已知△ABC是等邊三角形,，點P是AC上一點,，PE⊥BC于點E，交AB于點F,，在CB的延長線上截取BD=PA,，PD交AB于點I，PA=nPC．
（1）如圖1,，若n=1,，則

EB

BD

= ，

FI

ED

= ,；
（2）如圖2,，若∠EPD=60°，試求n和

FI

ED

的值,；
（3）如圖3,，若點P在AC邊的延長線上，且n=3,，其他條件不變,，則

EB

BD

= ．（只寫答案不寫過程）
 

分析：（1）①由題意，在直角△BEF中,，∠F=30°,，則BE=

1

2

BF，又由∠BAC=∠F+∠APF=60°,，可得AF=AP=BD=

1

2

AB,，BD=

1

3

BF，即可得出,；②如圖一，作PG∥BC,，IH∥BC,，可得IH=

1

2

FI，易證△PGI≌△DBI,，則DI=PI,，在△PDE中，IH是中位線,，可得IH=

1

2

DE,，即可得出；
（2）連BP,，且過P作PM⊥AB于M,，過P點作PN∥BC交AB于N，可得ANP為等邊三角形,，△PNI≌△DBI（AAS）,，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì),，可得BI=BD，即

1

2

a=an,，即可得出n的值,；在△AMP中可得AM=

1

2

an，BM=BE=a+an-

1

2

an=a+

1

2

an,，BE=a+an-

1

2

a=

1

2

a+an,，由∠EPC=∠APF=30°，而∠CAF=120°,，∠F=30°,，則AF=AP=an，F(xiàn)I=2an+

1

2

a,，即可求出,；
（3）根據(jù)（1）的推理原理，即可推出結(jié)果．

解答：解：（1）①∵等邊三角形ABC,，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,，AB=AC=BC，
∵EF⊥BC,，
∴在直角△BEF中,，∠F=30°，
∴BE=

1

2

BF,，
∵PA=nPC,，n=1，
∴2PA=AB,，
又∵∠BAC=∠F+∠APF=60°,，
∴AF=AP=BD=

1

2

AB，
∴BD=

1

3

BF,，
∵BE=

1

2

BF,，
∴

EB

BD

=

3

2

；
②如圖1,，作PG∥BC,，IH∥BC，
∴IH=

1

2

FI,，
易證△PGI≌△DBI,，則DI=PI，
∴在△PDE中,，IH是中位線,，
∴IH=

1

2

DE，
∴

FI

ED

=1；
故答案為：

3

2

,；1．

（2）如圖2,，設(shè)PC=a，則PA=an,；連BP,，且過P作PM⊥AB于M；
過P點作PN∥BC交AB于N,，
可判斷ANP為等邊三角形,，
所以AP=PN=AN，
∴△PNI≌△DBI（AAS）,，
∴IB=

1

2

a,，
又∵∠PED=90°，
∴∠D=∠BID=30°,，
∴BI=BD,，即

1

2

a=an，
∴n=

1

2

,，
在△AMP中可得AM=

1

2

an,，
∴BM=a+an-

1

2

an=a+

1

2

an，
BE=a+an-

1

2

a=

1

2

a+an,，
又∵DB=PA,，
∴DE=

1

2

a+an+an=2an+

1

2

a，
又∵∠EPC=∠APF=30°,，
而∠CAF=120°,，∠F=30°，
∴AF=AP=an,，
∴FI=2an+

1

2

a,，
∴

FI

ED

=

2an+ 1 2 a

2an+ 1 2 a

=1；

（3）∵等邊三角形ABC,，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,，AB=AC=BC，
∵EF⊥BC,，
∴在直角△BEF中,，∠F=30°,，
∴BE=

1

2

BF,，
∵PA=nPC，n=3,，
∴PA=

2

3

AB,，
又∵∠BAC=∠F+∠APF=60°，
∴AF=AP=BD=

2

3

AB，
∴BD=

5

3

BF,，
∵BE=

1

2

BF,，
∴

EB

BD

=

5

6

．
故答案為：

5

6

點評：本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì),，關(guān)鍵在于推出BD=

1

2

AB,，BD=

1

3

BF；推出相關(guān)三角形全等．