極限是一個(gè)非常重要概念,,但也很難理解,。 極限概念的出現(xiàn),主要是因?yàn)槲⒎e分發(fā)展到 18 世紀(jì)末的時(shí)候還沒(méi)有一個(gè)嚴(yán)格的基礎(chǔ),,雖然微積分作為一種工具,,很強(qiáng)大,解決了很多問(wèn)題,,但基礎(chǔ)卻一直不穩(wěn)固,。到了18世紀(jì)末,柯西和威爾斯特拉斯把基礎(chǔ)的問(wèn)題解決了,,解決的手段就是引入極限,。 那什么是極限: 對(duì)于一個(gè)函數(shù) y = f(x),當(dāng) x 趨進(jìn)于數(shù) a 時(shí),,則 y 的極限是 b,,指的是:對(duì)于數(shù) b 任意一個(gè)領(lǐng)域 V (無(wú)論這個(gè)領(lǐng)域多小),,一定能找到一個(gè)領(lǐng)域 U,,使得當(dāng) x 的值在除 a 點(diǎn)以外的任意一個(gè)領(lǐng)域 U 內(nèi)時(shí),,y 的值總在 V 范圍內(nèi)。 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō): 用符號(hào)來(lái)表示即 ,,a 與 b 是兩個(gè)沒(méi)有關(guān)系的實(shí)數(shù),,f 是一個(gè)定于于包含 a 的開(kāi)區(qū)間(不包含 a 點(diǎn))上的實(shí)值函數(shù),則 表示對(duì)于任意的 ε > 0,,都存在一個(gè) δ > 0,,使得當(dāng)滿足 0 < | x - a | < δ 時(shí)總有 | f(x) - b | < ε。 極限概念想說(shuō)什么: 就是說(shuō),,無(wú)論函數(shù) f(x) 在 x = a 這個(gè)點(diǎn)上有沒(méi)有定義,,如果有定義的話,這個(gè)定義值是什么,,對(duì)于 y = f(x) 這么一個(gè)函數(shù),x 在不斷靠近 a 的時(shí)候,,那么 y 的值會(huì)不斷靠近 b,,如果 x 變成 a 了,那么 y的值會(huì)由于“慣性”變成 b ,。(我們?cè)?x = a 這個(gè)點(diǎn)上,,填上 y = b 這個(gè)值,這句話后面再解釋) 注意,,我的理解與“數(shù)學(xué)書上的解釋”是不一致的,,當(dāng)然就不是“學(xué)科意義上正確”的了。數(shù)學(xué)書上告訴我們的是 x “不會(huì)成為 a”,,它只會(huì)不斷地逼近 a,,它會(huì)離 a 點(diǎn)“任意地近”,距離可以小于“任意給出的一個(gè)正數(shù)”,,能小于任意一個(gè)正數(shù)的數(shù)是什么,?不就是零么?但數(shù)學(xué)家們很別扭地就不承認(rèn)它,,而要繞開(kāi)它,,叫它“無(wú)窮小”,或是“過(guò)程無(wú)窮小量”,。為什么呢,?為了避開(kāi)“函數(shù)在點(diǎn) a 處可能沒(méi)有定義”這么一個(gè)尷尬的問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題影響很嚴(yán)重,,因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的定義中,,就是希望分母變成 0,但變成 0 了代數(shù)運(yùn)算又沒(méi)意義,,也就是它是個(gè)希望它等于 0 但又不能讓它等于 0 的“東西”,。一方面我們要有“分母為 0 時(shí)的”值,,一方面又要避開(kāi)除以 0 沒(méi)有意義。怎么辦,?用極限來(lái)解決,,說(shuō):△x 是一個(gè)無(wú)限接近于 0 但又不等于 0 的量,因?yàn)椴坏扔?0,,所以可以進(jìn)行除法,,又因?yàn)闊o(wú)限接近于 0,所以最終得到的值是一個(gè)準(zhǔn)確值而不是一個(gè)近似值,。(如果是近似值,,那極限就沒(méi)有能解決導(dǎo)數(shù)和積分定義的基礎(chǔ)問(wèn)題,因?yàn)閷?dǎo)數(shù)和積分最近都是可以得到準(zhǔn)確值而不是近似值的運(yùn)算) 可能是對(duì)連續(xù)統(tǒng)(實(shí)數(shù)理論)的理解還不夠深,,“這個(gè)無(wú)限逼近”對(duì)我來(lái)說(shuō)造成了理解上的困難,。因?yàn)槲铱倳?huì)覺(jué)得“x沒(méi)有到達(dá)點(diǎn) a”,那么 “y 就沒(méi)有到達(dá)點(diǎn) b”,,一個(gè)“無(wú)限逼近 b 的值”怎么會(huì)等于 b 呢,?于是我被堵在這了。 好吧,,只能自己來(lái)安慰自己,,給自己一個(gè)暫時(shí)上邏輯上能說(shuō)得通的說(shuō)法以繼續(xù)前行(等以后學(xué)了更多東西,有了新的理解之后再修正),。 在數(shù)學(xué)分析八講第二章講極限的時(shí)候看到一句話,,說(shuō)極限是一種“分析運(yùn)算”,另外,,在很多人談對(duì)極限理解,,以及不少教材上,也都說(shuō)極限是一個(gè)“過(guò)程運(yùn)算”,。