2011年高考山東理科第22題,，是一道以橢圓為背景考查定值問題,、最值問題和存在性問題的解析幾何壓軸題，重點(diǎn)考查推理運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)綜合素質(zhì),。本文筆者嘗試對(duì)該題的結(jié)論作一般化推廣,，并對(duì)其背景作深度挖掘和溯源解析，與讀者交流,。

題目 已知直線與橢圓交于兩不同點(diǎn),，且面積，其中為坐標(biāo)原點(diǎn),。（Ⅰ）證明和均為定值,；（Ⅱ）設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的最大值,；（Ⅲ）橢圓上是否存在三點(diǎn),，使得若存在判斷的形狀；若不存在,，請(qǐng)說明理由,。

 一、推廣與簡(jiǎn)解

可求得,，的最大值為,，筆者對(duì)此結(jié)論作一般化推廣可得橢圓有如下性質(zhì):

性質(zhì)  已知直線與中心為的橢圓相交于，兩點(diǎn),，

則（1）的面積最大值為,，且當(dāng)時(shí)，有,；

（2）若線段的中點(diǎn)為,，則的最大值為。

簡(jiǎn)解（1）設(shè)是直線上任意一點(diǎn),，則,，又,，因三點(diǎn)共線，所以,，所以,，此即為直線的方程。故點(diǎn)到直線的距離為,。

所以,。

點(diǎn)評(píng)  常規(guī)解法是先對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論,，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為斜截式,，與橢圓方程聯(lián)立組成方程組,，然后利用根與系關(guān)系、弦長公式和點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解,，由于涉及字母多運(yùn)算量較大解答繁瑣,。本解法運(yùn)用三點(diǎn)共線充要條件的向量表示得到直線的一般方程，首先,，避免了對(duì)斜率存在性的討論,，充分顯示了向量在解決直線問題中的特有魅力；其次,，求直線的方程與求直線的方程相比,，求解過程簡(jiǎn)單得出的方程也簡(jiǎn)單；其三,，受思維定勢(shì)影響,，習(xí)慣以為底邊以點(diǎn)到直線的距離為底邊上的高來計(jì)算的面積。本解法以追求簡(jiǎn)單為目標(biāo),，靈活選擇以為底邊以點(diǎn)到直線的距離為底邊上的高來計(jì)算的面積,，顯然運(yùn)算量小達(dá)到了以簡(jiǎn)馭繁的效果。

法1（用不等式性質(zhì)）因,，兩式相加并利用重要不等式和絕對(duì)值三角不等式得,，，

故,。當(dāng)且僅當(dāng)滿足①,，且 ②，且異號(hào)③時(shí)等號(hào)成立,。

所以,，故的面積最大其值為。

由①②得,，,，即。

法2（用橢圓參數(shù)方程）設(shè),，,，則。等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立,。不妨設(shè),，因?yàn)?/span>，所以或，所以,，故,。

（2）法1 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，所以有

,。

同樣可得,，。

故,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,。

所以的最大值為。

法2  因?yàn)?/span>

,，

所以,，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,。所以的最大值為,。

由性質(zhì)知，題設(shè)中面積為的恰好是兩點(diǎn)在橢圓上另一點(diǎn)為中心的面積最大的三角形,，可見這一條件是命題人精心設(shè)計(jì)的真可謂匠心獨(dú)運(yùn),。

二、背景溯源

下面筆者對(duì)上述性質(zhì)中的（1）再給出一個(gè)較為直觀的解法,。

當(dāng)時(shí),，則點(diǎn)為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，顯然當(dāng)點(diǎn)為長軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí),，的面積最大其值為,。

當(dāng)時(shí)，直線的方程為即,。由圖形直觀知,，要的面積最大，則橢圓在點(diǎn)處的切線必平行于直線,，設(shè)切線方程為,，因?yàn)?/span>，所以,，將其代入橢圓方程得整理得,，。

由化簡(jiǎn)得,，,，所以，故點(diǎn)到直線距離的最大值為,，故的面積最大值為,。

實(shí)際上，當(dāng)的面積取得最大值時(shí),，若直線的斜率存在,，由性質(zhì)1第一問的橢圓參數(shù)方程解法知，,，即是橢圓的兩條共軛半徑,。對(duì)于橢圓的共軛問題有如下性質(zhì)（本文僅對(duì)性質(zhì)7進(jìn)行證明）。

