專題十五  直線,、圓及其交匯問題

1．設(shè)a∈R,，則“a＝1”是“直線l₁：ax＋2y－1＝0與直線l₂：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．充分不必要條件                 B．必要不充分條件

C．充分必要條件                     D．既不充分也不必要條件

答案： A　[由a＝1可得l₁∥l₂，反之由l₁∥l₂可得a＝1或a＝－2,，故選A.]

2．已知圓C：x²＋y²－4x＝0,，l是過點P(3,0)的直線，則(　　)．

A．l與C相交                          B．l與C相切

C．l與C相離                          D．以上三個選項均有可能

答案：A　[把點(3,0)代入圓的方程的左側(cè)得3²＋0－4×3＝－3＜0,，故點(3,0)在圓的內(nèi)部,，所以過點(3,0)的直線l與圓C相交,，選A.]

3．對任意的實數(shù)k,，直線y＝kx＋1與圓x²＋y²＝2的位置關(guān)系一定是(　　)．

A．相離                                   B．相切

C．相交但直線不過圓心          D．相交且直線過圓心

答案：C　[易知直線過定點(0,1)，且點(0,1)在圓內(nèi),，但是直線不過圓心(0,0),，故選C.]

4．過點(－1，－2)的直線l被圓x²＋y²－2x－2y＋1＝0截得的弦長為,，則直線l的斜率為________．

解析　由題意知直線要與圓相交,，必存在斜率，設(shè)為k,，則直線方程為y＋2＝k(x＋1),，又圓的方程可化為(x－1)²＋(y－1)²＝1，圓心為(1,1),，半徑為1,，

∴圓心到直線的距離d＝＝ ，

解得k＝1或.

答案　1或

本問題是整個解析幾何的基礎(chǔ),，在解析幾何的知識體系中占有重要位置，但解析幾何的主要內(nèi)容是圓錐曲線與方程,，故在該部分高考考查的分值不多,，在高考試卷中一般就是一個選擇或填空題考查直線與方程、圓與方程的基本問題,，偏向于考查直線與圓的綜合,，試題難度不大，對直線方程,、圓的方程的深入考查則與圓錐曲線結(jié)合進(jìn)行．[來源:Z+xx+k.Com]

高考對解析幾何的考查,，主要考查直線和圓的方程以及直線與圓的位置關(guān)系的有關(guān)問題．運算能力與平面幾何知識的靈活運用有可能成為制約考生解題的一個重要因素，因此在復(fù)習(xí)的過程中,，要注意加強(qiáng)圓的幾何性質(zhì)的復(fù)習(xí),，注意向量方法在解析幾何中的應(yīng)用，注意強(qiáng)化運算能力的訓(xùn)練,，努力提高靈活解題的能力．

必備知識

兩直線平行、垂直的判定

(1)①l₁：y＝k₁x＋b₁,，l₂：y＝k₂x＋b₂(兩直線斜率存在,，且不重合)，則有l₁∥l₂?k₁＝k₂,，l₁⊥l₂?k₁·k₂＝－1.

②若兩直線的斜率都不存在,，并且兩直線不重合，則兩直線平行,；

若兩直線中一條直線的斜率為0,，另一條直線斜率不存在，則兩直線垂直．

(2)l₁：A₁x＋B₁y＋C₁＝0,，l₂：A₂x＋B₂y＋C₂＝0,，

則有l₁∥l₂?A₁B₂－A₂B₁＝0，且B₁C₂－B₂C₁≠0,，

l₁⊥l₂?A₁A₂＋B₁B₂＝0.

圓的方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)²＋(y－b)²＝r²(r＞0),，圓心為(a，b),，半徑為r.

(2)圓的一般方程：x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0(D²＋E²－4F＞0)，圓心為,，半徑為r＝,；二元二次方程Ax²＋Bxy＋Cy²＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是

 

必備方法

1．由于直線方程有多種形式,，各種形式適用的條件,、范圍不同，在具體求直線方程時,，由所給的條件和采用的直線方程形式所限,，可能會產(chǎn)生遺漏的情況，尤其在選擇點斜式,、斜截式時要注意斜率不存在的情況．

2．處理有關(guān)圓的問題,，要特別注意圓心、半徑及平面幾何知識的應(yīng)用,，如弦心距,、半徑、弦長的一半構(gòu)成直角三角形經(jīng)常用到,，利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題,，往往使問題簡化．

