3. Fourier變換的優(yōu)越性和局限

       用卷積分的方法描述一個系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，仍然不是很直觀,?？墒亲詮挠辛薋ourier變換后，一切都變得不一樣了,。因為在時域內(nèi)的卷積分等價于在頻域內(nèi)的相乘,。這樣，將信號和系統(tǒng)從時間域變換到頻率域后,，輸入輸出的關(guān)系就成為：輸出等于輸入和沖擊響應(yīng)的相乘（這個證明非常簡單,，通過簡單的積分變量代換就可以了，在這里就省略了）,。

        有了在頻域內(nèi)的這個關(guān)系,，我們就可以通過設(shè)計系統(tǒng)的頻率響應(yīng)達(dá)到對信號進(jìn)行處理的目的。設(shè)計的這樣的系統(tǒng),，稱為濾波器（filter）,。例如，我們需要設(shè)計一個系統(tǒng)濾除某個頻率的信號,，那么只需要設(shè)計的濾波器在頻域內(nèi)在該頻率處的響應(yīng)為零就可以了,。我們需要放大某個頻率的信號，我們只需要設(shè)計的濾波器在某個頻率處呈現(xiàn)較大的值就可以了,。在后面的學(xué)習(xí)中,，就會知道，這種設(shè)計濾波器的方法稱為“零極點配置法”,。當(dāng)然濾波器的設(shè)計遠(yuǎn)沒有這么簡單,，還需要考慮其動態(tài)特性。在你徹底了解了各個變換以后，你就會對濾波器的設(shè)計得心應(yīng)手,，隨心所欲,。

        Fourier變換的好處是將卷積分變成了相乘，使得輸入輸出關(guān)系變得很直觀（在頻域內(nèi)）,。但Fourier變換一個致命的問題是對信號有很高的要求,，要求信號必須是絕對值可積分的，否則信號的Fourier積分不存在,。即：

        很顯然,，在工程中的大多數(shù)信號是不符合這個條件的。例如電力系統(tǒng)中的電壓電流信號屬于功率有限,、能量無限的信號（簡稱功率信號,，對于功率有限信號、能量有限信號,，會在下面進(jìn)行詳細(xì)的描述）,。

        4. Laplace變換

        為了能夠讓Fourier變換有意義，Laplace想了一個很聰明的方法,，就是將信號加上一個衰減,，即將被變換的信號乘上一個衰減因子：

        這個衰減因子如圖所示

        然后再進(jìn)行Fourier變換：

        這就是著名的Laplace變換,，可見創(chuàng)新有時候也不是一件很困難的事情,。也許你靈機一動，你的大名就永垂史冊了,?？墒悄憧隙〞枺核p系數(shù)Sigma到底取多少呢？無論多少,，只要能夠令Fourier積分有意義就可以了,。所以，那些所有能夠讓信號f的fourier積分有意義的衰減因子組成的集合,，稱為收斂域,。那個剛好使得其Fourier變換沒有意義的那個衰減系數(shù)，叫收斂邊界,。因果系統(tǒng)的收斂域一定在收斂邊界的右半邊,。

        如果收斂邊界Sigma是正的，這就是說必須將信號f(t)加以衰減后,，其Fourier變換才臨界有意義,，說明f(t)本身就是發(fā)散的。反之,，如果收斂邊界是負(fù)的,，這說明將信號f(t)發(fā)散了以后，F(xiàn)ourier積分臨界存在，這說明信號本身是收斂的,。我們知道,，線性系統(tǒng)可以用沖擊響應(yīng)來表征，如果系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)是發(fā)散的,，說明系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,，反之系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。這說明,，Laplace變換不僅擴(kuò)展了Fourier變換的范圍,，而且還增加了一個功能：判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。即系統(tǒng)沖擊響應(yīng)的Laplace變換（自動控制理論中叫傳遞函數(shù)）如果其極點存在正的實根,，說明這個系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)是發(fā)散的,，即系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，反之系統(tǒng)就是穩(wěn)定的,。

        事實上,，當(dāng)你徹底了解了Fourier變換和Laplace變換的關(guān)系，并熟練掌握系統(tǒng)的Laplace反變換的時候,，我們就可以很輕松的設(shè)計模擬濾波器了,。因為，對于一個線性系統(tǒng)而言,，我們在頻域內(nèi)總可以用下面的有理多項式的分式來表征系統(tǒng),。它的反變換就是該系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)。至于如何設(shè)計模擬濾波器,，后面將會有專門的章節(jié)進(jìn)行討論,。我們在這里點到為止。

        隨著計算機技術(shù)的發(fā)展,，我們通常先將信號進(jìn)行采樣后,，變?yōu)閿?shù)字信號（或稱離散信號），我們同樣需要對數(shù)字信號進(jìn)行處理,，也需要設(shè)計數(shù)字濾波器或數(shù)字系統(tǒng)來實現(xiàn)我們的功能,。同樣道理，我們需要對其進(jìn)行頻率分析,。那么離散信號的傅里葉變換是如何定義的,，離散信號與其采樣的模擬信號之間存在一個什么關(guān)系？DTFT和DFT的區(qū)別是什么,？為什么有了離散的Fourier變換,，還需要z變換？請看下一講,。