一．圓錐曲線的研究歷史

1．圓錐面上的圓錐曲線

  公元前4世紀(jì)后半期,，由于戰(zhàn)爭,，希臘的文化中心從雅典東移到古老埃及的亞歷山大城，希臘,、埃及兩方文化結(jié)合,，更使希臘人的文學(xué)、藝術(shù),、哲學(xué),、自然科學(xué)取得了卓越的成就，關(guān)于數(shù)學(xué)中圓錐曲線的研究也是在這個時期開始,。

  希臘人最先研究圓錐曲線,，據(jù)傳首先是為了解決當(dāng)時的幾何學(xué)與神學(xué)提出的所謂“德里問題”或“立方倍積問題”，并在逐步探索認(rèn)識和解決問題的過程中,，發(fā)展和深化了對圓錐曲線的了解,。

所謂“德里問題”或“立方倍積問題”，是傳說很久以前,，一次希臘德里群島中一個名叫杰羅西島的地方發(fā)生了瘟疫,。島上部落問自己的酋長怎樣祈禱上帝，才能免除這場災(zāi)難,。酋長說,，要把祭祀上帝的立方體形祭壇重新砌造成一個更大的，要求新砌的祭壇仍是立方體,，但體積要為原來祭壇體積的2倍。即原立方體棱長為a,，新立方體棱長x,，得：， ,。問題的實(shí)質(zhì)就是如何根據(jù)a求作x ,。

不少的古希臘學(xué)者研究過這個問題，開始大多是企圖通過尺規(guī)作圖的方法來解決的，也形成了多種方法（這些方法都不是嚴(yán)格意義上的“尺規(guī)作圖”）,。古希臘幾何學(xué)家,、天文學(xué)家梅內(nèi)克繆斯(Menaechmus 前375-前325年)的方法是：用一個平面垂直于頂角分別是銳角、直角和鈍角的圓錐的母線,，得到三種不同截線,，他把這三種截線分別叫做“銳角的”、“直角的”和“鈍角的”圓錐截線,，即后來的橢圓,、拋物線和一支等軸雙曲線。那么在“立方倍積問題”中,，如何作出x= 這一線段呢,？用現(xiàn)在的直角坐標(biāo)方程的知識可知，它實(shí)際是兩條拋物線 和兩交點(diǎn)中非原點(diǎn)的那個交點(diǎn)的橫坐標(biāo),，而這兩條拋物線梅內(nèi)克繆斯在當(dāng)時就是從圓錐截線得到,。所以梅內(nèi)克繆斯是系統(tǒng)研究圓錐曲線的第一人，他最早給圓錐曲線以命名,，并利用拋物線滿意地解決了“立方倍積問題”,。

圓錐曲線就這樣神奇地仿佛是無中生有地產(chǎn)生在圓錐曲面上。

2．幾何學(xué)里的圓錐曲線

在公元前3世紀(jì)前后,，最著名的希臘三大學(xué)者歐幾里德（Euclid 前330 ,？-前275年）、阿基米德（Archimedes 前287,？-前212年）和阿波羅尼斯(Apollonius 前262-前200年)都研究了圓錐曲線,。歐幾里德除了總結(jié)歷史上幾何學(xué)發(fā)展的成果，把幾何學(xué)條理化,、系統(tǒng)化寫成巨著《幾何原本》一書外,，還著有《圓錐曲線論》等書（可惜失傳了）。歐幾里德在《幾何原本》中給出了圓錐曲線統(tǒng)一定義,，即平面內(nèi)一點(diǎn)F和一定直線AB,，從平面內(nèi)動點(diǎn)M向AB引垂線，垂足為C,，若MF：MC值一定,，則動點(diǎn)軌跡為圓錐曲線，但他未證明,。阿基米德則成功計算了拋物線弓形的面積,，發(fā)明了用同心輔助圓畫橢圓的方法，還提出了圓錐曲線的直徑的概念,。阿波羅尼斯著書《圓錐曲線》共八卷,，有487個命題（其中第八卷失傳）,。該書全面討論了圓錐曲線的性質(zhì)，并包含了坐標(biāo)和曲線方程的思想,，但都是用幾何方法,。他推廣了梅內(nèi)克繆斯用平面垂直三種頂角（銳角、直角,、鈍角）圓錐的母線而得圓錐曲線的方法,，從同一個圓錐中，改變截面對于圓錐軸的傾角的方法,，就能截出三種圓錐曲線,。他同時并用兩對頂圓錐，從而發(fā)現(xiàn)了雙曲線有兩支,。他研究了圓錐曲線的直徑和軸,，研究了雙曲線的漸近線。他最先發(fā)現(xiàn)橢圓,、雙曲線有焦點(diǎn),，發(fā)現(xiàn)橢圓、雙曲線上任一點(diǎn)處切線性質(zhì)（“光學(xué)特性”）,，但未發(fā)現(xiàn)拋物線的“光學(xué)特性”,。

