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質(zhì)量的起源 (五) - 盧昌海 - 手征對(duì)稱性 SU(2)A 是量子色動(dòng)力學(xué) Lagrangian 中的 (近似) 對(duì)稱性,， 卻在現(xiàn)實(shí)世界中完全找不到對(duì)應(yīng),， 這究竟是什么原因呢？ 應(yīng)該說,， 要猜測(cè)一下是不困難的,， 因?yàn)楫?dāng)時(shí)物理學(xué)家們已經(jīng)知道對(duì)稱性可以自發(fā)破缺。 如果量子色動(dòng)力學(xué)中的手征對(duì)稱性是自發(fā)破缺的,， 顯然就會(huì)出現(xiàn)這種 Lagrangian 具有 (近似) 手征對(duì)稱性,， 現(xiàn)實(shí)世界卻不并不買賬的現(xiàn)象。 但是,， 猜測(cè)歸猜測(cè),， 要想在理論上嚴(yán)格證明這一點(diǎn)——哪怕只是在物理學(xué)而不是數(shù)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)下嚴(yán)格證明——卻是極其困難的。 有讀者可能會(huì)問： 對(duì)稱性自發(fā)破缺在電弱統(tǒng)一理論中用得好好的,， 為什么在量子色動(dòng)力學(xué)中卻變得 “極其困難” 了呢,？ 這是因?yàn)樵陔娙踅y(tǒng)一理論中對(duì)稱性自發(fā)破缺是由人為引進(jìn)的 Higgs 場(chǎng)產(chǎn)生的， 我們有一定的自由度來選擇對(duì)稱性破缺的方式,。 但量子色動(dòng)力學(xué)并不包含這種人為引進(jìn)的 Higgs 場(chǎng),， 因此， 在量子色動(dòng)力學(xué)中,， 整體 SU(2)V×SU(2)A×U(1)V 對(duì)稱性是否自發(fā)破缺,？ 如果破缺,， 是否恰好是手征部分 SU(2)A 破缺， 即破缺到 SU(2)V×U(1)V,？ 都只能由理論本身來決定,， 而不是我們可以擅自假設(shè)的， 正是這一特點(diǎn)使問題變得 “極其困難”[注一],。 更麻煩的是,， 手征對(duì)稱性的破缺——如果出現(xiàn)的話——乃是一種出現(xiàn)在量子色動(dòng)力學(xué)的強(qiáng)相互作用區(qū)域——即低能區(qū)域——的現(xiàn)象。 對(duì)于理論研究來說,， 這無疑是雪上加霜,。 另一方面， 對(duì)稱性自發(fā)破缺的存在與否及具體方式由理論本身所決定,， 雖然為量子色動(dòng)力學(xué)帶來了一個(gè) “極其困難” 的理論問題,， 同時(shí)卻也是它的一個(gè)極大的理論優(yōu)勢(shì)。 因?yàn)殡娙踅y(tǒng)一理論之所以只是對(duì)質(zhì)量起源問題的一個(gè)不盡人意的回答,， 一個(gè)很重要的原因就是 Higgs 場(chǎng)以及它與費(fèi)米場(chǎng)之間的相互作用——即 Yukawa 耦合——都是人為引進(jìn)的,， 從而都是所謂的自由參數(shù) (free parameter)。 而量子色動(dòng)力學(xué)沒有那種類型的自由參數(shù),， 因此它與觀測(cè)之間的對(duì)比更為嚴(yán)酷： 如果成功,， 將是極具預(yù)言能力的成功， 因?yàn)樽杂蓞?shù)越少,， 預(yù)言能力就越強(qiáng),； 但如果失敗， 也將是無力回天的失敗,， 因?yàn)樽杂蓞?shù)越少,， 回旋余地也就越小。 那么量子色動(dòng)力學(xué)究竟能不能實(shí)現(xiàn)從 SU(2)V×SU(2)A×U(1)V 到 SU(2)V×U(1)V 的對(duì)稱性自發(fā)破缺呢,？ 目前在理論上還是一個(gè)待解之謎,。 