2015年高考全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析（word精校版）

注意事項(xiàng)：

1．本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分,。答卷前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫在答題卡上,。

2．回答第I卷時(shí),，選出每小題的答案后,，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,，如需改動(dòng),，用橡皮擦干凈后,，再選涂其他答案標(biāo)號(hào),。寫在本試卷上無效。

3．回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上,，寫在本試卷上無效。

4．考試結(jié)束后,，將本試卷和答題卡一并交回,。

一,、選擇題：本大題共12小題，每小題5分,，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的,。

（1）       已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,則A∩B=（    ）

（A）｛--1,0｝  （B）｛0,1｝ （C）｛-1,0,1｝  （D）｛,0,,，1,，2｝

【答案】A

【解析】由已知得，故，故選A

（2）若a為實(shí)數(shù)且（2+ai）（a-2i）=-4i,則a=（     ）

   （A）-1    （B）0   （C）1   （D）2

【答案】B

（3）根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量（單位：萬噸）柱形圖,。以下結(jié)論不正確的是(      )

（A）     逐年比較,，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著

（B）      2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)

（C）      2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)

（D）     2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)

【答案】D

【解析】由柱形圖得，從2006年以來,，我國二氧化硫排放量呈下降趨勢(shì),，故年排放量與年份負(fù)相關(guān)．

（4）等比數(shù)列｛a_n｝滿足a₁=3， =21,，則 (     )

（A）21      （B）42       （C）63     （D）84

【答案】B

（5）設(shè)函數(shù),(     )

（A）3     （B）6       （C）9     （D）12

【答案】C

【解析】由已知得,，又，所以,，故

．

（6）一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,，剩余部分的三視圖如右圖,，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為

（A）        （B）       （C）       （D）

【答案】D

【解析】由三視圖得,，在正方體中,，截去四面體，如圖所示,，,，設(shè)正方體棱長為,，則，故剩余幾何體體積為,，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為．

（7）過三點(diǎn)A（1,3）,，B（4,2）,，C（1,-7）的圓交于y軸于M、N兩點(diǎn),，則=

（A）2      （B）8       （C）4      （D）10

【答案】C

（8）右邊程序抗土的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”,。執(zhí)行該程序框圖，若輸入a,b分別為14,18,，則輸出的a=

A.0                B.2            C.4                D.14

【答案】B

【解析】程序在執(zhí)行過程中,，,，的值依次為,，；,；,；,；；,，此時(shí)程序結(jié)束,，輸出的值為2，故選B．

（9）已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),，∠AOB=90,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn),，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為

A．36π    B.64π    C.144π    D.256π

【答案】C

【解析】如圖所示,，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大,，設(shè)球的半徑為,，此時(shí)，故,，則球的表面積為

,，故選C．

10.如圖,，長方形ABCD的邊AB=2,，BC=1，O是AB的中點(diǎn),，點(diǎn)P沿著邊BC,，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記∠BOP=x．將動(dòng)點(diǎn)P到A,、B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f（x）,，則f（x）的圖像大致為

【答案】B

的運(yùn)動(dòng)過程可以看出,，軌跡關(guān)于直線對(duì)稱，且,，且軌跡非線型，故選B．

（11）已知A,，B為雙曲線E的左,，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上,，?ABM為等腰三角形,，且頂角為120°，則E的離心率為

（A）√5    （B）2     （C）√3    （D）√2

【答案】D

（12）設(shè)函數(shù)f’(x)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),，f（-1）=0，當(dāng)時(shí),，，則使得成立的x的取值范圍是

（A）         （B）

（C）        （D）

【答案】A

【解析】

記函數(shù),，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí),，,，故當(dāng)時(shí)，,，所以在單調(diào)遞減,；又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù),，故函數(shù)是偶函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，且．當(dāng)時(shí),，，則,；當(dāng)時(shí),，,，則,，綜上所述,，使得成立的的取值范圍是

，故選A．

二,、填空題

（13）設(shè)向量，不平行,，向量與平行,，則實(shí)數(shù)_________．

 【答案】

【解析】因?yàn)?/span>向量與平行,，所以，則所以．

（14）若x，y滿足約束條件,，則的最大值為____________．

【答案】

（15）的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32,，則__________．

【答案】

【解析】由已知得,，故的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為,，，,，,，，其系數(shù)之和為,，解得．

（16）設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且,，,，則________．

【答案】

【解析】由已知得,，兩邊同時(shí)除以,，得，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列,，則,，所以．

三．解答題

（17）?ABC中，D是BC上的點(diǎn),，AD平分∠BAC,，?ABD是?ADC面積的2倍,。

(Ⅰ)求;

(Ⅱ) 若=1,，=求和的長.

(18)某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度,，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶,，得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下：

A地區(qū)：62  73  81  92  95  85  74  64  53  76

        78  86  95  66  97  78  88  82  76  89

B地區(qū)：73  83  62  51  91  46  53  73  64  82

        93  48  65  81  74  56  54  76  65  79

（Ⅰ）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖,，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，得出結(jié)論即可）,；

（Ⅱ）根據(jù)用戶滿意度評(píng)分,，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)不等級(jí)：

記時(shí)間C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)高于B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)”。假設(shè)兩地區(qū)用戶的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立,。根據(jù)所給數(shù)據(jù),，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的概率

19．（本小題滿分12分）

如圖,，長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB = 16,，BC = 10,，AA₁ = 8，點(diǎn)E,，F分別在A₁B₁,，D₁C₁上，A₁E = D₁F = 4,，過點(diǎn)E,，F的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形,。

（1）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說明畫法和理由）,；

（2）求直線AF與平面α所成的角的正弦值。

20．（本小題滿分12分）

已知橢圓C：,，直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,，B,，線段AB的中點(diǎn)為M。

（1）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值,；

（2）若l過點(diǎn)，延長線段OM與C交于點(diǎn)P,，四邊形OAPB能否為平行四邊形,？若能，求此時(shí)l的斜率,；若不能,，說明理由,。

21．（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù),。

（1）證明：在單調(diào)遞減,，在單調(diào)遞增；

（2）若對(duì)于任意,，都有,，求m的取值范圍,。

請(qǐng)考生在第22,、23,、24題中任選一題作答，如果多做,，則按所做的第一題記分,。作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)

22．（本小題滿分10分）

選修4 - 1：幾何證明選講

如圖，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),，⊙O與ΔABC的底邊BC交于M,，N兩點(diǎn)，與底邊上的高AD交于點(diǎn)G,，且與AB,，AC分別相切于E，F兩點(diǎn),。

（1）證明：EF∥BC,；

（2）若AG等于⊙O的半徑，且,，求四邊形EBCF的面積。

23．（本小題滿分10分）

選修4 - 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系xOy中,，曲線C₁：（t為參數(shù)，t ≠ 0）,，其中0 ≤ α < π,，在以O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₂：,，C₃：,。

（1）求C₂與C₃交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

（2）若C₁與C₂相交于點(diǎn)A,，C₁與C₃相交于點(diǎn)B,，求的最大值,。

24．（本小題滿分10分）

選修4 - 5：不等式選講

設(shè)a,，b，c,，d均為正數(shù),，且a + b = c + d，證明：

（1）若ab > cd,；則；

（2）是的充要條件。

附：全部試題答案