讓學(xué)生從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度理解“平均數(shù)”

——“平均數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

                            （已發(fā)表）

教學(xué)思考：

    學(xué)生如何學(xué)習(xí)平均數(shù)這一重要概念呢?傳統(tǒng)教學(xué)側(cè)重于對(duì)所給數(shù)據(jù)(有時(shí)甚至是沒有任何統(tǒng)計(jì)意義的抽象數(shù))計(jì)算其平均數(shù),，即側(cè)重于從算法的水平理解平均數(shù),，這容易將平均數(shù)的學(xué)習(xí)演變?yōu)橐环N簡(jiǎn)單的技能學(xué)習(xí)，忽略平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義,。因此,，《課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）特別強(qiáng)調(diào)從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度來(lái)理解平均數(shù)。然而什么是“從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度”理解平均數(shù)呢,？在教學(xué)中如何落實(shí),？如何將算法水平的理解與統(tǒng)計(jì)學(xué)水平的理解整合起來(lái)？

    平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義是它能刻畫,、代表一組數(shù)據(jù)的整體水平,。平均數(shù)不同于原始數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)(雖然碰巧可能等于某個(gè)原始數(shù)據(jù)),，但又與每一個(gè)原始數(shù)據(jù)相關(guān)，代表這組數(shù)據(jù)的平均水平,。要對(duì)兩組數(shù)據(jù)的總體水平進(jìn)行比較,，就可以比較這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù),，因?yàn)槠骄鶖?shù)具有良好的代表性,，不僅便于比較，而且公平,。

    筆者在課始設(shè)計(jì)了“記數(shù)游戲”的情境,，一為課始的“熱身”；二為后續(xù)數(shù)學(xué)活動(dòng)提供素材,、引出研究問題,。精心設(shè)計(jì)了歡歡的三次數(shù)據(jù)都是“5”，核心是讓學(xué)生憑直覺體驗(yàn)平均數(shù)的代表性,。而樂樂的三次數(shù)據(jù)分別是5,、4、9,，到底哪個(gè)數(shù)據(jù)能代表樂樂的一般水平呢,？自然激發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突。教師設(shè)計(jì)這些活動(dòng)的核心是讓學(xué)生體驗(yàn)平均數(shù)的代表性,。

    計(jì)算平均數(shù)有兩種方法,，，即“移多補(bǔ)少”和“總數(shù)÷份數(shù)”,，每種方法的教育價(jià)值各有側(cè)重點(diǎn),，其核心都是強(qiáng)化對(duì)平均數(shù)意義的理解，而非僅僅計(jì)算出結(jié)果,。

    利用直觀形象的象形統(tǒng)計(jì)圖,，通過動(dòng)態(tài)的“移多補(bǔ)少”的過程，為理解平均數(shù)所表示的均勻水平提供感性支撐,。這樣做,，強(qiáng)化平均數(shù)的產(chǎn)生過程，是對(duì)平均數(shù)能刻畫一組數(shù)據(jù)的整體水平的進(jìn)一步直觀理解,，避免學(xué)生原有思維定勢(shì)的影響,，即淡化學(xué)生對(duì)“平均分”的認(rèn)識(shí)，強(qiáng)化對(duì)平均數(shù)意義而非算法的理解,。

    在通過兩種方法求出平均數(shù)之后,，一再追問：“這里的平均數(shù)6是樂樂第一次記住的個(gè)數(shù)嗎?”“是樂樂第二次、第三次記住的個(gè)數(shù)嗎?”“那它代表的究竟是哪一次的個(gè)數(shù)?”通過這樣的追問,，幫助學(xué)生理解平均數(shù)只刻畫整體水平而不是真正的其中某一次記住的個(gè)數(shù),，從而強(qiáng)化了平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義,。

    學(xué)生是否真正理解了平均數(shù)的概念呢？敘述出“平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況”或者“會(huì)計(jì)算平均數(shù)”并不等于真正理解了平均數(shù),，還要看能否在不同情境中運(yùn)用平均數(shù),。由于平均數(shù)這個(gè)概念對(duì)小學(xué)生而言是非常抽象的(因?yàn)樗疤摶谩保瑢W(xué)生不能具體看到),，平均數(shù)的背景也很復(fù)雜,，如果學(xué)生能在稍復(fù)雜的背景下運(yùn)用平均數(shù)的概念解決問題，說明學(xué)生就初步理解了平均數(shù),，而且也更容易感受到平均數(shù)的應(yīng)用價(jià)值,。為此，精心設(shè)計(jì)了“辨一辨,，說一說”,、“想一想，選一選”的應(yīng)用練習(xí),，把“平均數(shù)”與真實(shí)的生活情境相連接,，在解決現(xiàn)實(shí)問題的過程中應(yīng)用平均數(shù)，體驗(yàn)平均數(shù),，深入理解平均數(shù)的意義,。

課例描述：

一、記數(shù)游戲——認(rèn)識(shí)“平均數(shù)”

規(guī)則：每次出現(xiàn)10個(gè)數(shù)字,，觀察2秒鐘,，看你每次能記住幾個(gè)數(shù)字

1、師生一起玩三次

2,、出示：歡歡和樂樂比賽“誰(shuí)記住的數(shù)字多,？”