公元340年，希臘學(xué)者帕普斯（Pappus 約290-350年）著《希臘數(shù)學(xué)集成》,，他首次發(fā)現(xiàn)拋物線有焦點(diǎn)和圓錐曲線有準(zhǔn)線,。他第一個用焦點(diǎn)和準(zhǔn)線來定義圓錐曲線：圓錐曲線是一動點(diǎn)到一定點(diǎn)和到一定直線距離的比是常數(shù)的軌跡，并加以證明,，說明MF:MC值小于1時,，M點(diǎn)軌跡為橢圓，等于1時為拋物線,，大于1時為雙曲線,。他還提出了圓錐曲線的離心率。

上述對圓錐曲線的研究用的都是純粹幾何的方法,，其構(gòu)造,、推演、論證的技巧與方法實(shí)在令人折服,。

3．客觀現(xiàn)實(shí)中的圓錐曲線

到公元4世紀(jì)和5世紀(jì)時,，延續(xù)一千多年之久的奴隸制度開始崩潰，在長期戰(zhàn)爭和外族侵略摧殘中,，古代文化遭到極大破壞,。在此后直至公元15世紀(jì)的一長段令人窒息的中世紀(jì)時期中，在新興的封建國家里,，取代古代樸素唯物主義和文化科學(xué)的是宗教的神學(xué)思想,。在這一段長夜漫漫的黑暗年代，關(guān)于數(shù)學(xué)圓錐曲線的研究,，非當(dāng)沒有什么更多的發(fā)展,，而且?guī)缀醣宦駴]了。在阿波羅尼的《圓錐曲線》問世后的13個世紀(jì)里,，整個數(shù)學(xué)界對圓錐曲線的研究一直沒有什么新進(jìn)展,。11世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家曾利用圓錐曲線來解三次代數(shù)方程,，12世紀(jì)起,，圓錐曲線經(jīng)阿拉伯傳入歐洲，但當(dāng)時對圓錐曲線的研究仍然沒有突破

“在中世紀(jì)的黑夜之后,，科學(xué)以意想不到的力量一下子重新興起,，并且以神奇的速度發(fā)展起來?！?（恩格斯《自然辯證法》）在這一段時期中,，古希臘的“邏輯演繹思想”與歐洲的“科學(xué)實(shí)證精神”相結(jié)合，科學(xué)和技術(shù)出現(xiàn)了劃時代的偉大進(jìn)步,。關(guān)于圓錐曲線的研究,，也有了深入的發(fā)展。不僅古希臘人的經(jīng)典文明（包括對圓錐曲線的研究成果）被從宗教修道院中重新發(fā)掘出來,，而且結(jié)合新的生產(chǎn),、科學(xué)實(shí)踐，進(jìn)一步豐富了它的內(nèi)容,。

16世紀(jì),，有兩年事促使了人們對圓錐曲線作進(jìn)一步研究。一是德國天文學(xué)家開普勒（Kepler,1571~1630）繼承了哥白尼的日心說,，揭示出行星按橢圓軌道環(huán)繞太陽運(yùn)行的事實(shí),；二是意大利物理學(xué)家伽利略（Galileo,1564~1642）得出物體斜拋運(yùn)動的軌道是拋物線。人們發(fā)現(xiàn)圓錐曲線不僅是依附在圓錐面上的靜態(tài)曲線,，而且是自然界物體運(yùn)動的普遍形式,。于是，對圓錐曲線的處理方法開始有了一些小變動,。譬如,，1579年蒙蒂（Guidobaldo del Monte,1545~1607）橢圓定義為：到兩個焦點(diǎn)距離之和為定長的動點(diǎn)的軌跡。從而改變了過去對圓錐曲線的定義,。不過,，這對圓錐曲線性質(zhì)的研究推進(jìn)并不大，也沒有提出更多新的定理或新的證明方法,。

