1.（文19）設(shè)f（x）= 2 x³ + ax ² + bx + 1的導(dǎo)數(shù)為f ′（x） ，若函數(shù)y = f ′（x）的圖象關(guān)于直線x = - 對稱,，且f ′（1）= 0.

（1）求實(shí)數(shù)a,、b的值；

（2）求函數(shù)f（x）的極值.

【參考答案】

（1）因?yàn)?/span>f（x）= 2 x³ + ax ² + bx + 1,，故f ′（x）= 6x² + 2ax + b.

從而f ′（x）= 6 ,，即f ′（x）關(guān)于直線x = -對稱，

從而由題設(shè)條件知 -= -,，解得a = 3.

又由于f ′（1）= 0,，即6 + 2a + b = 0，解得b = - 12.

（2）由（1）知f（x）= 2 x³ + 3x ² - 12x + 1,，f（x）= 6 x² + 6x -12 = 6（x + 2）（x - 1）.

     令f ′（x）= 0,，即6（x + 1）（x - 2）= 0,，解得x₁ = -2，x₂ = 1.

     當(dāng)x∈（-∞,，-2）時,，f ′（x）＞0，故f（x）在（-∞,，-2）上為增函數(shù),；

     當(dāng)x∈（-2,1）時，f ′（x）＜0. 故f（x）在（-2,，1）上為減函數(shù),；

當(dāng)x∈（1, +∞）時，f ′（x）＞0,，故f（x）在（1, +∞）上為增函數(shù).

從而函數(shù)f（x）在x₁ = -2處取得極大值f（-2）= 21,，在x₂ = 1處取得極小值f（1）= -6.

·巧思·

① 利用“曲線y = f ′（x）關(guān)于直線x += 0對稱”“f ′（x）中x ² 與x的系數(shù)相同”，以及“f ′（1）= 0”

“f ′（x）含有因式（x -1）”,，立即可得a,、b的值。

② 將f（x）化為2（x - c）²（x - d）+ m的形式,，根據(jù)極值的定義可知,，若c＜d，則f（c）= m為f（x）的極大值,；若c＞d,，則f（c）= m為f（x）的極小值。

·妙解·

（1）題設(shè)f ′（x）= 6x² + 2ax + b = 6（x² + x -2）a = 3, b = -12.

（2）f（x）= 2 x³ + 3x² - 12x + 1 =（x + 2）²（2x - 5）+ 21 =（x -1）²（2x + 7）- 6

 f（x）_max =  f（-2）= 21,，f（x）_min = f（1）= - 6.

【評注】

① 先將f ′（x）由一般式化為“頂點(diǎn)式”,，后與題設(shè)條件對照，是“由簡變繁”,；而改為先將f ′（x）由條件決定的“頂點(diǎn)式”還原成一般式,,，后與原式對照，則是“化繁為簡”,，且縮減不少過程,。

② 利用定義解題，是“返璞歸真,、回歸自然”,，可使學(xué)生進(jìn)一步理解“極值”的含義。

③ 將f（x）變形的方法： 2 x³ + 3x² - 12x + 1 =（x - c）²（2x - d）+ m =2x ³ -（4c + d）x ² +（2cd + 2c²）x + n

  4c + d = -3,，2cd + 2c² = -12c = - 2,，d = 5, m = 21或c = 1， d = - 7,，m = - 6,。

2.（理20）橢圓的中心為原點(diǎn)O,，離心率e =,一條準(zhǔn)線的方程為x = 2.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)動點(diǎn)P滿足： ,其中M, N是橢圓上的點(diǎn),，直線OM與ON的斜率之積為 -,，問：是否存在兩個定點(diǎn)F₁、F₂,，使得∣PF₁∣+∣PF₂∣為定值,？若存在，求F₁,、F₂的坐標(biāo)；若不存在,，說明理由.

【參考答案】

（1）…….

（2）設(shè)P（x,，y），M（x₁,，y₁）,，N（x₂，y₂）,，則由得

（x,，y）=（x₁，y₁）+ 2（x₂,，y₂）=（x₁ + 2x₂,，y₁ + 2y₂），即x = x₁ + 2x₂,，y = y₁ + 2 y₂.