性質(zhì)1  經(jīng)過橢圓中心的弦叫做橢圓的直徑,，若是橢圓的一條直徑,，在橢圓上作與平行的弦，

則弦中點(diǎn)的軌跡是橢圓的一條直徑,，我們稱直徑是的共軛直徑,，與平行的任一弦叫做的共軛弦。

與兩共軛直徑分別平行的弦或半徑也共軛,。顯然,，橢圓的長軸和短軸是一對(duì)共軛直徑，任意一對(duì)長半軸和短半軸是一對(duì)共軛半徑,。

性質(zhì)2  橢圓的長軸和短軸是橢圓的唯一的一對(duì)互相垂直的共軛直徑,。

若、是橢圓的一對(duì)非互相垂直的共軛直徑,，則,。

性質(zhì)3  若是橢圓的非直徑的弦，點(diǎn)是上一點(diǎn),，直線的斜率都存在,，

且滿足，則點(diǎn)是弦的中點(diǎn),，即共軛,。

性質(zhì)4  若是橢圓的非直徑的弦，過弦中點(diǎn)的直線和的斜率都存在,，

且滿足,，則直線過橢圓的中心。

性質(zhì)5  已知是中心為的橢圓的任一弦,，則當(dāng)且僅當(dāng)半徑共軛時(shí),，

的面積最大其值為。

性質(zhì)6  已知是橢圓的任一直徑,，點(diǎn)是異于的任意一點(diǎn),，

則當(dāng)且僅當(dāng)心半徑與直徑共軛時(shí)，的面積最大其值為,。

性質(zhì)7  以橢圓的任意一對(duì)共軛直徑為對(duì)角線的四邊形的面積為定值,，

且該值即為該橢圓內(nèi)接四邊形面積的最大值,。

證明 （1）設(shè)是橢圓的一對(duì)共軛直徑，由上述定理易知,。

（2）設(shè)是橢圓的任一內(nèi)接四邊形,，連，作直徑（若為直徑,，則與重合）,，

　　再作的共軛直徑，由（1）知,。

由推論5知兩點(diǎn)到的距離之和小于或等于直徑的兩個(gè)端點(diǎn)到共軛直徑的距離之和,，又顯然有。

所以有,。

當(dāng)且僅當(dāng)且即當(dāng)四邊形的對(duì)角線是一對(duì)共軛直徑時(shí)面積最大,，其值為。

圓是我們最熟悉的圖形,，對(duì)于圓有如下概念和性質(zhì)：

（1）經(jīng)過圓心的弦叫做圓的直徑,，若是圓的一條直徑，在圓上作與平行的弦,，

則弦中點(diǎn)的軌跡是圓的一條直徑,，并且這兩條直徑互相垂直。

（2）平分弦（非直徑）的直徑必垂直于弦,。

（3）直徑的垂直平分線必過圓心,。

（4）垂直弦的直徑必平分這條弦。

（5）已知是圓心為半徑為的圓的任一弦,，則當(dāng)且僅當(dāng)半徑互相垂直時(shí),，的面積最大其值為。

（6）已知是圓心為半徑為的圓的任一直徑,，點(diǎn)是異于的任意一點(diǎn),，

則當(dāng)且僅當(dāng)心半徑與直徑垂直時(shí)，的面積最大其值為,。

（7）以半徑為的圓內(nèi)接四邊形中,，對(duì)角線為直徑且互相垂直的四邊形面積最在其值為。

由此可見,，橢圓有關(guān)共軛的諸性質(zhì)是我們耳熟能詳?shù)膱A的相應(yīng)性質(zhì)的類比和推廣,。

　　參考文獻(xiàn)

　　①鄒生書.有心圓錐曲線與直徑相關(guān)的切線性質(zhì)[J].河北理科教學(xué)研究,，2010（5）

　?、?/span>鄒生書. 由圓類比出有心曲線的幾個(gè)性質(zhì).人教網(wǎng)高中數(shù)學(xué)，2011年5月4日發(fā)表.