1979 年， 't Hooft 通過對(duì)規(guī)范理論中的反常 (anomaly) 進(jìn)行分析,， 得到了一個(gè)結(jié)果： 即如果所考慮的整體對(duì)稱性是 SU(3)V×SU(3)A×U(1)V,， 那它就必須自發(fā)破缺。 可惜的是,， 一來量子色動(dòng)力學(xué)中的 SU(3) 對(duì)稱性遠(yuǎn)比 SU(2) 對(duì)稱性粗糙,， 二來這一結(jié)果并未告訴我們具體哪一部分對(duì)稱性會(huì)自發(fā)破缺。 1980 年,， 美國(guó)物理學(xué)家 Sidney Coleman (1937-2007) 與 Edward Witten (1951-) 提出了在某些合理的物理?xiàng)l件下,， 當(dāng)色的數(shù)目 Nc 趨于無窮時(shí)， 手征對(duì)稱性必須自發(fā)破缺。 這一結(jié)果雖然抓準(zhǔn)了手征對(duì)稱性,， 但可惜量子色動(dòng)力學(xué)中色的數(shù)目 Nc 不僅不是無窮,， 而且還很小 (Nc=3)。 1984 年,， 伊朗裔美國(guó)物理學(xué)家 Cumrun Vafa (1960-) 與 Witten 證明了未被非零夸克質(zhì)量項(xiàng)所破缺的同位旋對(duì)稱性 (請(qǐng)讀者想一想,， 在現(xiàn)實(shí)世界里這一對(duì)稱性由什么群來表示？) 不會(huì)自發(fā)破缺,。 可惜這一證明雖然表明特定的同位旋對(duì)稱性不會(huì)自發(fā)破缺,， 卻未能對(duì)手征對(duì)稱性是否一定會(huì)自發(fā)破缺提供說明。 雖然上述理論研究沒有一個(gè)能夠證明量子色動(dòng)力學(xué)中的 SU(2)V×SU(2)A×U(1)V 整體對(duì)稱性必定會(huì)自發(fā)破缺到 SU(2)V×U(1)V,， 但它們都與這一破缺方式相容這一事實(shí),， 無疑還是大大增強(qiáng)了人們的信心。 在物理學(xué)上,， 嚴(yán)格證明是一種美妙的東西,， 但有時(shí)卻可望不可及,， 物理學(xué)家們的工作往往并不總是依賴于它,。 迄今為止， 雖然尚未有人能夠給出量子色動(dòng)力學(xué)中手征對(duì)稱性自發(fā)破缺的嚴(yán)格證明,， 但從這一破缺方式已經(jīng)得到的大量間接證據(jù)來看,， 它的證明應(yīng)該只是時(shí)間問題。 物理學(xué)家們更感興趣的是： 如果手征對(duì)稱性自發(fā)破缺,， 我們可以從中得到什么推論,？ 有關(guān)這一點(diǎn)， 人們做過不少細(xì)致研究,。 那些研究獲得了極大的成功,， 不僅給出了被稱為 “手征微擾理論” (chiral perturbation theory) 的描述低能量子色動(dòng)力學(xué)的所謂 “有效場(chǎng)論” (effective field theory)， 而且得到了一系列與實(shí)驗(yàn)相吻合的漂亮結(jié)果,。 這一切也反過來為手征對(duì)稱性的自發(fā)破缺提供了進(jìn)一步的間接證據(jù),。 下面我們就來看看由手征對(duì)稱性自發(fā)破缺導(dǎo)致的推論之中與質(zhì)量起源問題有密切關(guān)系的部分。 我們?cè)?第七節(jié) 中介紹過,， 對(duì)稱性自發(fā)破缺的最重要的推論之一,， 是存在無質(zhì)量的標(biāo)量粒子， 即 Goldstone 粒子,， 它們與自發(fā)破缺的對(duì)稱性所對(duì)應(yīng)的荷具有相同的宇稱及內(nèi)稟量子數(shù),。 對(duì)于手征對(duì)稱性來說， 荷是 (QA)a,， 它在時(shí)空中是一組贗標(biāo)量,， 在內(nèi)稟空間中則是一個(gè)矢量， 因此相應(yīng)的 Goldstone 粒子的宇稱為負(fù),， 同位旋則為 1,。 