積分是數(shù)學(xué)模型中最重要的功能之一,，特別是對(duì)數(shù)值仿真而言,。例如，偏微分方程組 (PDEs) 就是由積分平衡方程派生而來(lái),。當(dāng)需要對(duì)偏微分方程進(jìn)行數(shù)值求解時(shí),，積分也將發(fā)揮非常重要的作用。本篇博客介紹了 COMSOL 軟件中可用的積分方法,，以及如何使用,，供您參考。

積分的重要性

COMSOL 使用了有限元方法,，它將控制 PDE 轉(zhuǎn)化為積分方程,，換言之，就是弱形式,。如果仔細(xì)觀察一下 COMSOL 仿真軟件,，您可能會(huì)發(fā)現(xiàn)許多邊界條件都是由積分公式表示，例如總熱通量或懸浮電位,。積分在后處理中也非常重要,，因?yàn)?COMSOL 提供了許多基于積分的派生值，比如電能,、流速或總熱通量,。當(dāng)然，用戶還可以根據(jù)自己的方法來(lái)使用積分,，在本篇博客中,，我們將具體介紹如何實(shí)現(xiàn),。

利用派生值求積分

積分的一般形式如下：

其中,， [t0,t1] 是時(shí)間間隔,、 Ω 是一個(gè)空間域，而 F(u) 則是因變量 u 的任意一個(gè)表達(dá)式,。 表達(dá)式可以包括相對(duì)空間與時(shí)間的派生值,，或任何其他派生值。

通過(guò)功能區(qū)（在非 Windows? 操作系統(tǒng)中則為‘模型開(kāi)發(fā)器’）‘結(jié)果’部分的“派生值”,，可以最便捷地訪問(wèn)積分選項(xiàng),。

如何將體、面或線積分增加作為派生值

您可以通過(guò)選定對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)集來(lái)引用任何可用的解,。表達(dá)式框?yàn)楸环e函數(shù),，并支持因變量或派生變量。在瞬態(tài)仿真中,，會(huì)計(jì)算每一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的空間積分,。或者,，設(shè)定窗口提供了‘?dāng)?shù)據(jù)系列操作’,，可在此為時(shí)域選擇積分選項(xiàng)。這將得到空間和時(shí)間的積分,。

面積分設(shè)定示例,，并通過(guò)‘?dāng)?shù)據(jù)系列操作’增加了額外的時(shí)間積分

平均是另一個(gè)與積分相關(guān)的派生值。它等于積分結(jié)果除以所考察域的體積,、面積或長(zhǎng)度,。平均中的‘?dāng)?shù)據(jù)系列操作’還可以將結(jié)果除以時(shí)間范圍。派生值非常有用,，但由于它們僅能用于后處理,，所以無(wú)法處理所有的積分類型；因此 COMSOL 還提供了更加強(qiáng)大和靈活的積分工具,。我們將通過(guò)下方的模型示例演示這些方法,。

傳熱示例模型中的空間和時(shí)間積分

我們將介紹一個(gè)簡(jiǎn)單的傳熱模型，即 (x, y) 二維平面內(nèi)的單位正方形鋁,。上側(cè)和右側(cè)固定為室溫 (293.15 K),，左側(cè)和下側(cè)規(guī)定有 5000W/㎡ 的‘廣義流入熱通量’。下圖顯示了 100 s 后的穩(wěn)態(tài)解和瞬態(tài)解,。

瞬態(tài)解

100 s 后的瞬態(tài)解

利用組件耦合算子求空間積分

舉例來(lái)說(shuō),，當(dāng)一個(gè)表達(dá)式中綜合了幾個(gè)積分，或在計(jì)算中需要積分,，或需要一組路徑積分時(shí),，就需要組件耦合算子?？梢栽趯?duì)應(yīng)組件的定義部分中定義組件耦合算子,。在這個(gè)階段,，我們尚未計(jì)算這些算子，只是確定了它們的名稱和對(duì)象選擇,。

如何增加組件耦合算子方便后續(xù)使用

在示例中,，我們首先希望計(jì)算恒定溫度下的空間積分，這可以通過(guò)以下公式計(jì)算：

在 COMSOL 軟件中,，我們使用了一個(gè)缺省名稱為 intop1 的積分算子,。

積分算子設(shè)定窗口

計(jì)算積分算子

下一步，我們將演示如何在模型中使用積分算子,。例如,，我們希望計(jì)算將平均溫度相對(duì)室溫上升 10 K，即達(dá)到 303.15 K,，需要施加多少熱能,。首先，我們需要計(jì)算目標(biāo)溫度與實(shí)際平均溫度之差,。平均溫度可通過(guò)對(duì) T 的積分除以對(duì) 1 的積分得到,，對(duì)常數(shù) 1 的積分可以得到域的面積。幸運(yùn)的是,，在 COMSOL 中這類計(jì)算可以輕松地通過(guò)缺省名稱為 aveop1 的平均算子得到,。（注意域內(nèi)的平均與我們的積分示例相同，因?yàn)橛驗(yàn)閱挝幻娣e,。) 對(duì)應(yīng)的溫差可通過(guò)如下公式計(jì)算：