17世紀(jì)初,，在當(dāng)時關(guān)于一個數(shù)學(xué)對象能從一個形狀連續(xù)地變到另一形狀的新思想的影響下,，開普勒對圓錐曲線的性質(zhì)作了新的闡述。他發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線的焦點(diǎn)和離心率,，并指出拋物線還有一個在無窮遠(yuǎn)處的焦點(diǎn),，直線是圓心在無窮遠(yuǎn)處的圓。從而他第一個掌握了這樣的事實(shí)：橢圓,、拋物線,、雙曲線、圓以及由兩條直線組成的退化圓錐曲線,，都可以從其中一個連續(xù)地變?yōu)榱硪粋€,，只須考慮焦點(diǎn)的各種移動方式。譬如,，橢圓有兩個焦點(diǎn)F₁,、F₂，若F₁固定,，考慮F₂的移動,，當(dāng)F₂向左移動，橢圓逐漸趨向于圓,，F(xiàn)₂與F₂重合時即為圓,；當(dāng)F₂向右移動，橢圓逐漸趨向于拋物線,，F(xiàn)₂到無窮遠(yuǎn)處時即為拋物線,；當(dāng)F₂從無窮遠(yuǎn)處由左邊回到圓錐曲線的軸上來，即為雙曲線,；當(dāng)F₂繼續(xù)向右移動,，F(xiàn)₂又與F₁重合時即為兩相交直線，亦即退化的圓錐曲線,。這為圓錐曲線現(xiàn)代的統(tǒng)一定義提供了一個合乎邏輯的直觀基礎(chǔ),。

隨著射影幾何的創(chuàng)始，原本為畫家提供幫助的投射,、截影的方法,，可能由于它與錐面有著天然的聯(lián)系，也被用于圓錐曲線的研究,。在這方面法國的三位數(shù)學(xué)家笛沙格（Desargue1591－ 1661）,、帕斯卡（Pascal，1623－ 1662）和拉伊爾（Phailippe de La Hire,，1640～1718）得出了一些關(guān)于圓錐曲線的特殊的定理,，可謂別開生面。

4．坐標(biāo)系下的圓錐曲線

法國著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡爾（Descarter 1596-1650年）創(chuàng)立了解析幾何學(xué),，他建立了坐標(biāo)系概念,，用數(shù)學(xué)方程來研究物體的運(yùn)動軌跡，并且認(rèn)識到代數(shù)的二元二次方程的圖象是圓錐曲線,。

法國著名數(shù)學(xué)家費(fèi)爾瑪(Fermat 1603-1665年)受到古希臘阿波羅尼斯著作《圓錐曲線》的啟發(fā),，于笛卡爾稍后，也獨(dú)立具有了解析幾何的思想,。他分別從三個不同的方面給圓錐曲線以定義，就是既把圓錐曲線看作平面截圓錐所得的截線,，又看作是平面上動點(diǎn)到定點(diǎn)和到定直線距離比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡,，還看作是代數(shù)的二元二次方程的圖象。

解析幾何的創(chuàng)立,，使得人們對圓錐曲線的認(rèn)識進(jìn)入了一個新階段,，對圓錐曲線的研究方法既不同于阿波羅尼，又不同于投射和截影法,，而是朝著解析法的方向發(fā)展,，即通過建立坐標(biāo)系，得到圓錐曲線的方程,，進(jìn)而利用方程來研究圓錐曲線,，以期擺脫幾何直觀而達(dá)到抽象化的目標(biāo)，也可求得對圓錐曲線研究高度的概括和統(tǒng)一,。

17世紀(jì)下半葉,，英國著名科學(xué)家牛頓(Newton 1642-1727年)、德國著名數(shù)學(xué)家萊布尼茲(Leibniz 1646-1716年)創(chuàng)立了微積分學(xué),，以運(yùn)動,、辯證的數(shù)學(xué)分析方法，解決實(shí)踐中提出的本身就是運(yùn)動,、辯證的大量數(shù)學(xué),、力學(xué)問題，“獲得了不僅是正確的,，而且是初等數(shù)學(xué)研究完全不能達(dá)到的成果,。”（恩格斯《反杜林論》）新的分析方法,，極大地推動了數(shù)學(xué),、物理、天文科學(xué)的發(fā)展,。牛頓還用微積分學(xué)研究了圓錐曲線的切線性質(zhì),，提出了它的光學(xué)應(yīng)用，還設(shè)計了牛頓系統(tǒng)的光學(xué)反射式望遠(yuǎn)鏡,。