自然界里滿足這些特征的強(qiáng)子中質(zhì)量最輕的是 π 介子 (π-,、 π0 和 π+)。 如果手征對(duì)稱性是自發(fā)破缺的,， π 介子就應(yīng)該是這一破缺所對(duì)應(yīng)的 Goldstone 粒子[注二],。 但是， Goldstone 粒子是無質(zhì)量的,， π 介子卻是有質(zhì)量的,， 這一矛盾該如何解決呢？ 我們知道,， 在理想的對(duì)稱性自發(fā)破缺情形下,， 體系的實(shí)際真空態(tài)可以是一系列簡(jiǎn)并真空態(tài)中的任何一個(gè)。 但是,， 量子色動(dòng)力學(xué)中的手征對(duì)稱性破缺卻并非理想情形下的破缺,， 因?yàn)榱孔由珓?dòng)力學(xué)的 Lagrangian 含有手征對(duì)稱性的明顯破缺項(xiàng)——即夸克的質(zhì)量項(xiàng)。 由于這種明顯破缺項(xiàng)的存在,， 實(shí)際真空態(tài)的選取就不再是任意的了,， 明顯破缺項(xiàng)的存在將會(huì)對(duì)實(shí)際真空態(tài)起到一個(gè)選擇作用。 這就好比一根立在桌上的筷子,， 如果桌子是嚴(yán)格水平的,， 它向任何一個(gè)方向倒下都是同等可能的， 但如果桌子是傾斜的,， 它就會(huì)往傾斜度最大 (梯度最大) 的方向倒,。 用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來說 (符號(hào)的含義與 第七節(jié) 相同)， 如果 V1(φa) (a=1, ..., N) 表示對(duì)稱性的明顯破缺項(xiàng),， 那么,， 它所選出的真空態(tài)將滿足下列條件： Δa(φ) (?V1/?φa) = 0 這一條件被稱為真空取向條件 (vacuum alignment condition)。 另一方面,， 明顯破缺項(xiàng)的存在也破壞了 Goldstone 定理成立的條件,， 由此導(dǎo)致的結(jié)果是 Goldstone 粒子有可能具有非零質(zhì)量， 這樣的粒子被稱為贗 Goldstone 粒子 (pseudo-Goldstone particle),。 真空取向條件是確定贗 Goldstone 粒子質(zhì)量的重要條件,。 贗 Goldstone 粒子的出現(xiàn)消除了 π 介子的非零質(zhì)量與 Goldstone 粒子的零質(zhì)量之間的定性矛盾。 但在定量上 π 介子與贗 Goldstone 粒子的質(zhì)量是否吻合呢,？ 我們現(xiàn)在就來看一看,。 如前所述， 對(duì)于量子色動(dòng)力學(xué)中的手征對(duì)稱性來說,， 對(duì)稱性的明顯破缺項(xiàng)為質(zhì)量項(xiàng),， 它可以改寫成 (請(qǐng)讀者自行驗(yàn)證)： V1 = (1/2)(mu+md)ΨΨ + (1/2)(mu-md)(uu-dd) 其中 ΨΨ = uu+dd。 上式的特點(diǎn)是： 第一項(xiàng)只破壞手征對(duì)稱性， 第二項(xiàng)則破壞同位旋對(duì)稱性,。 研究表明,， 在這些特點(diǎn)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮到不存在同位旋對(duì)稱性的自發(fā)破缺這一限制， 可以得到贗 Goldstone 粒子的質(zhì)量為 (這一結(jié)果也可以從手征微擾理論得到)： Mπ2 = (1/2)(mu+md)<0|ΨΨ|0>/Fπ2 其中 Fπ 是一個(gè)量綱為能量的常數(shù),， 由 <0|Aμa(x)|πb(p)> = ipμFπδabe-ipx 定義,。 Fπ 被稱為 π 衰變常數(shù) (pion decay constant)， 可以由 π 介子的衰變來確定,， 原則上也可以從理論上計(jì)算出,， 其數(shù)值約為 92.4 MeV[注三]。 <0|ΨΨ|0> 是一個(gè)量綱為能量三次方的參數(shù),， 被稱為手征凝聚 (chiral condensation),， 目前人們對(duì)它的計(jì)算還比較粗略， 結(jié)果大致為 <0|ΨΨ|0>~(270 MeV)3nf,， 其中 nf 為參與凝聚的夸克種類,， 對(duì)于我們所考慮的情形 nf=2 (即只有 u 夸克和 d 夸克參與凝聚)[注四]。 mu+md 通常取為 8-9 MeV,。 由此可以得到 (請(qǐng)讀者自己計(jì)算一下)： Mπ ~ 140 MeV,。 這幾乎正好就是 π 介子的質(zhì)量 (π± 的質(zhì)量約為 140 MeV； π0 的質(zhì)量約為 135 MeV),。 當(dāng)然,， 上述估算是相當(dāng)粗略的,， 不能因?yàn)閿?shù)值上的吻合而高估它的精度,。 但結(jié)合了格點(diǎn)量子色動(dòng)力學(xué) (lattice QCD) 計(jì)算的大量更為細(xì)致的研究表明， 這種吻合并非偶然[注五],。 現(xiàn)在讓我們?cè)俅位氐街黝}——質(zhì)量的起源——上來,。 我們看到， 量子色動(dòng)力學(xué)計(jì)算出了作為贗 Goldstone 粒子的 π 介子的質(zhì)量,。 如果我們想知道 π 介子的質(zhì)量起源,， 這可以算是一種回答。 可惜的是,， 這種回答與我們?cè)? 第六節(jié) 中介紹的電磁自能具有相同的缺陷,， 那就是它正比于在理論中無法約化的外來參數(shù)： 夸克質(zhì)量。 一旦外來參數(shù)不存在 (即夸克質(zhì)量為零),， 這一回答就會(huì)失效 (因?yàn)榇鸢敢矊榱?,。 因此量子色動(dòng)力學(xué)對(duì) π 介子及其它贗 Goldstone 粒子質(zhì)量的計(jì)算雖然很漂亮， 從回答本原問題的角度看卻仍不足以令人滿意,。 但是,， 當(dāng)我們把目光轉(zhuǎn)到更復(fù)雜， 同時(shí)也更具現(xiàn)實(shí)意義的強(qiáng)子——比如質(zhì)子和中子 (以下合稱核子)——的質(zhì)量時(shí)， 卻會(huì)看到量子色動(dòng)力學(xué)的確為質(zhì)量起源問題提供了一個(gè)非常精彩的回答,。 計(jì)算核子或其它重子的質(zhì)量是一個(gè)相當(dāng)困難的低能量子色動(dòng)力學(xué)問題,， 通常的做法是利用巨型計(jì)算機(jī)進(jìn)行格點(diǎn)量子色動(dòng)力學(xué)計(jì)算。 但是,， 由于技術(shù)上的限制,， 人們?cè)谶@類格點(diǎn)量子色動(dòng)力學(xué)計(jì)算中采用的 u 夸克和 d 夸克的質(zhì)量一度要比它們的實(shí)際質(zhì)量高出 5 倍左右， 由此得到的核子質(zhì)量通常也要比實(shí)際值高出 30% 以上,。 不過近幾年,， 隨著技術(shù)的演進(jìn)， 格點(diǎn)量子色動(dòng)力學(xué)計(jì)算所采用夸克質(zhì)量已逐漸降低,， 甚至已有一些研究者開始采用實(shí)際質(zhì)量,。 另一方面， 與格點(diǎn)量子色動(dòng)力學(xué)計(jì)算中夸克質(zhì)量的 “不可承受之重” 截然相反,， 在我們前面提到的手征微擾理論中,， 夸克的質(zhì)量卻是越輕越好， 甚至最好是零,。 顯然,， 如果我們能在這兩種極端之間作某種調(diào)和， 借助手征微擾理論對(duì)格點(diǎn)量子色動(dòng)力學(xué)的計(jì)算進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐馔疲?就有可能得到更接近現(xiàn)實(shí)世界的結(jié)果,。 這正是物理學(xué)家們?cè)谟?jì)算核子質(zhì)量時(shí)采用的手段,。 