探索：1. 當(dāng)四邊形對(duì)角線互相垂直時(shí),，中點(diǎn)四邊形為矩形,；

例1. 如圖1，E,、F,、G、H分別是四邊形ABCD四條邊的中點(diǎn),，要使EFCH為矩形,，四邊形ABCD應(yīng)該具備的條件是（    ）

A. 一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行

B. 對(duì)角線相等

C. 對(duì)角線相互垂直

D. 對(duì)角線互相平分

解：選C。

（青島2004年中考題）

證明：連結(jié)BD,，∵點(diǎn)E,、H分別是AB、AD的中點(diǎn),，∴EH是△ABD的中位線,。

∴EH∥BD，,，

同理：GF∥BD,，。

∴EH∥GF,，EH＝GF  ∴四邊形EFGH是平行四邊形,。

∵AC⊥BD，AC∥EF,，BD∥EH,，

∴EF⊥EH，即∠HEF＝90°,，

∴平行四邊形EFGH是矩形,。

2. 當(dāng)四邊形對(duì)角線相等時(shí)，中點(diǎn)四邊形為菱形,；

例2. 如圖2，在四邊形ABCD中，E,、F,、G、H分別是邊AB,、BD,、CD、DA的中點(diǎn),，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件,，使四邊形EFGH為菱形，并說明理由,。（深圳南山區(qū)2004中考題）

解：添加的條件：對(duì)角線相等

理由：連結(jié)AC,、BD，

∵在△ABC中,，AE＝BE,，BF＝CF，

∴EF為△ABC的中位線

∴,。同理可得

又∵AC＝BD（添加條件）,，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四邊形EFGH為菱形,。

說明：若添加的條件：對(duì)角線互相垂直,，那么四邊形為矩形；若添加的條件：對(duì)角線互相垂直且相等,，則四邊形為正方形,。

例3. 如圖3，四邊形ABCD中,，AC＝6,，BD＝8，且AC⊥BD,。順次連結(jié)四邊形ABCD各邊中點(diǎn),，得到四邊形；再順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn),，得到四邊形……如此進(jìn)行下去得到四邊形,。

（貴陽實(shí)驗(yàn)區(qū)2004中考題）

（1）證明：四邊形是矩形；

（2）寫出四邊形和四邊形的面積,；

（3）寫出四邊形的面積；

（4）求四邊形的周長(zhǎng),。

（1）證明：∵點(diǎn),、分別是AB,、AD的中點(diǎn),，

∴是△ABD的中位線

∴,，同理：

∴

∴四邊形是平行四邊形,。

∵AC⊥BD,，，

∴,，即,。

∴平行四邊形是矩形

（2）連結(jié)AC，∵順次連結(jié)四邊形ABCD的各邊中點(diǎn)得到四邊形

∴則

同理可得：,，

∴四邊形的面積四邊形ABCD的面積

∴四邊形的面積四邊形的面積,；

（3）依次類推得：四邊形的面積為；

（4）由（1）得矩形的長(zhǎng)為4,，寬為3；∵矩形~矩形,；

∴可設(shè)矩形的長(zhǎng)為4x,，寬為3x，則

解得∴矩形的周長(zhǎng)

說明：有關(guān)相似多邊形的知識(shí)將在今后學(xué)習(xí),。

對(duì)例3的再探索：

（1）①當(dāng)n為奇數(shù)次時(shí)，四邊形的形狀是矩形,；

②當(dāng)為偶數(shù)次時(shí),，四邊形的形狀是菱形。

（2）四邊形的面積為原四邊形ABCD的面積,；

由例3得矩形的長(zhǎng)為4,，寬為3；矩形的周長(zhǎng)

∵矩形~矩形,；

∴可設(shè)矩形的長(zhǎng)為4x,，寬為3x，則

解得：,；∴矩形的長(zhǎng),，寬

∴矩形的周長(zhǎng)

由上可知：矩形的周長(zhǎng)

同理可得：矩形的周長(zhǎng)

矩形的周長(zhǎng)……因此得：

（3）當(dāng)n為奇數(shù)次時(shí),，四邊形的形狀是矩形；其周長(zhǎng)的周長(zhǎng)

因矩形的長(zhǎng)為4,，寬為3,，由勾股定理得對(duì)角線

∴菱形的邊長(zhǎng)

則菱形的周長(zhǎng)

由矩形的長(zhǎng)為2,，寬為,，那么由勾股定理得對(duì)角線

∴菱形的邊長(zhǎng)

則菱形的周長(zhǎng)

菱形的周長(zhǎng)

菱形的周長(zhǎng)……

②∴當(dāng)n為偶數(shù)次時(shí),，四邊形的形狀是菱形,；其周長(zhǎng)的周長(zhǎng)

例4. O點(diǎn)是△ABC所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OB,、OC,，并把AB、OB,、OC、CA的中點(diǎn)D,、E,、F,、G依次連結(jié)起來，設(shè)DEFG能構(gòu)成四邊形,。

（1）如圖當(dāng)O點(diǎn)在△ABC內(nèi)時(shí),，求證：四邊形DEFG是平行四邊形。

（2）當(dāng)O點(diǎn)移動(dòng)到△ABC外時(shí),，（1）的結(jié)論是否成立,？畫出圖形并說明理由。

（3）若四邊形DEFG為矩形,，則O點(diǎn)所在位置應(yīng)滿足什么條件,，試說明理由,。

證明：（1）（2）略，請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)右圖自己寫出證明過程,。（3）若四邊形DEFG為矩形，則O點(diǎn)所在位置應(yīng)在過A點(diǎn)且垂直BC的直線上（A點(diǎn)除外）,。

理由：如圖過A點(diǎn)作BC的垂線MN交BC于K點(diǎn)。

設(shè)O點(diǎn)是MN上任意一點(diǎn)（A點(diǎn)除外）,，連結(jié)OB、OC,，由（1）得四邊形DEFG是平行四邊形。

在△ABO中,，DE∥OA，在△ABC中,，DG∥BC，AK⊥BC

∴DE⊥DG,，即∠EDG＝90°   ∴平行四邊形DEFG是矩形,。

例5. 在四邊形ABCD中,，E為邊AB上一點(diǎn)，△ADE和△BCE是等邊三角形,，AB、BC,、CD、DA的中點(diǎn)分別為P,、Q、M,、N,，求證：四邊形PQMN為菱形,。

證明：連結(jié)AC,、BD。

∵△DAE和△CEB是等邊三角形

∴△AEC≌△DEB（SAS）∴AC＝BD

又∵P,、Q、M,、N是四邊形各邊中點(diǎn)

∴（三角形中位線定理）

∴PQ＝QM＝MN＝NP,，∴四邊形PQMN為菱形,。

例6. 如果等腰梯形的兩條對(duì)角線垂直，那么它的中位線的長(zhǎng)和高相等

已知：在等腰梯形ABCD中,，MN是中位線，AE⊥BC,。

求證：MN＝AE

證明：取BC,、AD的中點(diǎn)G、H,，連結(jié)MG,、GN、NH,、HM

∴（三角形的中位線定理）∴四邊形MGNH是平行四邊形

又∵∴MG＝MH，∴MGNH是菱形

又AC⊥BD,，∴∠GMH＝90°

∴菱形MGNH是正方形，MN＝GH,，

∴AE＝MN

說明：以上的練習(xí)題中,，有中點(diǎn)，可考慮利用中位線定理,，構(gòu)造中點(diǎn)四邊形。然后運(yùn)用中點(diǎn)四邊形是平行四邊形且面積是原四邊形面積的一半的性質(zhì)進(jìn)行探索解題,。