這一點(diǎn)很重要,,極限是一種“新類型”的運(yùn)算,與中學(xué)時(shí)代學(xué)過(guò)的傳統(tǒng)的代數(shù)運(yùn)算不一樣,,代數(shù)運(yùn)算是靜態(tài)的運(yùn)算,,而極限是一種動(dòng)態(tài)的,反應(yīng)變化的運(yùn)算,。舉個(gè)不一定恰當(dāng)?shù)睦?,代?shù)運(yùn)算是知道我在北京,有張到上海的預(yù)定表,,所以我很清楚地知道了我下一站就一定是上海,,但我不知道也不管我是怎么去的。但極限則是這樣一種運(yùn)算,,那就是我坐在火車上,,我的導(dǎo)航儀地不斷告訴我現(xiàn)在的位置,,我發(fā)現(xiàn)自己在去京滬線上上,而且隨著時(shí)間的流逝越來(lái)越接近上海,,于是我可以肯定,,按這個(gè)“規(guī)律”等到車停下來(lái)的時(shí)候,我一定是在上海的,,但最終我未必會(huì)真的到上海,,也許就在火車停下的那一刻,車爆炸了,,我變得“不存在了”,。所以極限運(yùn)算這種分析運(yùn)算,是用來(lái)刻畫按函數(shù)變化規(guī)律時(shí)的函數(shù)的取值規(guī)律的,。所以它最終 x =a 這個(gè)點(diǎn)函數(shù)的表現(xiàn)并不關(guān)心,,只關(guān)心到這個(gè)點(diǎn)之前函數(shù)的變化規(guī)律,并以此推測(cè)函數(shù)在 x = 0 時(shí)的值,。 這樣的話,,我解決了自己的兩個(gè)問(wèn)題: 一、當(dāng) △x → 0 時(shí),,△x 作分母會(huì)不會(huì)有問(wèn)題?不會(huì),,因?yàn)?△x 是一個(gè)極限運(yùn)算中“對(duì)變化的表示”,,他不是“靜態(tài)的數(shù)”,所以不必要遵守“代數(shù)運(yùn)算定律”,,它可以作分母參與運(yùn)算(也就是 △x 可以在分子分母同時(shí)抵消),。 從另一個(gè)角度說(shuō),代數(shù)除零“沒(méi)有意義”是人為規(guī)定的,,但其實(shí)也可以說(shuō)“有無(wú)數(shù)種意義”,,但因?yàn)檫\(yùn)算的數(shù)據(jù)是靜態(tài)的,無(wú)法確定這時(shí)候的運(yùn)算是什么意義,。但極限運(yùn)算比代數(shù)有更多的信息,,那就是,值是有函數(shù)關(guān)系的,,這種函數(shù)關(guān)系會(huì)限定“除零”成某一種意義(也就是取得一個(gè)值),,如果這個(gè)函數(shù)關(guān)系也定不出這個(gè)值,那么直觀地說(shuō)就是“沒(méi)有極限”,。 二,、“無(wú)限逼近”是不是“等于”的問(wèn)題,在我看來(lái)就不存在了,,因?yàn)槲野褬O限看成“按這個(gè)規(guī)律下去,,會(huì)取到什么值”,,這個(gè)值不是x無(wú)限逼近a時(shí) y 的值,而是 x 在除 a 點(diǎn)以外 y 取值過(guò)程可以推測(cè)出 x = a 時(shí) y = b,。再?gòu)?qiáng)調(diào)一次,,雖然大部我們會(huì)接觸到的函數(shù),x=a 的極限就是 y = f(a),,但是,,極限運(yùn)算中是不管真實(shí)的 x = a 時(shí), y 有沒(méi)有定義,,以及 y 的值是多少的,。 所以,目前數(shù)學(xué)中定義的極限運(yùn)算就是這樣一種運(yùn)算,。我必須明白這只是觀察函數(shù)的一種視角,,這種視角是動(dòng)態(tài)的,與變化規(guī)律相聯(lián)系的,。但是,,人類的知識(shí)是積累起來(lái)的,特別是數(shù)學(xué)家,,總是把待求解的問(wèn)題盡可能地轉(zhuǎn)化成已求解的問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算,。我們要最終計(jì)算出極限值的時(shí)候,還是要依靠代數(shù)運(yùn)算這種人類已經(jīng)掌握得“很好”地運(yùn)算,。 讓我再回到極限地定義,,至少上面的理解,并不與這個(gè)定義有矛盾之處,。也體會(huì)到了這個(gè)定義的牛X之處,。因?yàn)榉浅:?jiǎn)潔又很嚴(yán)格而沒(méi)有歧義。這個(gè)定義解決了微積分的基礎(chǔ)問(wèn)題,。而且這個(gè)定義給出了“求極限的一般代數(shù)方法”,。在這個(gè)定義下,我們也可以得到極限的各種計(jì)算法則和重要性質(zhì),。這樣,,我們可以通過(guò)一般方法求到常用的函數(shù)的極限,再用這些計(jì)算法則加常見(jiàn)極限計(jì)算出更復(fù)雜的函數(shù)的極限,。而且也從數(shù)學(xué)上給出了極限唯一性的性質(zhì),,這種性質(zhì)是函數(shù)的一個(gè)非常重要的性質(zhì),它直接決定了微分和積分的存在,。 想想第一篇和第三篇都很直接地一直在講函數(shù),,是的,在理解三角函數(shù)和極限的過(guò)程中,我更新了自己對(duì)函數(shù)的理解,,后面找時(shí)間整理下,。
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