（1）歡歡3次記住數(shù)字的情況統(tǒng)計(jì)表

（3個(gè)5逐次呈現(xiàn)）

師：還真巧，歡歡三次都記住了5個(gè),?？磥?lái)，要表示歡歡能記住的個(gè)數(shù),，用哪個(gè)數(shù)比較合適,？為什么？（既然三次都是記住了“5個(gè)”,，就用5這個(gè)數(shù)來(lái)作為這三次數(shù)據(jù)的代表,。

（2）樂樂3次記住數(shù)字的情況統(tǒng)計(jì)表

問：樂樂三次記住的個(gè)數(shù)都不相同。這一回,，又該用哪個(gè)數(shù)來(lái)表示樂樂記住數(shù)字的一般水平呢?

質(zhì)疑：能不能用9來(lái)表示樂樂記住的個(gè)數(shù)呢,？（對(duì)歡歡“不公平”）

師：怎樣求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)呢？

（1）移多補(bǔ)少（借助象形統(tǒng)計(jì)圖,，動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)“移多補(bǔ)少”的過程）

師：數(shù)學(xué)上,，像這樣從多的里面移一些補(bǔ)給少的,，使得每個(gè)數(shù)都一樣多。這一過程就叫“移多補(bǔ)少”,。移完后,，樂樂每次記住了幾個(gè)?（6個(gè)）能代表樂樂記住數(shù)字的一般水平嗎？

（2）計(jì)算

（5+4+7+5+9）÷5=6（個(gè)）

師：能不能代表樂樂記住數(shù)字的一般水平?（能）其實(shí),，無(wú)論是剛才的移多補(bǔ)少,，還是這回的先算總數(shù)再平均分，目的只有一個(gè),，就是使原來(lái)幾個(gè)不相同的數(shù)變得同樣多,。數(shù)學(xué)上,，我們把這個(gè)數(shù)叫做原來(lái)這幾個(gè)數(shù)的平均數(shù),。在這里，我們就說6是5,、4,、9這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)。

追問：這里的平均數(shù)6是樂樂第一次記住的數(shù)字嗎,？（不是）是他第二次,、第三次記住的數(shù)字嗎？（不是）那奇怪啦,，哪一次也沒記住6個(gè)數(shù)字呀,？那它究竟代表的是什么呢？

生：代表的是“平均”的數(shù),。

師：“6個(gè)”是三次的個(gè)數(shù)“勻”出來(lái)的,，平均數(shù)6代表的是這三次的平均水平（板書：平均水平）；平均數(shù)6是他記住數(shù)字的一般水平,。（板書：一般水平）

二,、聯(lián)系生活——深化理解“平均數(shù)”

    師：說一說生活中你在哪里見到過平均數(shù)。

生：平均分,、平均身高,、平均體重、平均年齡,、……

現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量全班最高和最矮的兩位同學(xué)的身高（1.60米,、1.35米）

師：你估計(jì)一下我們?nèi)嗤瑢W(xué)的平均身高是多少米？

生：1.45米,、1.48米,、1.50米、1.40米,、……

師：你們?yōu)槭裁床还烙?jì)平均身高是1.65米呢,？

生：1.65是最大的數(shù),，它還要移一些補(bǔ)給少的。所以不可能是1.65米,。

師：你們?yōu)槭裁床还烙?jì)平均身高是1.41米呢,？

生：1.41米是最小的數(shù)，其他數(shù)都比它大,，移一些補(bǔ)給它以后,，就不止是1.41米了。

師：這樣看來(lái),，盡管還沒有計(jì)算,，但我們可以肯定的是，平均身高應(yīng)該比這里最大的數(shù)——

生：小一些,。

生：還要比最小的數(shù)大一些,。

生：應(yīng)該在最大數(shù)和最小數(shù)之間。

師：我們留一個(gè)課外作業(yè),，調(diào)查你們小組幾位同學(xué)的身高和體重,，再計(jì)算出平均身高和平均體重。

三,、應(yīng)用練習(xí)——深化理解“平均數(shù)”

1,、辨一辨，說一說：

（1）學(xué)?；@球隊(duì)隊(duì)員的平均身高是160厘米,，籃球隊(duì)員壯壯的身高有可能是155厘米嗎？（   ）

生：有可能,。

師：不對(duì)呀!不是說隊(duì)員的平均身高是160厘米嗎?

生：平均身高160厘米,，并不表示每個(gè)人的身高都是160厘米。萬(wàn)一壯壯是隊(duì)里最矮的一個(gè),，當(dāng)然有可能是155厘米了,。

生：平均身高160厘米，表示的是籃球隊(duì)員身高的一般水平,，并不代表隊(duì)里每個(gè)人的身高,。壯壯有可能比平均身高矮，比如155厘米,，當(dāng)然也可能比平均身高高,，比如170厘米。

出示：籃球隊(duì)員集體照,，印證同學(xué)的說法,。

 師：看來(lái)，平均數(shù)代表的是一組數(shù)據(jù)的一般水平,，并不代表其中的每一個(gè)數(shù)據(jù),。

（2）池塘平均水深120厘米,，亮亮想：我身高155厘米，下水游泳一定不會(huì)有危險(xiǎn),。

生：不對(duì)!

