昨天公眾號里分析了G.波利亞的《怎樣解題》，今天我們來看一道解析幾何題,，剖析一只麻雀,，看一下如何用問題鏈的方式引導(dǎo)我們思考。

題目如下：

【例題】：

一,、理解題目,，必須問自己以下問題。

(1)已知數(shù)據(jù)是什么,？條件是什么,？

是已知橢圓方程：

已知一個圓R，圓心在橢圓上

過原點的直線OP,OQ,，與圓R相切,。

第一小問附加條件為：OP，OQ相互垂直

第二小問直接要證明：

(2)所求的是什么,？

第一小問求圓的方程,，即求圓心坐標(biāo)。

第二小問直接要證明：

(3)條件是否足以確定未知量,？如何確定,。

第一小問需要確定點R的坐標(biāo)

第二小問需要找到一個OP，OQ的斜率

的方程

二,、擬定方案

問自己以下問題：

(1)你以前見過類似的題目嗎,？

第一小題對于切線相互垂直以前我們是做過的。

第二小題好像沒有見過,。

(2)做過類似的題目后,，你能利用做過題目的方法嗎？

以前第一小題我們是用正方形的方法去解題的,，由于切線本身與半徑是垂直的,，而切線有是垂直和相等,，所以假設(shè)切點坐標(biāo)為S，T,，那么ORST這個四邊形是正方形,，由于半徑是

，所以O(shè)R距離為4. 所以R點既在橢圓上,，R點到O的距離等于4,，所以根據(jù)此方案就可以求出R點坐標(biāo).

(3)第二小問沒有做過，但問自己如下問題：你能從已知條件中來找到方程確定未知量嗎,？你用到了全部條件嗎,？能用代數(shù)式或者圖形表示條件嗎？能把題目特殊化或是一般化嗎,？想到以前的什么方法嗎？

用代數(shù)式表達(dá)過原點的直線

條件1是：直線和圓相切即

條件2是：圓心在橢圓上

目的是求證切線斜率乘積為定值,，即證明

聯(lián)想到是二次方程的兩根積

所以要構(gòu)造

的一個二次方程,，當(dāng)然只能用直線和圓相切去構(gòu)造（條件1）使用。

在二次方程化簡后必然會用到條件（2）,，圓心在橢圓上,。代入消元。

所以條件都用完了,，應(yīng)該能證明,。

如果我把圓心動到長軸端點處，那么這個特殊位置的

是否能計算呢,？

三,、執(zhí)行方案

（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為

那么由于R在橢圓上，正方形OR=4,，所以有如下方程組：

解得:

,

故圓方程為：

共有四個不同的圓,。

（2）設(shè)直線方程為,因為直線與以為圓心，

為半徑的圓相切,。

故圓心距等于半徑有方程：

整理,，注意化簡為關(guān)于

的一個二次方程。

此時條件（1）已經(jīng)使用,。

由韋達(dá)定理：

再用

代入消元,，此時條件（2）以用。

得到：

所以就證明了,。

回顧反思

（1）你能清楚地看出每一步都正確嗎,？你能檢驗這個結(jié)果嗎？

我檢查了每一步的推導(dǎo)過程,，確定應(yīng)該沒有問題!

第一小題我把所求的圓代入題目條件,，都符合題目要求,，應(yīng)該沒問題。

第二小題我取當(dāng)

在長軸端點時（即圓運動到長軸端點時）,，即

時直線斜率正好為

符合結(jié)論,，驗證成功。

（2）你可以用不同的方式推導(dǎo)嗎,？

（3）你能在其他不同的題目中利用這個結(jié)論或是方法嗎,？

總結(jié)

著名的數(shù)學(xué)教育專家羅增儒講過：解題過程就像是在一間漆黑的房間里尋找電燈開關(guān)，剛進(jìn)入時只能摸到自己手邊的物件（題目初始條件）,，必須通過自己的主觀能動性不斷探尋,，摸索，可以嘗試不同的路徑,，可以返回,，可以試探，可以探索,，可以猜想,，在行進(jìn)中不斷構(gòu)建房間的輪廓（解題思路），直到最終找到開關(guān),。開燈的一瞬間,，不要忘了再看一下房間（回顧），原來不過如此,，感覺自己真的很厲害（成功的喜悅）,。

希望大家在都能順利找到每一間黑房子的開關(guān)！

公眾號：不學(xué)無數(shù)