因?yàn)辄c(diǎn)M, N在橢圓x² + 2y² = 4上,，所以+ 2= 4，+ 2= 4,

故x² + 2y² =（+ 4+ 4 x₁ x₂）+ 2（+ 4+ 4 y₁ y₂）

=（+ 2）+ 4（+ 2）+ 4（x₁ x₂ + 2 y₁ y₂）= 20 + 4（x₁ x₂ + 2 y₁ y₂）.

設(shè)k_OM,、k_ON分別是直線OM,、ON的斜率，由題設(shè)條件知

k_OM·k_ON = = -,，因此x₁ x₂ + 2 y₁ y₂ = 0,，所以x² + 2y² = 20.

所以P點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn).

設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁,、F₂,，則由橢圓的定義知∣PF₁∣+∣PF₂∣為定值.

又因?yàn)?/span>c =，因此兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F₁（-,，0）,，F₂（，0）.

·巧思·

① 將對x² + 2y²的表達(dá)式進(jìn)行變形（得到20）,，改為對x²的表達(dá)式進(jìn)行變形（得到20 - 2y²）,，更加自然,。

② 將式子k_OM·k_ON = = -的出現(xiàn)放在前面，便顯得證明過程似“順流直下”,，而不是“停停頓頓”,。

·妙解·

設(shè)P（x₀，y₀）,，M（x₁,，y₁），N（x₂,，y₂）,，則題設(shè)+ 2 = + 2 = 4,

k_OM·k_ON = = -，且（x₀,，y₀）=（x₁ + 2x₂,，y₁ + 2y₂）

  =（x₁ + 2x₂）² =+ 4x₁ x₂ + 4 =（4 - 2）- 8 y₁ y₂ +（4 - 2）

= 20 -2（y₁ + 2 y₂）² = 20 - 2點(diǎn)P在橢圓上

存在點(diǎn)F₁（-，0）,，F₂（,，0）滿足要求.

【評注】

① 正如在橢圓問題中，a,、b,、c就表示橢圓的半長軸、半短軸和半焦距,，而無須另加說明,，同樣，k_OM,、k_ON就已表示直線OM,、ON的斜率，也無須再“設(shè)k_OM,、k_ON分別是直線OM,、ON的斜率”。

②“參考答案”實(shí)際是“標(biāo)準(zhǔn)答案”,，是為以后的教師教學(xué)和考生解題做示范的,。因此，“參考答案”就應(yīng)當(dāng)考慮到考生的考試時間非常有限的問題,，用盡可能簡潔的語句,、作盡可能簡短的表述。

3.（文21）橢圓的中心為原點(diǎn)O,，離心率e =,一條準(zhǔn)線的方程為x = 2.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,；

（2）設(shè)動點(diǎn)P滿足： ,其中M，N是橢圓上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為 -,，問：是否存在定點(diǎn)F,，使得∣PF∣與點(diǎn)P到直線l：x=2的距離之比為定值？若存在,，求F的坐標(biāo),；若不存在，說明理由.

【參考答案】

（1）…….

（2）設(shè)P（x,，y）,，M（x₁，y₁）,，N（x₂,，y₂），則由得

（x,，y）=（x₁,，y₁）+ 2（x₂，y₂）=（x₁ + 2x₂,，y₁ + 2y₂），即x = x₁ + 2x₂,，y = y₁ + 2 y₂.

因?yàn)辄c(diǎn)M, N在橢圓x² + 2y² = 4上,，所以+ 2= 4,+ 2= 4,

故x² + 2y² =（+ 4+ 4 x₁ x₂）+ 2（+ 4+ 4 y₁ y₂）

=（+ 2）+ 4（+ 2）+ 4（x₁ x₂ + 2 y₁ y₂）= 20 + 4（x₁ x₂ + 2 y₁ y₂）.

設(shè)k_OM、k_ON分別是直線OM,、ON的斜率,，由題設(shè)條件知

k_OM·k_ON = = -，因此x₁ x₂ + 2 y₁ y₂ = 0,，所以x² + 2y² = 20.