3．直線與圓中常見的最值問題

(1)圓外一點與圓上任一點的距離的最值．

(2)直線與圓相離,，圓上任一點到直線的距離的最值．

(3)過圓內(nèi)一定點的直線被圓截得弦長的最值．

(4)直線與圓相離,，過直線上一點作圓的切線，切線長的最小值問題．

(5)兩圓相離，兩圓上點的距離的最值．

4．兩圓相交,，將兩圓方程聯(lián)立消去二次項,，得到一個二元一次方程即為兩圓公共弦所在的直線方程．

 

對于圓的方程,，高考要求能根據(jù)所給的條件選取恰當(dāng)?shù)姆匠绦问嚼么ㄏ禂?shù)法求出圓的方程,，并結(jié)合圓的幾何性質(zhì)解決與圓相關(guān)的問題．該部分在高考中常以填空,、選擇的形式直接考查,，或是在解答題中綜合軌跡問題進(jìn)行考查．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例1】? 已知圓C與圓x²＋y²－2x＝0相外切，并且與直線x＋y＝0相切于點Q(3,，－),，求圓C的方程．

[審題視點] 　

　

[聽課記錄][來源:Zxxk.Com]

[審題視點] 先確定采用標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程，然后求出相應(yīng)的參數(shù),，即采用待定系數(shù)法．

解　設(shè)圓C的圓心為(a,，b)，則

解得或所以r＝2或r＝6.

所以圓C的方程為(x－4)²＋y²＝4或x²＋(y＋4)²＝36.

 求圓的方程一般有兩類方法：(1)幾何法,，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓,、圓與圓的位置關(guān)系,，進(jìn)而求得圓的基本量和方程,；(2)代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程,，再由條件求得各系數(shù)．

【突破訓(xùn)練1】 已知圓過點A(1,2),，B(3,4)，且在x軸上截得的弦長為6,，求圓的方程．

解　法一　設(shè)圓的方程為x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0.

令y＝0,，得x²＋Dx＋F＝0.

設(shè)弦的兩端點的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂.

因圓在x軸上截得的弦長為6,，所以|x₁－x₂|＝6,，

即D²－4F＝36，①

又圓過點A(1,2),，B(3,4),，

所以D＋2E＋F＋5＝0，②

3D＋4E＋F＋25＝0,，③

由①②③解得或

故所求圓的方程為x²＋y²＋12x－22y＋27＝0或x²＋y²－8x－2y＋7＝0.

法二　設(shè)所求圓的方程為(x－a)²＋(y－b)²＝r²,，

由已知得解得或

故所求圓的方程為(x＋6)²＋(y－11)²＝130，或(x－4)²＋(y－1)²＝10.

直線與圓的位置關(guān)系是高考考查的熱點,，主要考查直線與圓的相交,、相切、相離的判定與應(yīng)用,，以及弦長,、面積的求法等，并常與圓的幾何性質(zhì)交匯,，要求學(xué)生有較強(qiáng)的運算求解能力．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例2】? 如圖所示，已知以點A(－1,2)為圓心的圓與直線l₁：x＋2y＋7＝0相切．過點B(－2,0)的動直線l與圓A相交于M,，N兩點,，Q是MN的中點，直線l與l₁相交于點P.

(1)求圓A的方程,；

(2)當(dāng)|MN|＝2時，求直線l的方程,；[來源:學(xué),科,網(wǎng)Z,X,X,K]

(3)B·B是否為定值,？如果是,，求出其定值；如果不是,，請說明理由．

[審題視點] 　

　

[聽課記錄]

[審題視點] 第(1)問由圓A與直線l₁相切易求出圓的半徑,，進(jìn)而求出圓A的方程；第(2)問注意直線l的斜率不存在時也符合題意,，以防漏解,，另外應(yīng)注意用好幾何法，以減小計算量,；第(3)問分兩種情況分別計算平面向量的數(shù)量積為定值后方可下結(jié)論．

解　(1)設(shè)圓A的半徑為R,，

∵圓A與直線l₁：x＋2y＋7＝0相切，

∴R＝＝2.

∴圓A的方程為(x＋1)²＋(y－2)²＝20.

(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時,，易知x＝－2符合題意,；

當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2),，即kx－y＋2k＝0.

連接AQ,，則AQ⊥MN.

∵|MN|＝2，∴|AQ|＝＝1,，

由|AQ|＝＝1,，得k＝.

∴直線l的方程為3x－4y＋6＝0，

∴所求直線l的方程為：x＝－2或3x－4y＋6＝0.

(3)∵AQ⊥BP,，∴A·B＝0,，

∴B·B＝(B＋A)·B

＝B·B＋A·B

＝B·B.

當(dāng)直線l與x軸垂直時，得P,，

則B＝,，又B＝(1,2)．

∴B·B＝B·B＝－5.

當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)．

由解得P.

∴B＝.

