最近的工作中接觸了一些開關(guān)電容電源變換器（電荷泵）的內(nèi)容，在翻閱一些論文之后,，感覺還是Michael. Douglas. Seeman 在他的論文中介紹的分析方法比較清楚,，這里把里面的charge-multiplier-vector 方法在0.5x電荷泵上做一些分析和簡單的驗證。

下圖所示為基本的0.5x 電荷泵,，在phase 1：開關(guān)S1, S3 閉合,，S2和S4 斷開, 電容Cf ( flying capacitor ) 和輸出電容 Co 串聯(lián)接到輸入電壓源; 在phase 2：開關(guān) S2, S4 閉合，S1 和 S3 斷開, Cf 與Co并聯(lián)到輸出.

對上面的電路,，通過簡單地分析（考慮穩(wěn)態(tài)時沒有凈電荷傳輸）可以得到這一電荷泵的本征增益(Vout/Vin)：q=1/2. 對于理論上的最大效率,，考慮系統(tǒng)在沒有負載時的能量守恒，且能量正比于V*Q, 因此可以得到Vout/Vin=Qin/Qout=q.
考慮到 Pin=Qin*Vin*fs 以及 Pout=Qout*Vout*fs=(Qin/q)*Vout*fs. 因此電路的效率：
η=Pout/Pin=Vout/(q*Vin).
在此處,，若取Vout=1.2v, q=0.5, Vin=3.3, 可以得到最大的效率約為72.7%.

考慮到Vout/Vin=Qin/Qout (電荷Q也可以表示等效的電流）,，因此我們可以考慮采用變壓器的模型來表征電荷泵的特性,，同時以一個等效的輸出電阻來模擬負載電流的影響，如下圖所示：

這里的主要問題是如何考慮Rout,，也有很多論文有不同的分析. Michael. Douglas. Seeman 在他的‘Analytical and Practical Analysis of Switched-Capacitor DC-DC Converters’ 這篇文章（以及之后的博士論文）中提出了一種基于charge-multiplier-vector 的統(tǒng)一的分析方法. 下面我們就利用這種方法來對上面的電路做些分析,。

首先, 為了得到電容的電荷倍乘向量，我們將電荷泵在兩個相位下的電路重新繪制于下,。（注意,，由于這里的輸出電容Co始終接到輸出，因此在這里的電路中略去）

從上面的電路,，我們可以得到 q_out =2q_in , 因此可以得到電容的電荷倍乘向量 a_c :

而對于開關(guān)的電荷倍乘向量, 也可通過下面的電路加以分析,。

由類似的分析, 得到開關(guān)的電荷倍乘向量 a_r :

下面，我們可以計算得到在SSL (Slow Switching Limit) 和FSL (Fast Switching Limit)下的Rout.

考慮 50% 的占空比（duty cycle）, R_FSL 也可以寫為 :

若 R₁=R₂=R₃=R₄=Ron, 則 R_FSL=2Ron, 因此:

對于上面推導(dǎo)的結(jié)果,，我們也可以做一些直觀的分析：

首先, 對 SSL (slow switching limit), 電容的充放電的時間常數(shù)遠小于開關(guān)周期,，我們可以認為電荷在瞬間完成傳輸。

在 phase 1, C_F 充電得到的電荷 Q=C_F(Vin-2Vout), 注意這一電荷同樣也流到輸出（由KCL）; 在 phase 2, 電容 C_F 上的電荷對輸出放電． 因此在一周期內(nèi)流入到輸出端的總電荷為 I_L*Ts=2Q, 通過這兩個方程,，我們可以到到如前面計算的 R_SSL .

其次,，對于FSL (fast switching limit), 電容的充放電的時間常數(shù)遠大于開關(guān)周期, 因此充放電電流可以認為恒定．同時考慮系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)，假設(shè)電容 C_F 上的電壓為Vc

在 phase 1, 電容充電電流 I₁=(Vin-Vout-Vc)/(R₁+R₃); 在phase 2, 電容放電電流 I₂=(Vc-Vout)/(R₂+R₄). 考慮到周期開始和結(jié)束時電容C_F上沒有凈的電荷改變,，因此D₁I₁=D₂I₂, 并且流到輸出的總電荷為： I_L*Ts=I₁D₁Ts+I₂D₂Ts.  聯(lián)合這些方程并消去Vc, 可以得到與之前一樣的R_FSL 的表達式

下面我們可以通過一些仿真來對上面的結(jié)果加以驗證,。

對SSL, 考慮下面的電路參數(shù):

Ron=1 Ohm, C_F=25 nF, Co=2 uF, fs=500 kHz (RonC_F <<Ts)

對 Vin=3.3v, I_L=20mA, 計算得到的 Vout 約為 1.25v,  R_SSL=20 Ohm. 我們可以看到與下面瞬態(tài)和PAC仿真得到的結(jié)果一致

對 FSL, 考慮下面的電路參數(shù):

Ron=10 Ohm, C_F=1 uF, Co=10 uF, fs=1 MHz (RonC_F >>Ts)

對 Vin=3.3v, I_L=20mA, 計算得到的 Vout 約為 1.25v,  R_SSL=20 Ohm. 同樣我們可以看到與下面瞬態(tài)和PAC仿真得到的結(jié)果一致

最后，對于具體考慮將charge-pump工作在SSL還是FSL,，可以由不同的調(diào)整（regulation）方式來決定,，例如在SSL中可以采用調(diào)頻的方式，而FSL中可以調(diào)整開關(guān)的等效電阻,。另一個關(guān)于SSL和FSL的選擇是關(guān)于面積的考慮（假設(shè)開關(guān)占據(jù)了主要的面積）,，我們可以具體計算SSL和FSL對于開關(guān)電阻的要求，從而決定SSL還是FSL的工作模式,。

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