機(jī)也是根據(jù)它的原理來制造的,。它是如何做到的呢,？下面我們就來詳細(xì)說一說。

傅里葉變換之所以這么強(qiáng)大,，是因?yàn)樗蟹N特殊的能力,，能讓數(shù)學(xué)家快速理解不同信號中所包含的頻率信息。別小看這種能力,，它至關(guān)重要,。不光我一個(gè)人這么認(rèn)為，就連物理學(xué)家開爾文勛爵也在1867年表達(dá)過自己對這個(gè)數(shù)學(xué)方程不朽的愛,，他寫道：“傅里葉的定理不僅是現(xiàn)代分析學(xué)最美麗的產(chǎn)物之一,，也為解決現(xiàn)今每一個(gè)深?yuàn)W的近代物理學(xué)難題提供了不可或缺的工具?！?/strong>

“只有數(shù)學(xué)會把我們分開”

傅里葉變換,，看名字就能猜到，它是由數(shù)學(xué)家傅里葉（全名讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅里葉）發(fā)明的，并于1822年發(fā)表在他的著作《熱的解析理論》上,。傅里葉對熱量如何流入材料并圍繞材料環(huán)流的過程很感興趣,，在研究上述現(xiàn)象時(shí)，他得到了這個(gè)變換公式,。那時(shí),，傅里葉并沒意識到他做出的貢獻(xiàn)到底有多么重要，這一貢獻(xiàn)并不只針對數(shù)學(xué)和物理學(xué)領(lǐng)域,，而是整個(gè)自然科學(xué),、工程和技術(shù)領(lǐng)域。

他最主要的突破在于發(fā)現(xiàn),，復(fù)雜信號可以表示成一系列簡單信號的簡單加和,，這些簡單信號就是正弦曲線（就是你在中學(xué)時(shí)學(xué)過的像水波一樣，有波峰與波谷的規(guī)律曲線）,。在鋼琴上同時(shí)敲擊三個(gè)琴鍵發(fā)出一個(gè)和弦,，你制造出三個(gè)不同的音調(diào)，它們都各自穩(wěn)定的頻率（音調(diào)體現(xiàn)了聲音的頻率）,，波形看起來就如同美麗的正弦波一樣,。

但是將這些正弦波疊加在一起后，樂音的波形通常都會看起來很凌亂,，就像這樣：

這看起來很復(fù)雜,，但我們知道，它在本質(zhì)上只是三個(gè)簡單正弦波的簡單加和,。傅里葉靈光一現(xiàn),，意識到不管最終的波形多么復(fù)雜，但它總是能表示成若干個(gè)（或無窮個(gè)）正弦函數(shù)的組合,。對我來說,，這個(gè)發(fā)現(xiàn)真正的天才之處在于，如果你能算出最終的波形是由哪些正弦波加和而成的,，那么你也就很清楚地知道了這些正弦波的頻率和數(shù)量，也就是說,，你就能得到信號的準(zhǔn)確頻譜了,。

這就是傅里葉變換公式的作用。x(t)是你試圖想簡化的巨大復(fù)雜的信號,，e^(—jπ2ft) 看起來讓人有些恐懼,，但事實(shí)上這指的就是正弦曲線。將這兩部分乘在一起,，再把整體進(jìn)行積分,，這樣就能使方程逐一將每一個(gè)需要用來表示復(fù)雜的信號的正弦波函數(shù)挑選出來。所以，這個(gè)方程的結(jié)果X(f),，給出了信號可以分解為的每一個(gè)正弦函數(shù)的振幅和時(shí)間延遲信息,。