這種借助手征微擾理論對(duì)格點(diǎn)量子色動(dòng)力學(xué)計(jì)算進(jìn)行外推的方法被稱為手征外推 (chiral extrapolation)。 利用手征外推得到的核子質(zhì)量為： mN = m0 - 4c1Mπ2 + O(Mπ3) 其中 m0 ≈ 880 MeV,； c1 ≈ -1 GeV-1,； Mπ2 是 π 介子的質(zhì)量平方， 如 上節(jié) 所述,， 正比于夸克質(zhì)量,。 若干更高階的項(xiàng)也已被計(jì)算出， 這里就不細(xì)述了,。 將有關(guān)數(shù)據(jù)代入這一公式,， 我們可以得到 (請(qǐng)讀者自己計(jì)算一下)： mN ≈ 954 MeV， 它與實(shí)際的核子質(zhì)量 (質(zhì)子約為 938 MeV,； 中子約為 940 MeV) 相當(dāng)接近,。 不僅如此， 系統(tǒng)的計(jì)算 (包括來自部分高階項(xiàng)的貢獻(xiàn)) 還給出了許多其它重子的質(zhì)量,， 比如： mΣ≈1192 MeV (實(shí)驗(yàn)值約為 Σ+: 1189 MeV,； Σ0: 1193 MeV； Σ-: 1197 MeV),； mΛ≈1113 MeV (實(shí)驗(yàn)值約為 1116 MeV),； mΞ≈1319 MeV (實(shí)驗(yàn)值約為 Ξ0: 1315 MeV,； Ξ-: 1321 MeV)， 都與實(shí)驗(yàn)有不錯(cuò)的吻合[注六],。 這些結(jié)果表明,， 量子色動(dòng)力學(xué)的確可以用來計(jì)算重子質(zhì)量。 那么,， 從回答本原問題的角度看,， 這些計(jì)算是否令人滿意呢？ 從上面所引的核子質(zhì)量公式中我們可以看到,， 上述核子質(zhì)量有一個(gè)不同于贗 Goldstone 粒子質(zhì)量的至關(guān)重要的特點(diǎn),， 那就是它在手征極限——即夸克質(zhì)量為零——時(shí)不為零， 而等于 m0 ≈ 880 MeV,。 這個(gè)數(shù)值約為核子質(zhì)量的 93%,， 它完全是由量子色動(dòng)力學(xué)所描述的相互作用所確定的[注七]。 這表明,， 即便不引進(jìn)任何外來的夸克質(zhì)量,， 量子色動(dòng)力學(xué)仍能給出核子質(zhì)量的絕大部分。 由于宇宙中可見物質(zhì)的質(zhì)量主要來自核子質(zhì)量,， 因此宇宙中可見物質(zhì)質(zhì)量的絕大部分都可以在不引進(jìn)夸克質(zhì)量的情況下,， 由純粹的量子色動(dòng)力學(xué)加以說明。 從這個(gè)意義上講,， 量子色動(dòng)力學(xué)為質(zhì)量起源問題提供了一個(gè)獨(dú)特而精彩的回答,。 這一回答不象電弱統(tǒng)一理論那樣帶有比所要解釋的質(zhì)量參數(shù)還要多的可調(diào)參數(shù)， 因而非常符合回答本原問題的需要,。 不過,， 由于它只能給出核子質(zhì)量的 93%， 因此我們粗略地給它打 93 分,。 在標(biāo)準(zhǔn)模型的范圍內(nèi),， 這是迄今所知的最佳回答。 93 分雖然是一個(gè)高分,， 但終究不是滿分。 為了尋找更接近滿分的答案,， 我們不得不重新回到標(biāo)準(zhǔn)模型中不能約化的那些質(zhì)量——包括使量子色動(dòng)力學(xué)丟掉 7 分的夸克質(zhì)量——上來,。 那些質(zhì)量究竟來自何方？ 究竟還能不能約化,？ 這些問題的答案——如果有的話——就只能到標(biāo)準(zhǔn)模型之外去尋找了,。
二零零七年一月二十五日寫于紐約 相關(guān)鏈接 站長(zhǎng)近期發(fā)表的作品
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