函數(shù)專題：?jiǎn)握{(diào)性與最值

一,、增函數(shù)

1、觀察下列各個(gè)函數(shù)的圖象,，并說(shuō)說(shuō)它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律：

y的值有什么變化,？ 2 能否看出函數(shù)的最大、最小值,？ ○

3 函數(shù)圖象是否具有某種對(duì)稱性,？ ○

2、從上面的觀察分析,，能得出什么結(jié)論,？

不同的函數(shù)，其圖象的變化趨勢(shì)不同,，同一函數(shù)在不同區(qū)間上變化趨勢(shì)也不同,，函數(shù)圖象的這種變化規(guī)律就是函數(shù)的單調(diào)性。

3.增函數(shù)的概念

一般地,，

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2,，當(dāng)x1<x2時(shí),，都有f(x1)<f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù),。

注意：

① 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì),，是函數(shù)的局部性質(zhì)；

②必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1,，x2,；當(dāng)x1<x2時(shí),，總有f(x1)<f(x2) ．

二、函數(shù)的單調(diào)性

如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù),，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性,，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。

【判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法】

1,、根據(jù)函數(shù)圖象說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性．

例1,、 如圖是定義在區(qū)間[－5，5]上的函數(shù)

y=f(x),，根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,，以

及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù),？

【針對(duì)性練習(xí)】

下圖是借助計(jì)算機(jī)作出函數(shù)y =－x2 +2 | x | + 3的圖象,，請(qǐng)指出它的的單調(diào)區(qū)間．

2．利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：

① 任取x1，x2∈D,，且x1<x2,；

② 作差f(x1)－f(x2)；

③變形（通常是因式分解和配方）,；

④定號(hào)（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）,；

⑤下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）．

例2、證明函數(shù)y?x?

例3,、函數(shù)f(x)=－x3＋1在R上是否具有單調(diào)性,？如果具有單調(diào)性，它在R上是增函數(shù)還是

減函數(shù),？試證明你的結(jié)論．

1在（1,，+∞）上為減函數(shù)． x

例4、已知f(x)是定義在(－2,，2)上的減函數(shù),，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0,，求實(shí)數(shù)m的取

值范圍．

例5,、判斷一次函數(shù)y?kx?b(k?0)單調(diào)性.

例6、利用函數(shù)單調(diào)性的定義,，證明函數(shù)在區(qū)間（0,，1]上是減函數(shù)．

【歸納小結(jié)】

函數(shù)的單調(diào)性一般是先根據(jù)圖象判斷，再利用定義證明．畫函數(shù)圖象通常借助計(jì)算機(jī),，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)必須要注意函數(shù)的定義域,，單調(diào)性的證明一般分五步：取 值 → 作 差 → 變 形 → 定 號(hào) → 下結(jié)論

〖針對(duì)性練習(xí)〗

11.函數(shù)y??的單調(diào)區(qū)間是（   ） x

A．（-?，+?）              B.（-?,，0） （1,，?,，）

C.（-?，1） ,、（1,，?）     D. （-?，1）?（1,，?）

2. 下列函數(shù)中,在區(qū)間（0,2）上為增函數(shù)的是(   ).

3      C．y?x2?4x?5  D．y?3x2?8x?10  x A．y??3x?2     B．y?

3

．函數(shù)y?的增區(qū)間是（  ）,。

1(??,?3)  D．(?1,?)  3 A．[-3，-1]   B．[-1,1]  C．?1?a??

4,、已知函數(shù)f(x)?x?

1判斷f(x)在區(qū)間〔0,，1〕和（1，+?）上的單調(diào)性,。x,，

5、定義在（－1,，1）上的函數(shù)f(x)是減函數(shù),，且滿足：f(1?a)?f(a)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍,。

6,、函數(shù)f(x)=－x3＋1在R上是否具有單調(diào)性？如果具有單調(diào)性,，它在R上是增函數(shù)還是減

函數(shù),？試證明你的結(jié)論．

☆☆☆復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性☆☆☆ 1、定義：

設(shè)y=f(u),u=g(x),當(dāng)x在u=g(x)的定義域中變化時(shí),，u=g(x)的值在y=f(u)的定義域內(nèi)變化,，因此變量x與y之間通過(guò)變量u形成的一種函數(shù)關(guān)系，記為

y=f(u)=f[g(x)]稱為復(fù)合函數(shù),，其中x稱為自變量,，u為中間變量，y為因變量(即函數(shù))

2,、復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律如下：

函數(shù)             單調(diào)性

u?g(x)            增            增          減        減 y?f(u)            增            減          增        減 y?f?g(x)?         增            減          減        增

例1,、已知y?f(u)?u?1,u?g(x)??3x?2,，求y?f?g(x)?的單調(diào)性。

例2,、已知y?f(u)?u2?1,u?g(x)?x?1,，求函數(shù)y?f?g(x)?的單調(diào)性。

〖針對(duì)性訓(xùn)練〗

1,、已知y?f(u)?u2?1,u?g(x)??x?1,，求函數(shù)y?f?g(x)?的單調(diào)性,。

2、已知f(x)?8?2x?x2,，如果g(x)?f(2?x2),，那么g(x)（ ）

A. 在區(qū)間（-1，0）上是減函數(shù)      B. 在區(qū)間（0,，1）上是減函數(shù)

C. 在區(qū)間（-2,，0）上是增函數(shù)      D. 在區(qū)間（0，2）上是增函數(shù)

例2

,、求函數(shù)y?x

例3,、求函數(shù)y?2

x?1在區(qū)間[2，6] 上的最大值和最小值．

【針對(duì)性練習(xí)】

一,、選擇題

1．函數(shù)y＝4x－x2,，x∈[0，3]的最大值,、最小值分別為(    )

(A)4,，0 (B)2，0 (C)3,，0 (D)4,，3

2．函數(shù)y?1

x?x2的最小值為(   ) (A)1

2 (B)1 (C)2 (D)4

3、函數(shù)y?3

x?2(x?2) 在區(qū)間〔0,，5〕上的最大值,、最小值分別是（

A. 3

7,0       B.3

2,0      C.  333

2,7    D. 最大值7，無(wú)最小值,。

二,、填空題

1．函數(shù)y＝2x2－4x－1  x∈(－2，3)的值域?yàn)開_____．

2．函數(shù)y?2x?x2的值域?yàn)開_____．

3,、函數(shù)y?x2?4x?5(x??0,3??的值域是          ,。

4

、函數(shù)y?2x?3,。

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三,、解答題

2x,x?01．求函數(shù)f(x)??的值域．

x,x?0

2．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x＋a)2對(duì)于任意實(shí)數(shù)t∈R都有f(1－t)＝f(1＋t)．

(1)求a的值；

(2)如果x∈[0,，5],，那么x為何值時(shí)函數(shù)y＝f(x)有最小值和最大值?并求出最小值與最大值．

3．如圖,，在邊長(zhǎng)是a的等邊三角形內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接矩形,，求內(nèi)接矩形的面積的最大值．

4．已知函數(shù)y＝－3x2＋2ax－1，x∈[0,，1],，記f(a)為其最小值,，求f(a)的表達(dá)式，并求

f(a)的最大值．

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