這就是傅里葉變換：它可以將原始信號分解為許多簡單正弦波，并把這些正弦波都表達(dá)清楚,。這聽起來沒什么用,，事實(shí)上并非如此。

壓縮與傳輸

你在工作時(shí)可能需要網(wǎng)絡(luò)來上傳,、下載或傳送音頻文件,，傳送的是什么樣的音頻呢？你當(dāng)然可以選擇傳送唱片公司最初錄制出的原始音頻,，只是如果那樣,，需要傳送的文件會非常大，因?yàn)檫@些文件是“完整”的,、無損的：錄制時(shí)記錄下的所有頻率都被保存了下來,，混合在一起得到了最終的音軌。但如果將一小段音軌進(jìn)行傅里葉變換,，你就會發(fā)現(xiàn)這些音軌中的一些頻率占了絕對的主導(dǎo)地位,，而剩下的頻率則幾乎沒有記錄。

MP3文件格式恰好就利用了這點(diǎn)——它將幾乎察覺不到的和高于人類聽覺上限的頻率部分去除,，從而達(dá)到節(jié)省存儲空間的目的,。把整首歌曲分成成千上萬個(gè)小部分，再從中截去不重要的頻率,，留下重要的頻率,，最后被耳朵聽到的音軌里只剩下那些被留下來的最重要的頻率（音調(diào)）。這樣處理過后,，文件的大小只有原始文件的十分之一,，而我們也很難分辨壓縮后的音頻和原始音頻的區(qū)別。

降噪耳機(jī)同樣也使用了傅里葉變換：其中內(nèi)置的麥克風(fēng)可以記錄你周圍環(huán)境的噪音,，并在所有頻譜里測量噪音的頻率,，之后這些噪音的頻率會被反轉(zhuǎn)，然后混合到你的音頻內(nèi)容里,，這樣能抵消你身邊嬰兒的哭聲或公路上的噪聲了,。

但是傅里葉變換公式可不只有這點(diǎn)能耐。到現(xiàn)在為止,，我們只討論時(shí)間信號,，如音頻方面的問題——但是他發(fā)明這個(gè)方程是為了幫助他自己解決材料熱流相關(guān)的問題，這說明它也有解決空間問題的方面的能力,。對傅里葉來說,，它可以將簡單的2D熱流類型進(jìn)行加和從而表示更復(fù)雜的情況,。而以類似的方式，用傅里葉變換來建立數(shù)字圖像也比一個(gè)像素一個(gè)像素地創(chuàng)建圖像更有效率,。

無損圖像文件中每一個(gè)像素的顏色都是分別定義的,。但在JPG格式的文件中，整個(gè)圖像被分割成很多很小的小塊,，每一個(gè)小塊都經(jīng)過了2D傅里葉變換,。這樣能得到圖像中每一個(gè)小塊中顏色和亮度的變化的空間頻率等描述信息，而就像MP3的存儲方式一樣,，JPG圖像會將高頻部分留下來,，也就是一張圖片中對比強(qiáng)烈色彩鮮明的那些細(xì)節(jié)。我們中的大部分人眼睛都不能分辨出色彩中很細(xì)微的變化,，所以即使丟棄一部分也是很難察覺的,。顯然，將圖片文件壓縮得越來越小的過程,，就是將某些越來越低的頻率丟棄的過程,。因?yàn)榕R近的兩個(gè)子塊間顏色的變化會很明顯，所以圖片看起來感覺會有斑駁感,。

除了視力和聽力受過良好訓(xùn)練的一些人,，對大多數(shù)人來說，使用像MP3和JPG這樣的壓縮文件在大部分情況下基本不會產(chǎn)生可以察覺的影響,，它們看起來,、聽起來還是那么好，占用的空間卻要小很多,。換句話說,，它們使數(shù)字圖像和音樂真正變?yōu)榱爽F(xiàn)實(shí)，有了它們我們才能很便捷地分享音樂和圖片,。對一個(gè)公式來說,，這絕對是一個(gè)了不起的壯舉。毫無疑問,，研究熱流的傅里葉也會贊成這個(gè)說法的,。

原文鏈接：

http:///digital-music-couldnt-exist-without-the-fourier-transfo-1699155287

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