（2013·資陽）如圖,，已知直線l分別與x軸,、y軸交于A，B兩點(diǎn),，與雙曲線y=

a

x

（a≠0,，x＞0）分別交于D、E兩點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4,，1）,，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，4）：
①分別求出直線l與雙曲線的解析式,；
②若將直線l向下平移m（m＞0）個(gè)單位,，當(dāng)m為何值時(shí)，直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn),？
（2）假設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a,，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,，b）,，點(diǎn)D為線段AB的n等分點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出b的值．

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題．

分析：（1）①運(yùn)用待定系數(shù)法可分別得到直線l與雙曲線的解析式,；
②直線l向下平移m（m＞0）個(gè)單位得到y(tǒng)=-x=5-m,，根據(jù)題意得方程組

y＝ 4 x y＝?x+5?m

只有一組解時(shí)，化為關(guān)于x的方程得x²+（m-5）x+4=0,，則△=（m-5）²-4×4=0,，解得m₁=1，m₂=9,，當(dāng)m=9時(shí),，公共點(diǎn)不在第一象限，所以m=1,；
（2）作DF⊥x軸,，由DF∥OB得到△ADF∽△ABO，根據(jù)相似比可得到AF=

a

n

,，DF=

b

n

,，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（a-

a

n

,，

b

n

），然后把D點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中即可得到b的值．

解答：解：（1）①把D（4,，1）代入y=

a

x

得a=1×4=4,，
所以反比例函數(shù)解析式為y=

4

x

（x＞0）；
設(shè)直線l的解析式為y=kx+t,，
把D（4,，1），E（1,，4）代入得

4k+t＝1 k+t＝4

,，
解得

k＝?1 t＝5

．
所以直線l的解析式為y=-x+5；
②直線l向下平移m（m＞0）個(gè)單位得到y(tǒng)=-x+5-m,，
當(dāng)方程組

y＝ 4 x y＝?x+5?m

只有一組解時(shí)，直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn),，
化為關(guān)于x的方程得x²+（m-5）x+4=0,，
△=（m-5）²-4×4=0，解得m₁=1,，m₂=9,，
而m=9時(shí)，解得x=-2,，故舍去,，
所以當(dāng)m=1時(shí)，直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn),；

（2）作DF⊥x軸,，如圖，
∵點(diǎn)D為線段AB的n等分點(diǎn),，
∴DA：AB=1：n,，
∵DF∥OB，
∴△ADF∽△ABO,，
∴

AF

AO

=

DF

BO

=

AD

AB

,，即

AF

a

=

DF

b

=

1

n

，
∴AF=

a

n

,，DF=

b

n

,，
∴OF=a-

a

n

，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（a-

a

n

,，

b

n

）,，
把D（a-

a

n

，

b

n

）代入y=

a

x

得（a-

a

n

）·

b

n

=a,，