接下來(lái),，我們需要找到左側(cè)和下方邊界的‘廣義熱通量’，以便滿足所需的平均溫度,。為此,，我們?cè)黾恿艘粋€(gè)名為 q_hot 的額外自由度，以及一個(gè)額外的約束作為全局方程,。將‘廣義流入熱通量’替換為 q_hot,。

如何通過(guò)增加一個(gè)額外的自由度以及一個(gè)全局方程來(lái)把平均溫度強(qiáng)制設(shè)為 303.15 K

對(duì)這個(gè)耦合系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)態(tài)求解，得到 qhot =5881.30 W/㎡,。要在整個(gè)域中得到 303.15 K 的平均溫度,，‘廣義流入熱通量’邊界條件就應(yīng)為這樣的一個(gè)值。

利用積分耦合計(jì)算不定積分

我們的 Support 郵箱經(jīng)常收到這樣一個(gè)問(wèn)題：如何得到空間不定積分,？下面這個(gè)積分耦合的應(yīng)用就將回答這一問(wèn)題,。不定積分與積分對(duì)應(yīng)，從幾何上講,，它支持計(jì)算由函數(shù)圖形約束的任意面積,。它的一個(gè)重要應(yīng)用就是計(jì)算統(tǒng)計(jì)分析中的概率。為演示這一點(diǎn)，我們的示例固定為 y=0,，并通過(guò) u(x) 表示不定積分 T(x,0),。這意味著：

以下積分代表了該不定積分：

其中，我們使用 來(lái)區(qū)分積分與輸出變量,。和上文的積分相反，我們這里將函數(shù)作為結(jié)果,，而非標(biāo)量,。我們需要加入這一信息，即對(duì)于每個(gè) ,，對(duì)應(yīng)的 值需要求解一個(gè)積分,。幸運(yùn)的是，這在 COMSOL 環(huán)境中很容易設(shè)定,，可以說(shuō),，只需要三個(gè)組分。第一步,，可以使用一個(gè)邏輯表達(dá)式將積分轉(zhuǎn)化為：

第二步,，我們需要一個(gè)積分算子作用在我們示例域的下邊界。我們通過(guò) intop2 來(lái)表示,。第三步,，我們需要加入積分與輸出變量的區(qū)分。這一情況下源項(xiàng)與目標(biāo)端的符號(hào)分別為 和 ,。當(dāng)使用積分耦合算子時(shí),，內(nèi)置算子 dest 可用，它指出對(duì)應(yīng)的表達(dá)式不屬于積分變量,。更精確地說(shuō),，它意味著 COMSOL 中的 。綜合邏輯表達(dá)式與 dest 算子,，得到表達(dá)式 T*(x<=dest(x)),，這正是 intop2 所需輸入的表達(dá)式?？傊?，我們可以通過(guò) intop2(T*(x<=dest(x))) 計(jì)算不定積分，并在我們的示例中得到如下圖示：

如何通過(guò)積分耦合,、dest 算子,，以及邏輯表達(dá)式繪制不定積分

COMSOL 提供了兩個(gè)不同的積分耦合算子，名稱是廣義投影和線性投影,?？赏ㄟ^(guò)它們得到域任意方向的一組路徑積分，即僅針對(duì)一個(gè)維度執(zhí)行積分，結(jié)果是一個(gè)維度而非域的函數(shù),。在二維示例中,，結(jié)果是一個(gè)一維函數(shù)，可以在任意邊界進(jìn)行計(jì)算,。在接下來(lái)的一篇有關(guān)組件耦合的博客中,，我們將更加詳細(xì)地介紹如何使用這些算子。

在附加物理場(chǎng)接口求解空間積分

要最靈活地使用空間積分,，可以將它增加到一個(gè)附加的 PDE 接口上,。繼續(xù)使用不定積分的例子，假設(shè)我們并非只希望計(jì)算 y=0 的不定積分,。這一任務(wù)可以通過(guò) PDE 闡釋：