18世紀(jì),，人們廣泛地探討了解析幾何,，除直角坐標(biāo)系之外又建立極坐標(biāo)系，并能把這兩種坐標(biāo)系相互轉(zhuǎn)換,。在這種情況下表示圓錐曲線的二次方程也被化為幾種標(biāo)準(zhǔn)形式,，或者引進(jìn)曲線的參數(shù)方程。1745年歐拉發(fā)表了《分析引論》,，這是解析幾何發(fā)展史上的一部重要著作,，也是圓錐曲線研究的經(jīng)典之作。在這部著作中,，歐拉給出了現(xiàn)代形式下圓錐曲線的系統(tǒng)闡述,，從一般二次方程。出發(fā),，圓錐曲線的各種情形,，經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，總可以化以下標(biāo)準(zhǔn)形式之一：

繼歐拉之后,，三維解析幾何也蓬勃地發(fā)展起來,，由圓錐曲線導(dǎo)出了許多重要的曲面，諸如往面,、橢球面,、單葉和雙葉雙曲面、以及各種拋物面等,。

總而言之,，圓錐曲線無論在數(shù)學(xué)以及其他科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，還是在我們的實(shí)際生活中都占有重要的地位,，人們對它的研究也不斷深化,，其研究成果又廣泛地得到應(yīng)用。這正好反映了人們認(rèn)識事物的目的和規(guī)律,。

二．圓錐曲線的應(yīng)用

1．用以刻畫客觀世界中物質(zhì)的運(yùn)動

宏觀方面,，天體運(yùn)行的軌跡包含了三種圓錐曲線；微觀方面,，盧瑟福散射中的粒子沿雙曲線運(yùn)動,；玻爾的“電子在核外繞核作圓周運(yùn)動”的量子化軌道也被推廣到橢圓軌道。現(xiàn)實(shí)生活中,，我們知道,，斜拋射物體在僅受地球引力作用、不計空氣阻力下的運(yùn)動軌跡是拋物線,，而簡諧振動與液體流動中也都含有圓錐曲線,。

2．“光學(xué)特性”在科技上的應(yīng)用

拋物線、橢圓、雙曲線各有其所謂“光學(xué)特性”,，這些“光學(xué)特性”被應(yīng)用于光學(xué),、聲學(xué)、熱學(xué),、電子學(xué)的各個領(lǐng)域而大放異彩,。如光學(xué)中燈具與望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計；聲學(xué)中的音樂臺的拋物面屏墻,，橢圓聽音實(shí)驗(yàn),；電子學(xué)中的沖擊波排石及激光消痣橢圓；在微波通訊,、聚熱,、發(fā)電（如太陽灶、太陽爐,、太陽能光電站等）也都用到了圓錐曲線尤其是拋物線的“光學(xué)特性”。

3．在建筑,、生產(chǎn)用品制造上的應(yīng)用

 圓錐曲線在許多大型拱形,、薄殼建筑上，在大量生產(chǎn),、生活用品制造上,，亦有許多出眾表現(xiàn)。如諸多著名橋梁的拋物線型設(shè)計,，薄殼結(jié)構(gòu)類建筑的橢圓狀穹頂,，熱電站的雙曲面冷淋塔。同樣,，拋物線,、橢圓、雙曲線也廣泛存在于人們?nèi)粘Ｉ钣闷泛蜕a(chǎn)用具上,，這些妙用是由其特殊的形狀和內(nèi)在特性決定的,。

     4．曲線定義在技術(shù)上的應(yīng)用

         人對聲源的確定與雙耳效應(yīng)有關(guān)。根據(jù)雙耳時差,，可以確定聲音必定在以雙耳為焦點(diǎn)的一條雙曲線上,。同樣，若有三個固定的點(diǎn),，某一位置就可以根據(jù)接來自三點(diǎn)信號的時間差確定兩條雙曲線,，這兩條雙曲線的交點(diǎn)就是其確定的位置。這就是“雙曲線時差定位法”的基本原理,。著名的“羅蘭導(dǎo)航系統(tǒng)”,、“全球衛(wèi)星定位導(dǎo)航系統(tǒng)”等其原理也是一樣的。

