研究系統(tǒng)的方法有兩種,，一種是根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)在關(guān)系，建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,，并根據(jù)系統(tǒng)的參數(shù),，分析輸入和輸出的關(guān)系。這種分析系統(tǒng)的方法是常規(guī)的數(shù)學(xué)模型的方法,。例如前面舉得例子,，已知RLC電路的連接以及其參數(shù)，通過(guò)建立微分方程,，可以根據(jù)系統(tǒng)的激勵(lì)（輸入）,，得到精確的輸出（響應(yīng)）。

        還有一種研究系統(tǒng)的方法,，就是并不知道系統(tǒng)內(nèi)部的具體結(jié)構(gòu)和參數(shù),，當(dāng)然也無(wú)法建立精確的數(shù)學(xué)模型，但是可以利用測(cè)量的方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行擬合,，對(duì)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行估計(jì),。比如任何一個(gè)線性系統(tǒng)，我們都可以把其頻域內(nèi)的模型當(dāng)做一個(gè)有理多項(xiàng)式分式的形式,?？梢酝ㄟ^(guò)測(cè)量系統(tǒng)的輸入和輸出，確定系統(tǒng)的參數(shù),。這種方法在工程應(yīng)用中非常普遍,。       首先，我們知道,，連續(xù)線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（沖擊響應(yīng)的拉普拉斯變換）是關(guān)于s的有理多項(xiàng)式分式的形式,。離散線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（單位脈沖響應(yīng)的z變換）是關(guān)于z的有理多項(xiàng)式分式。這是為什么呢,？

       這是因?yàn)榫€性系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)總是由指數(shù)形式的信號(hào)疊加而成的：或是時(shí)間t的指數(shù)形式衰減或發(fā)散,，或是振蕩且指數(shù)衰減或發(fā)散，或是若干振蕩且衰減（或發(fā)散）的信號(hào)的疊加：

        當(dāng)然如果是發(fā)散的,，也就是e的實(shí)指數(shù)ak和bk大于零,，那么系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

        如果用歐拉公式來(lái)表示上面的式子,，就可以表示為：

        注意,，上式中Bk和B-k互為共軛。因此,，其拉氏變換為：

        將其通分后,，就會(huì)發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是有理多項(xiàng)式分式：

         離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的z變換（傳遞函數(shù)）亦如此,。沖擊響應(yīng)采樣后就變?yōu)閱挝幻}沖響應(yīng)：

         將其進(jìn)行z變換：

        將其通分，可以看出,，離散線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是關(guān)于z的有理多項(xiàng)式分式,。

        其實(shí)，從另外一個(gè)角度看,，更簡(jiǎn)單,，因?yàn)槿魏我粋€(gè)線性系統(tǒng)都可以表達(dá)為N階微分方程（連續(xù)系統(tǒng)），或N階差分方程（離散系統(tǒng)）：

        （上式中,，x是輸入,，y是輸出）根據(jù)拉氏變換的特點(diǎn)，一階微分就是一個(gè)因子s,，上述微分方程就轉(zhuǎn)化為：

          同樣,，任意離散線性系統(tǒng)可以用差分方程描述：

          z變換后：

       但是前面的推論雖然復(fù)雜，但不難發(fā)現(xiàn)拉氏變換和z變換的極點(diǎn)其實(shí)就是系統(tǒng)沖擊響應(yīng)（單位脈沖響應(yīng)）的特征,。系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)是極點(diǎn)的指數(shù)形式線性組合而成：

        如果極點(diǎn)是復(fù)數(shù),，那么必然是成共軛對(duì)出現(xiàn)，其系數(shù)Ak也是互相共軛的,，這樣,，共軛的負(fù)指數(shù)和共軛的系數(shù)就構(gòu)成了衰減的振蕩分量：

       同樣道理，對(duì)于離散系統(tǒng)：

        很多同學(xué)看不出上式是怎么出來(lái)的,。注意到：

        這實(shí)際是誰(shuí)的z變換,？話都說(shuō)到這兒了，就請(qǐng)同學(xué)們自己思考吧,。

       知道線性系統(tǒng)是由有理多項(xiàng)式分式組成的,，那么如果已知頻域內(nèi)各個(gè)頻率下的響應(yīng)，如何擬合該系統(tǒng)呢,？如果已知線性系統(tǒng)時(shí)域內(nèi)的響應(yīng),，如何擬合該系統(tǒng)呢？前者叫系統(tǒng)的擬合,，后者叫Prony算法,。所有這些系統(tǒng)的分析方法，實(shí)際上就是一個(gè)參數(shù)估計(jì)的過(guò)程（或者叫參數(shù)辨識(shí)）,。當(dāng)然,，其實(shí)參數(shù)估計(jì)和狀態(tài)估計(jì)沒(méi)有本質(zhì)的差別，其主要差別在于估計(jì)的變量,，一個(gè)是狀態(tài),，一個(gè)是參數(shù)而已。實(shí)際上,，參數(shù)估計(jì),、回歸分析,、狀態(tài)估計(jì)等是解冗余方程的問(wèn)題。而最優(yōu)化是解決方程少于未知數(shù)個(gè)數(shù)的問(wèn)題,。實(shí)際上，參數(shù)估計(jì),、狀態(tài)估計(jì)的本質(zhì)也是一個(gè)最優(yōu)化的問(wèn)題,。他們都是另類(lèi)的求解方程。

        請(qǐng)看下一節(jié)：方程組,、最優(yōu)化問(wèn)題和參數(shù)估計(jì),、狀態(tài)估計(jì)以及回歸問(wèn)題。