并在左邊界上指定狄氏邊界條件 u=0 ,。系數(shù)型偏微分方程接口是執(zhí)行這一方程的最簡(jiǎn)單接口，我們僅需作如下設(shè)定：

如何針對(duì)空間積分使用附加物理場(chǎng)接口

因變量 u 代表相對(duì)于 x 的不定積分,，在計(jì)算和后處理時(shí)可用,。這種方法除了靈活性，還具有準(zhǔn)確性的優(yōu)勢(shì),，因?yàn)榉e分并非作為派生值獲取,，而是作為計(jì)算及內(nèi)部誤差估計(jì)的一部分。

利用內(nèi)建算子求時(shí)間積分

我們之前提到過(guò)‘?dāng)?shù)據(jù)系列操作’可以作為時(shí)間積分使用,。通過(guò)分別代表了時(shí)間積分或時(shí)均的內(nèi)置算子 timeint 和 timeavg 是實(shí)現(xiàn)時(shí)間積分另一項(xiàng)重要方法,。它們可用于后處理中，能夠?qū)χ付〞r(shí)間間隔的任何瞬態(tài)表達(dá)式執(zhí)行積分操作,。在示例中,，我們對(duì) 90 s 和 100 s 的平均溫度感興趣，即：

下方的表面圖顯示了得到的積分,，它是 (x,y) 中的一個(gè)空間方程,。

如何使用內(nèi)置時(shí)間積分算子 timeavg

類似的算子還有用于球面對(duì)象的積分，也就是 ballint,、circint,、diskint 以及 sphint。

利用其它物理場(chǎng)接口實(shí)現(xiàn)的時(shí)間積分

如果模型中要用到時(shí)間積分,，您需要將其定義為額外的因變量,。與上方顯示的系數(shù)型偏微分方程示例類似，這可以通過(guò)增加數(shù)學(xué)分支的常微分方程接口實(shí)現(xiàn),。例如,，假設(shè)在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)，模型均需要從開(kāi)始時(shí)刻到當(dāng)前的總熱通量,，即需要測(cè)量累計(jì)能量,。COMSOL 會(huì)自動(dòng)計(jì)算總熱通量變量,，名稱為 ht.tfluxMag。積分可以作為帶有分布式常微分方程的附加因變量計(jì)算,，它是域常微分和微分代數(shù)方程 接口的子節(jié)點(diǎn),。該域常微分方程的源項(xiàng)為被積函數(shù)，如下圖所示,。

如何針對(duì)時(shí)間積分使用附加的物理場(chǎng)接口

這類計(jì)算的優(yōu)勢(shì)是什么呢,？積分可以在另一個(gè)物理場(chǎng)接口重復(fù)使用，比如那些可能會(huì)被系統(tǒng)中的累計(jì)能量影響的接口,。此外,，它現(xiàn)在還可用于各類后處理，比內(nèi)建算子更加便捷和高效,。例如，檢查多相催化模型中的碳沉積,，模型使用域常微分方程來(lái)計(jì)算催化劑的孔隙率,，并以此作為存在化學(xué)反應(yīng)時(shí)的瞬態(tài)場(chǎng)變量。

求解析函數(shù)及表達(dá)式的積分

到目前為止,，我們已經(jīng)顯示了如何在計(jì)算或后處理中求解變量的積分,，但我們尚未涉及到解析函數(shù)或表達(dá)式的積分。為此,，COMSOL 還提供了內(nèi)置算子 integrate (表達(dá)式,、積分變量、下邊界,，及上邊界),。

表達(dá)式可能是任意一維函數(shù)，例如 sin(x),；也可能包括附加變量,，例如 sin(x*y)。第二個(gè)參數(shù)指出了對(duì)哪個(gè)變量求積分,。例如利用 integrate(sin(x*y),y,0,1) 可以得到一個(gè)有關(guān) x 的函數(shù),，因?yàn)榉e分僅會(huì)消除積分變量 y。積分算子也可用于處理解析函數(shù),，我們需要在當(dāng)前組件的定義節(jié)點(diǎn)定義解析函數(shù),。

如何增加一個(gè)解析函數(shù)

如何求解析函數(shù)的積分

擴(kuò)展閱讀

模型下載

• 使用積分耦合算子：汽車(chē)消音器

• 使用時(shí)間積分的全局方程：PID 控制器的過(guò)程控制

• 使用全局方程來(lái)滿足約束：使用全局方程滿足約束條件

• 使用時(shí)間積分的域常微分方程組：鋰離子電池的容量衰減 與 多相催化中的碳沉積
  

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