三．給我們的一點(diǎn)啟示

當(dāng)圓錐曲線圓錐曲面上神奇地仿佛是無中生有地產(chǎn)生時，梅內(nèi)克繆斯可能沒有想到,，圓錐曲線在現(xiàn)實(shí)世界還有如此多樣的存在方式,；當(dāng)古希臘的那些學(xué)者們在研究圓錐曲線的性質(zhì)時，他們也不會想到,，這些性質(zhì)竟有如此豐富多彩的出神入化的應(yīng)用,。他們當(dāng)初的研究就是針對數(shù)學(xué)而言，沒有也不會想到太多,；也正是數(shù)學(xué)本身的魅力吸引了他們,，讓如癡如醉地研究數(shù)學(xué)。

不錯,，數(shù)學(xué)來源與生活又服務(wù)于生活,，數(shù)學(xué)是有用的。但有用的標(biāo)準(zhǔn)是什么,？當(dāng)初陳景潤研究哥德巴赫猜想用到的理論和方法讓很多研究數(shù)學(xué)的人也感到難以理解,，高處不勝寒，但現(xiàn)在卻成了密碼學(xué)的一個重要依據(jù)（楊樂語）,；而數(shù)學(xué)中的二進(jìn)制,，常常讓人覺得麻煩和不習(xí)慣，仿佛一種純數(shù)學(xué)的毫無用處的游戲規(guī)則,，但我們現(xiàn)在都知道,，電腦設(shè)計中離開它是一個無法想象的事。

數(shù)學(xué)是有用的,，但作為一種新的數(shù)學(xué)知識,，我們往往暫時看不到它的用處，因?yàn)閿?shù)學(xué)本身的一個特征就是它常常是領(lǐng)先于其他自然科學(xué)或社會科學(xué)的,。它有其自身的發(fā)展動力與軌跡,，如問題的產(chǎn)生，內(nèi)部的矛盾,，和諧與統(tǒng)一的追求,，方法的選擇與革新等。所以我們在強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)有用”的同時,，不能過分地被“有用”的標(biāo)準(zhǔn)所牽制,。

附：笛卡兒小傳

笛卡兒［Descartes, Rene du Perron, 1596-1650］是法國著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家,、物理學(xué)家及自然科學(xué)家,。他于1596年3月31日出生于圖倫一貴族家庭。童年就讀于拉弗萊什公學(xué)時,，因體弱多病,，被允早晨在床上讀書,，漸漸養(yǎng)成一種喜愛寧靜，擅于思考的習(xí)慣,。在校內(nèi)更結(jié)織了密友梅森,。

1612年，他到巴黎普瓦捷大學(xué)供讀法律,，四年后獲頒博士學(xué)位,，并成為律師。當(dāng)時法國社會的有志之士,，不是致力宗教,，便是獻(xiàn)身軍事，這種風(fēng)氣甚為盛行,，這驅(qū)使笛卡兒于1618年往荷蘭從軍,。服役期間，他仍對數(shù)學(xué)感興趣,。某日休息,，他在街上散步時受一荷蘭文招貼所吸引，但因不懂荷蘭文,，于是請身邊的人譯成拉丁文或法文,。恰巧這人是多特學(xué)院院長畢克門。經(jīng)此翻譯,，笛卡兒才得悉這是一張當(dāng)時數(shù)學(xué)家所下的「挑戰(zhàn)書」，廣征上列難題答案,。笛卡兒竟在數(shù)小時內(nèi)求得答案,，使畢克門大為佩服。 
   1621年,，笛卡兒脫離軍隊返法,，但適逢內(nèi)亂，于是游歷于丹麥,、德國,、意大利等地。直至1625年才返回法國,，與梅森等人一起研討數(shù)學(xué),。1628年移居荷蘭，并通過數(shù)學(xué)家梅森神父,，與歐洲主要學(xué)者保持密切聯(lián)絡(luò),。閑時更從事數(shù)學(xué)、天文學(xué),、物理學(xué),、化學(xué)及生理學(xué)等領(lǐng)域的研究,。他所有著作幾乎全是在荷蘭完成的。他的主要著作有《指導(dǎo)哲理之原則》［1628年寫成］,，以哥白尼學(xué)說為基礎(chǔ)之《論世界》［1634年完成,，但因伽利略受教會迫害而未出版］，《方法論》［1637年6月8日于萊頓匿名出版］,，《形而上學(xué)的沉思》及《哲學(xué)原理》［1644年出版］,。 
    1649年冬，他應(yīng)邀到斯德哥爾摩為瑞典女皇克利斯提娜授課,。最后,，這位以創(chuàng)立解析幾何而聞名的數(shù)學(xué)家因肺炎于1650年2月11日在當(dāng)?shù)夭∈拧?nbsp;