∴B·B＝B·B＝－＝－5,，

綜上所述,，B·B是定值,，且B·B＝－5.

 (1)直線和圓的位置關(guān)系常用幾何法,，即利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d及半弦長構(gòu)成直角三角形關(guān)系來處理．

(2)要注意分類討論,，即對直線l分為斜率存在和斜率不存在兩種情況分別研究,，以防漏解或推理不嚴(yán)謹(jǐn)．

【突破訓(xùn)練2】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x²－6x＋1與坐標(biāo)軸的交點都在圓C上．

(1)求圓C的方程,；

(2)若圓C與直線x－y＋a＝0交于A,，B兩點，且OA⊥OB,，求a的值．

解　(1)曲線y＝x²－6x＋1與坐標(biāo)軸的交點為(0,1)，(3±2,，0)．

故可設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為(3,，t)，

則有3²＋(t－1)²＝²＋t².

解得t＝1,，則圓的半徑為＝3.

所以圓的方程為(x－3)²＋(y－1)²＝9.

(2)設(shè)A(x₁,，y₁)，B(x₂,，y₂),，其坐標(biāo)滿足方程組

消去y得到方程2x²＋(2a－8)x＋a²－2a＋1＝0，

由已知可得判別式Δ＝56－16a－4a²＞0,，

由韋達(dá)定理可得x₁＋x₂＝4－a，x₁x₂＝,，①

由OA⊥OB可得x₁x₂＋y₁y₂＝0.又y₁＝x₁＋a,，y₂＝x₂＋a.

所以2x₁x₂＋a(x₁＋x₂)＋a²＝0.

由①②可得a＝－1，滿足Δ＞0,，故a＝－1.

 

常以直線,、圓、圓錐曲線為載體結(jié)合平面向量來命題,，考查解決解析幾何問題的基本方法與技能,，正成為高考命題新的生長點．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例3】已知拋物線C：y²＝4x的焦點為F，過點K(－1,0)的直線l與C相交于A,，B兩點,，點A關(guān)于x軸的對稱點為D.

(1)證明：點F在直線BD上；

(2)設(shè)F·F＝,，求△BDK的內(nèi)切圓M的方程．

[審題視點] 　

　

[聽課記錄]

[審題視點] (1)設(shè)出A,、B、D的坐標(biāo)及l的方程,，進(jìn)而表示出直線BD的方程．再驗證,；(2)由·＝可求直線l，BD的方程,，再由A,、D關(guān)于x軸對稱可設(shè)圓心M(t,0)，則M到直線l,，BD的距離相等．

解　設(shè)A(x₁,，y₁)，B(x₂,，y₂),，D(x₁，－y₁),，l的方程為x＝my－1(m≠0)．

(1)證明：將x＝my－1代入y²＝4x并整理得y²－4my＋4＝0，從而y₁＋y₂＝4m,，y₁y₂＝4.①

直線BD的方程為y－y₂＝·(x－x₂),，

即y－y₂＝·.

令y＝0，得x＝＝1.

所以點F(1,0)在直線BD上．[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]

(2)由(1)知,，x₁＋x₂＝(my₁－1)＋(my₂－1)＝4m²－2,，

x₁x₂＝(my₁－1)(my₂－1)＝1.

因為F＝(x₁－1,，y₁)，F＝(x₂－1,，y₂),，

F·F＝(x₁－1)(x₂－1)＋y₁y₂＝x₁x₂－(x₁＋x₂)＋1＋4

＝8－4m²,，

故8－4m²＝,，解得m＝±.

所以l的方程為3x＋4y＋3＝0,3x－4y＋3＝0.[來源:學(xué)§科§網(wǎng)]

又由①知y₂－y₁＝±＝±,，

故直線BD的斜率＝±,，

因而直線BD的方程為3x＋y－3＝0,3x－y－3＝0.

因為KF為∠BKD的平分線,，故可設(shè)圓心M(t,0)(－1<t<1),，M(t,0)到l及BD的距離分別為，.

由＝得t＝或t＝9(舍去),，

故圓M的半徑r＝＝.

所以圓M的方程為²＋y²＝.

 對直線與圓的綜合性問題，要認(rèn)真審題,，學(xué)會將問題拆分成基本問題,，然后綜合利用數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,、方程的思想等來解決問題,，這樣可以漸漸增強(qiáng)自己解決綜合問題的能力．

【突破訓(xùn)練3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中,，M,、N分別是橢圓＋＝1的頂點，過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于P,、A兩點,，其中點P在第一象限，過P作x軸的垂線,，垂足為C.連接AC,，并延長交橢圓于點B.設(shè)直線PA的斜率為k.

