1.顯而易見,y=c是一條平行于x軸的直線,,所以處處的切線都是平行于x的,,故斜率為0。用導(dǎo)數(shù)的定義做也是一樣的:y=c,,△y=c-c=0,lim△x→0△y/△x=0,。 ⒉這個的推導(dǎo)暫且不證,因為如果根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義來推導(dǎo)的話就不能推廣到n為任意實數(shù)的一般情況,。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x這兩個結(jié)果后能用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)給予證明,。 ⒊y=a^x, △y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1) △y/△x=a^x(a^△x-1)/△x 如果直接令△x→0,是不能導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù)的,,必須設(shè)一個輔助的函數(shù)β=a^△x-1通過換元進行計算,。由設(shè)的輔助函數(shù)可以知道:△x=loga(1+β),。 所以(a^△x-1)/△x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β 顯然,當(dāng)△x→0時,,β也是趨向于0的,。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna,。 把這個結(jié)果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1)/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna,。 可以知道,當(dāng)a=e時有y=e^x y'=e^x,。 ⒋y=logax △y=loga(x+△x)-logax=loga(x+△x)/x=loga[(1+△x/x)^x]/x △y/△x=loga[(1+△x/x)^(x/△x)]/x 因為當(dāng)△x→0時,,△x/x趨向于0而x/△x趨向于∞,所以lim△x→0loga(1+△x/x)^(x/△x)=logae,,所以有 lim△x→0△y/△x=logae/x,。 可以知道,當(dāng)a=e時有y=lnx y'=1/x,。 這時可以進行y=x^n y'=nx^(n-1)的推導(dǎo)了,。因為y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx, 所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1),。 ⒌y=sinx △y=sin(x+△x)-sinx=2cos(x+△x/2)sin(△x/2) △y/△x=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)/△x=cos(x+△x/2)sin(△x/2)/(△x/2) 所以lim△x→0△y/△x=lim△x→0cos(x+△x/2)·lim△x→0sin(△x/2)/(△x/2)=cosx ⒍類似地,,可以導(dǎo)出y=cosx y'=-sinx。 ⒎y=tanx=sinx/cosx y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x ⒏y=cotx=cosx/sinx y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x ⒐y=arcsinx x=siny x'=cosy y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2 ⒑y=arccosx x=cosy x'=-siny y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2 ⒒y=arctanx x=tany x'=1/cos^2y y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2 ⒓y=arccotx x=coty x'=-1/sin^2y y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2 ⒔聯(lián)立: ①(ln(u^v))'=(v * lnu)' ②(ln(u^v))'=ln'(u^v) * (u^v)'=(u^v)' / (u^v) 另外在對雙曲函數(shù)shx,chx,thx等以及反雙曲函數(shù)arshx,archx,arthx等和其他較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時通過查閱導(dǎo)數(shù)表和運用開頭的公式與 ⒋y=u土v,y'=u'土v' ⒌y=uv,y=u'v+uv' 均能較快捷地求得結(jié)果,。 |
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