    笛卡兒早在讀書時期，已懷疑和反對統(tǒng)治歐洲思想界的經(jīng)院哲學(xué),。多年來的游歷與多方面的科學(xué)研究,，加上與社會各階層人士之交往及不斷的自我反思，使他堅信必須拋棄經(jīng)院哲學(xué),，探求正確思想方法,，創(chuàng)立為實(shí)踐服務(wù)的哲學(xué)，「才可成為自然的主人與統(tǒng)治者」,。他認(rèn)為數(shù)學(xué)是其它一切科學(xué)之理想與模型,，提出了以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，以演繹法為核心的方法論及認(rèn)識論,，成為西方近代哲學(xué)創(chuàng)始人之一,，對后世的哲學(xué)、數(shù)學(xué)及自然科學(xué)起了巨大作用,。而且他還一直為捍衛(wèi)他的學(xué)說而和教會及其它反對勢力抗衡,。 
    此外，他于1637年以法文寫成的《方法論》［最早的一部著作］,，附設(shè)三短論及一篇序言分別為：《折光學(xué)》,、《氣象學(xué)》、《幾何學(xué)》及《科學(xué)中正確運(yùn)用理性和追求真理的方法論》,。當(dāng)中以《幾何學(xué)》為代表作,，亦因此確立了他于數(shù)學(xué)史上之地位。這亦是他唯一的數(shù)學(xué)論著,。全書共分三卷,，內(nèi)容分析了幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)的優(yōu)劣，表示要尋求另一種包含兩者好處而沒有兩者劣處的方法,。
    在卷一中,，他把幾何問題化作代數(shù)問題，提出幾何問題的統(tǒng)一作圖法：以單位線段及線段的加,、減,、乘,、除、開方等概念,，將線段和數(shù)量聯(lián)系起來,，通過線段間的關(guān)系設(shè)立方程。 
    在卷二中,，他以這新方法解決帕普斯問題時,，在平面上以一直線為基線，為它規(guī)定一起點(diǎn)及選定與之相交的另一直線,，三項分別為x軸,，原點(diǎn)及y軸，形成一個斜坐標(biāo)系,。此時,，該平面上的任何一點(diǎn)位置均可以［x，y］唯一地表示,。帕普斯問題便化為一含兩個未知數(shù)的二次不定方程,。他指出方程的次數(shù)與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，因此可依方程的次數(shù)將曲線分類,。
   在卷三中,，他指出方程可有與它的次數(shù)一樣多的根，且提出笛兒符號法則：方程正根的最多個數(shù)等同其系數(shù)變號的次數(shù),；其負(fù)根［假根］的最多個數(shù)等同符號不變的次數(shù),。笛卡兒還以a，b,、c,，……表示已知量及x，y,，z，……表示未知量去改進(jìn)韋達(dá)所創(chuàng)的符號系統(tǒng),。

 法國數(shù)學(xué)家拉格朗日（Lagrange J.L.,1736.1.25~1813.4.10）曾經(jīng)說過：“只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣,，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄,。但是,，當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)合成伴侶時，它們就互相吸取新鮮的活力,。從那以后,，就以快速的步伐走向完善?！边@實(shí)際上是對笛卡兒在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)的一種樸素而真實(shí)的評價,。

《幾何學(xué)》提出了解析幾何學(xué)之主要思想與方法,，這標(biāo)志著解析幾何學(xué)之誕生。笛卡兒的坐標(biāo)系不同于一個一般的定理,，也不同于一段一般的數(shù)學(xué)理論,，它是一種思想方法和技藝,它使整個數(shù)學(xué)發(fā)生了嶄新的變化，它使笛卡兒成為了當(dāng)之無愧的現(xiàn)代數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人之一,。