(1)當(dāng)直線PA平分線段MN時,，求k的值,；

(2)當(dāng)k＝2時，求點P到直線AB的距離d.

解　(1)由題設(shè)知,，a＝2,，b＝，故M(－2,0),，N(0,，－)，所以線段MN中點的坐標(biāo)為.由于直線PA平分線段MN,，故直線PA過線段MN的中點,，又直線PA過坐標(biāo)原點，所以k＝＝.

(2)直線PA的方程為y＝2x,，代入橢圓方程得＋＝1,，解得x＝±，因此P,，A.

于是C,，直線AC的斜率為＝1，故直線AB的方程為x－y－＝0.因此,，d＝＝.

直線問題“誤”匯

易錯點1：忽視截距為零或認(rèn)為截距是距離的情況

【示例1】? 經(jīng)過點(2,1)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是________________．

解析　(1)直線在兩坐標(biāo)軸的截距為0時,，直線方程為y＝x.

(2)直線在兩坐標(biāo)軸的截距不為0時,，設(shè)直線方程為x＋y＝a.因為點(2,1)在直線上，所以2＋1＝a,，即a＝3.直線方程為x＋y＝3.故所求直線方程為y＝x或x＋y＝3.

答案　y＝x或x＋y＝3

老師叮嚀：考生可能產(chǎn)生2種錯誤,，第1種錯誤：忽視截距為零的情況，只答出第(2)種情況,；第2種錯誤：認(rèn)為截距是距離,，把直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的也帶進(jìn)來，導(dǎo)致有錯誤答案為“所求直線方程為y＝x或x＋y＝3或x－y＝1”.

【試一試1】 已知直線l過點(2,，－6),，它在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍，求直線l的方程．

解　當(dāng)直線l過原點時,，它在兩坐標(biāo)軸上的截距都是0,，適合題意,，此時直線方程為y＝x＝－3x，可化為3x＋y＝0,；

當(dāng)直線l不過原點時,，設(shè)它在x軸上的截距為a(a≠0)，則它在y軸上的截距為2a,，則直線的截距式為＋＝1,，把點(2，－6)的坐標(biāo)代入得－＝1,，解得a＝－1,，故此時直線的方程為－x－＝1，可化為2x＋y＋2＝0.

綜上,，直線的方程為3x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.

易錯點2：忽視直線的斜率不存在的情況

【示例2】? 已知直線l過點(－2,0),，直線x＋2y－5＝0和3x－y－1＝0的交點到直線l的距離為3，求直線l的方程．

[滿分解答]　由得,，即直線x＋2y－5＝0和3x－y－1＝0的交點坐標(biāo)為(1,2)．(2分)

(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時,，其方程為x＝－2，點(1,2)到該直線的距離為3,，適合題意．(6分)

(2)當(dāng)直線l的斜率存在時,，設(shè)為k，則直線l的點斜式方程為y＝k(x＋2),，可化為kx－y＋2k＝0.

依題意得＝3,，

解得k＝－.

所以，此時直線l的方程為5x＋12y＋10＝0.(10分)

綜上,，直線的方程為x＋2＝0或5x＋12y＋10＝0.

(12分)

老師叮嚀：忽視直線的斜率不存在的情形,，也是一類常見錯誤.在相關(guān)問題中，需設(shè)直線的斜率時，一定要注意分析直線的斜率是否一定存在,，不一定存在,，就需分類討論.

　　　　　　　　　　　　　　　　　

【試一試2】 已知直線l₁：ax－y＋2a＝0與直線l₂：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，則a等于(　　)．

A．1  B．0  C．1或0  D．1或－1

答案： C　[法一　依題意有a·(2a－1)＋(－1)·a＝0,；解得a＝0或a＝1.

法二　①a＝0時直線l₂斜率不存在,，直線l₁的斜率為0，兩直線垂直．

②a≠0時,，直線l₁的斜率為a,，直線l₂的斜率為－，因為直線l₁與直線l₂垂直,，所以a·＝－1,，解得a＝1.故所求a值為0或1，選C.]

【試一試3】 C　[將圓C方程配方得：(x＋1)²＋(y＋2)²＝8,，圓C的圓心坐標(biāo)和半徑分別是：C(－1,，－2)，R＝2.設(shè)與直線l：x＋y＋1＝0平行且距離為的直線方程為x＋y＋m＝0,，由＝知,，m＝－1或m＝3.當(dāng)m＝－1時，圓心到直線的距離d₁＝＝2＝R,，直線與圓相切，滿足要求的點只有一個,；當(dāng)m＝3時,，圓心到直線的距離d₂＝＝0＜R，直線與圓相交,，滿足要求的點有兩個．故滿足要求的點共有3個．選C.]