師：怎么不對(duì),，亮亮的身高不是已經(jīng)超過平均水深了嗎?

生：平均水深120厘米，并不是說池塘里每一處水深都是120厘米,?？赡苡械牡胤奖容^淺，只有幾十厘米,，而有的地方比較深,，比如180厘米。所以,，亮亮下水游泳可能會(huì)有危險(xiǎn),。

師：說得真好!想看看這個(gè)池塘水底下的真實(shí)情形嗎?

師出示池塘水底的剖面圖，印證同學(xué)的說法,。

生（很驚訝）：原來(lái)是這樣,，真的有危險(xiǎn)!

（3）樂樂所在的三（1）班同學(xué)的平均身高是1.36米,，可可所在三（2）班同學(xué)的平均身高是1.32米,。判斷下面說法是否正確，為什么,？

①樂樂一定比可可長(zhǎng)得高,。（  ）  

生：不對(duì)。因?yàn)闃窐酚锌赡苁侨?）班最低的,，它的身高不到1.36米,，甚至1.32米都不到，高個(gè)同學(xué)需要“勻”一些身高給他,；可可有可能是三（2）班身高最高的,，他的身高“勻”給了個(gè)低的同學(xué)。

②總體上說,，三(1)班同學(xué)比三(2)班同學(xué)長(zhǎng)得高,。（  ）

生：不對(duì)，因?yàn)閮蓚€(gè)班的人數(shù)有可能不一樣多,。

生：因?yàn)轭}目中說“總體上說”,，是看他們的“總體水平”，而我們學(xué)過“平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體水平”,，所以比較平均數(shù)就行了,，1.36大于1.32，就說明總體上說,，三（1）班比三（2）班同學(xué)長(zhǎng)得高,。

  2,、想一想，選一選,。

小林和小華進(jìn)行了三場(chǎng)套圈比賽，每人每次都是套15個(gè)圈,，上面是小林套中個(gè)數(shù)的統(tǒng)計(jì)：

師：小林第三次套中的個(gè)數(shù)可能會(huì)是多少呢,？為什么？

  Ａ,、比10個(gè)多,；Ｂ、比10個(gè)少,；Ｃ,、套中10個(gè)。

師：能確定第三次套中幾個(gè)嗎,？為什么,？

生1：是7個(gè)。因?yàn)榈谝淮蔚?2比平均數(shù)10多2個(gè),，就需要移走2個(gè),，第二次的11比平均數(shù)多1個(gè)，需要移走1個(gè),，這樣一共要移走3個(gè)給第三次,，所以第三次是10減3等于7個(gè)。

生2：我補(bǔ)充一下生1的說法,，因?yàn)榈谝淮魏偷诙味急绕骄鶖?shù)多,，它們都要移走幾個(gè)給第三次，所以第三次一定比平均數(shù)少,。

生3：我是算出來(lái)的,，10×3=30（個(gè)），30－12－11=7（個(gè)）

師：真好,！利用“移多補(bǔ)少”或者計(jì)算都能知道第三次是7個(gè),。如果第三次套中的不是7個(gè)，而是4個(gè),，三次的平均數(shù)是多少,？

生：12+11+4=27（個(gè)） 27÷3=9（個(gè)）

生：不用算就能知道，原來(lái)是7個(gè),，現(xiàn)在是4個(gè),，少了三個(gè)，平均分到每一次上，每一次正好可以分1個(gè),，所以平均數(shù)就少了1,，變成了9個(gè)。

出示：兩次套圈情況統(tǒng)計(jì)圖

師：請(qǐng)大家觀察剛才套圈的三個(gè)統(tǒng)計(jì)圖,，你有什么發(fā)現(xiàn),？

生1：前兩次成績(jī)不變，第三次成績(jī)變了,。

師：最后的平均數(shù)——

生：也不同,。

師：看來(lái)，要使平均數(shù)發(fā)生變化,，只需要改變其中的幾個(gè)數(shù),？

生：一個(gè)數(shù)。

師：難怪有人說,，平均數(shù)很敏感,，一組數(shù)據(jù)中的任何一個(gè)有點(diǎn)兒“風(fēng)吹草動(dòng)”，都會(huì)使平均數(shù)發(fā)生變化?，F(xiàn)在看來(lái),，這話有道理嗎?(有)大家還有別的發(fā)現(xiàn)嗎?

生：比平均數(shù)多的部分和比平均數(shù)少的部分一樣多，都是3個(gè),。

師：奇怪,，為什么每一幅圖中，超出平均數(shù)的部分和不到平均數(shù)的部分都一樣多呢?

生：如果不一樣多,，超過的部分移下來(lái)后,，就不可能把不到的部分正好填滿。這樣就得不到平均數(shù)了,。

師：說得有道理！這也是平均數(shù)的一個(gè)重要特點(diǎn),。

四,、課堂總結(jié)。