所以P點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn). 該橢圓的右焦點(diǎn)為F（,，0），

離心率e =,直線l：x=2是該橢圓的右準(zhǔn)線. 故根據(jù)橢圓的第二定義,，

存在點(diǎn)F（,，0），使得∣PF∣與點(diǎn)P到直線l：x = 2的距離之比為定值.

·巧思·

① 將對x² + 2y²的表達(dá)式進(jìn)行變形（得到20）,，改為對x²的表達(dá)式進(jìn)行變形（得到20 - 2y²）,，更加自然。

② 將式子k_OM·k_ON = = -的出現(xiàn)放在前面,，便顯得證明過程“順流直下”,，而不是“停停頓頓”。

·妙解·

設(shè)P（x₀,，y₀）,，M（x₁，y₁），N（x₂,，y₂）,，則題設(shè)+ 2 = + 2 = 4,

k_OM·k_ON = = -,且（x₀，y₀）=（x₁ + 2x₂,，y₁ + 2y₂）

  =（x₁ + 2x₂）² =+ 4x₁ x₂ + 4 =（4 - 2）- 8 y₁ y₂ +（4 - 2）

= 20 -2（y₁ + 2 y₂）² = 20 -2點(diǎn)P在橢圓上,，

直線l是該橢圓的右準(zhǔn)線，而右焦點(diǎn)F（,，0）滿足要求.

【評注】

① 正如在橢圓問題中,，a、b,、c就表示橢圓的半長軸,、半短軸和半焦距，而無須另加說明,，同樣,，k_OM、k_ON就已表示直線OM,、ON的斜率,，也無須再“設(shè)k_OM、k_ON分別是直線OM,、ON的斜率”,。

②“參考答案”實(shí)際是“標(biāo)準(zhǔn)答案”，是為以后的教師教學(xué)和考生解題做示范的,。因此,，“參考答案”就應(yīng)當(dāng)考慮到考生的考試時間非常有限的問題，要用盡可能簡潔的語句,，作盡可能簡短的表述,。

4.（理21）設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列｛a_n｝的前n項和S_n滿足S_{n + 1} = a_{n + 1}S_n（n∈N﹡）.

（1）若a₁ ，S₂ ,，-2a₂成等比數(shù)列,，求S₂和a₃ ；

（2）求證：對k≥3有0≤a_{k + 1}≤a_k ≤.

【參考答案】

（1）…… S₂ = -2 … a₃ = .

（2）證法1：由題設(shè)條件有S_n + a_{n + 1} = a_{n + 1} S_n ,，故

S_n ≠1,，a_{n + 1}≠1，且a_{n + 1} = ,，S_n =,，從而對k≥3有

a_k ====.①

因- a_{k - 1} + 1 =+ ＞0且≥0，故由①得a_k≥0.

要證a_k ≤,，由①只要證≤,，即證3≤4（- a_{k - 1} + 1），

即（ - 2）²≥0，此式明顯成立.因此a_k ≤（k≥3）.

最后證a_{k + 1}≤a_k .若不然,，a_{k + 1} =＞a_k ,，又因a_k≥0 ，

故＞1,，即（a_k -1）²＜0,，矛盾. 因此a_{k + 1}≤a_k（k≥3）.

證法2：由題設(shè)知S_{n + 1} = S_n + a_{n + 1} = a_{n + 1}S_n ，

故方程x² - S_{n + 1} x + S_{n + 1} = 0有根S_n 和 a_{n + 1}（可能相同）.

因此判別式⊿ =-4S_{n + 1}≥0.

又由S_{n + 2} = S_{n + 1} + a_{n + 2} = a_{n + 2} S_{n + 1}得a_{n + 2}≠1且S_{n + 1} =.

因此 - ≥0,，即3- 4a_{n + 2}≤0,

解得0≤a_{n + 2}≤,，因此0≤a_k≤（k≥3）.由a_k =≥0（k≥3）得

a_{k + 1} - a_k =- a_k = a_k= a_k

= -= -≤0，因此a_{k + 1}≤a_k（k≥3）.

·巧思·

① 將S_{n + 1} = a_{n + 1}S_n 中的a_{n + 1}代換成S_{n + 1} - S_n ,，便得S_{n + 1} 與S_n 的兩種形式的關(guān)系式：（S_n -1）S_{n +1}= S_n²和（s_{n + 1} - 1）（S_n - 1）= S_n² - S_n + 1,，便減少了分式的出現(xiàn)，更避免了繁分式的出現(xiàn),。

② 將化為,，便知0≤a_k ≤。如此,，則不僅將證明a_k ≥0和證明a_k ≤“兩步合為一步”,，避免了出現(xiàn)繁分?jǐn)?shù)，而且使得的“產(chǎn)生”顯得“自然而然”,。

③ 利用“a_{n + 1}≥0S_n≤S_{n + 1}”,“（s_{n + 1} - 1）（S_n - 1）= S_n² - S_n + 1＞0”,“a_{n + 1} - 1 =”,，以及一個常用經(jīng)驗(yàn)不等式“xy＞0, x≥y≤”，便可證明“a_{n + 3}≤a_{n + 2}”,，且書寫較簡潔。

·妙解·

a_{n + 1} + S_n = S_{n + 1} = a_{n + 1}S_n =（S_{n + 1} - S_n ）S_n S_n ≠1,，a_{n + 1} =,，（S_n -1）S_{n +1}= S_n² ，

且4（s_{n + 1} - 1）（S_n - 1）= 4（S_n² - S_n + 1）= 3S_n² +（S_n - 2）² ＞0

a_{n + 2} =  ==0≤a_{n + 2}≤S_{n + 1}≤S_{n +}

S_{n + 1}-1≤S_{n + 2}-1a_{n + 3} -1 =≤ = a_{n + 2} k≥3時,，0≤a_{k + 1}≤a_k ≤.

【評注】

① S_{n + 1} = S_n + a_{n + 1},、S_n = S_{n + 1} - a_{n + 1}、a_{n + 1} = S_{n + 1} - S_n三個關(guān)系式是等價的,，應(yīng)熟練掌握,、靈活運(yùn)用。

② 繁分?jǐn)?shù),、繁分式書寫麻煩且“很不美觀”,，解題過程中應(yīng)盡量少使用，能避免出現(xiàn)則盡量避免出現(xiàn),。

③ 除了基本公式和基本平均不等式外,，掌握一些經(jīng)驗(yàn)公式和經(jīng)驗(yàn)不等式，可為解題帶來很大的方便。

【小結(jié)】

① 數(shù)學(xué)是美的,，“簡潔美”是其中之一,，也是主要的數(shù)學(xué)美，解決數(shù)學(xué)問題應(yīng)當(dāng)——力求簡明,、簡便,、簡潔、簡單,，力求創(chuàng)優(yōu)創(chuàng)新,、盡善盡美。亦即：應(yīng)當(dāng)努力——探求盡可能簡明的思路,、盡可能簡便的解法,，探求盡可能簡潔的語句、盡可能簡單的表述,。

② 如果某個問題的解答過程較復(fù)雜,、步驟較冗長，我們就要思考：這個解法算得上“較好”嗎,？“很好”嗎,？“極好”嗎？還能夠“改變”嗎,？“改造”嗎,？“改進(jìn)”嗎？亦即：教師傳給學(xué)生的知識,，不僅應(yīng)當(dāng)確保是“正品”,，而且還應(yīng)當(dāng)是“精品”、“極品”,。

③ 如同長跑比賽不僅比耐力,、而且比速度一樣，數(shù)學(xué)高考不僅測驗(yàn)“會不會”,，而且測驗(yàn)“好不好”,、“快不快”：看你能否在很短時間內(nèi)順利地完成答卷。因此,，探求“巧思妙解”就不僅僅是理論上的需要,，而且還更是實(shí)際實(shí)在的需要、迫切急切的需要,。

④“數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)”（單墫）,。思緒明朗、思路開闊,、思想活躍,、思維科學(xué)了,，問題就能迎刃而解；反之則猶豫不決,、迷惑不解,。因此，數(shù)學(xué)教育者先教育思維的拓展,，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者先學(xué)習(xí)思維的拓展,，就當(dāng)然是“十分必要、極其重要,、非常緊要”的,。

注：作者系退休機(jī)關(guān)干部、中學(xué)數(shù)學(xué)教師.