一,、特殊的平行四邊形
1.矩形：
（1）定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形。
（2）性質(zhì)：矩形的四個(gè)角都是直角,；矩形的對(duì)角線平分且相等,。
（3）判定定理：
①有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。 ②對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形,。  ③有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形,。
直角三角形的性質(zhì)：直角三角形中所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。
2.菱形：
（1）定義 ：鄰邊相等的平行四邊形,。
（2）性質(zhì)：菱形的四條邊都相等,；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角,。 
（3）判定定理：
①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形,。
②對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
③四條邊相等的四邊形是菱形,。
（4）面積：
      
3.正方形：
（1）定義：一個(gè)角是直角的菱形或鄰邊相等的矩形,。
（2）性質(zhì)：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角,，對(duì)角線互相垂直平分,。 正方形既是矩形，又是菱形,。
（3）正方形判定定理：
①對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形,；
②一組鄰邊相等，一個(gè)角為直角的平行四邊形是正方形,；
③對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形,；
④鄰邊相等的矩形是正方形
⑤有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；
⑥對(duì)角線相等的菱形是正方形,。
二,、矩形、菱形,、正方形與平行四邊形,、四邊形之間的聯(lián)系：
1.矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四邊形，其性質(zhì)都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上擴(kuò)充來(lái)的,。矩形是由平行四邊形增加“一個(gè)角為90°”的條件得到的,，它在角和對(duì)角線方面具有比平行四邊形更多的特性；菱形是由平行四邊形增加“一組鄰邊相等”的條件得到的,，它在邊和對(duì)角線方面具有比平行四邊形更多的特性,；正方形是由平行四邊形增加“一組鄰邊相等”和“一個(gè)角為90°”兩個(gè)條件得到的，它在邊,、角和對(duì)角線方面都具有比平行四邊形更多的特性,。
2.矩形、菱形的判定可以根據(jù)出發(fā)點(diǎn)不同而分成兩類：一類是以四邊形為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行判定,，另一類是以平行四邊形為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行判定,。而正方形除了上述兩個(gè)出發(fā)點(diǎn)外，還可以從矩形和菱形出發(fā)進(jìn)行判定,。
三,、判定一個(gè)四邊形是特殊四邊形的步驟：

 

（1）利用菱形、矩形,、正方形的性質(zhì)進(jìn)行邊,、角以及面積等計(jì)算；
（2）靈活運(yùn)用判定定理證明一個(gè)四邊形（或平行四邊形）是菱形,、矩形,、正方形；
（3）一些折疊問(wèn)題,；
（4）矩形與直角三角形和等腰三角形有著密切聯(lián)系,、正方形與等腰直角三角形也有著密切聯(lián)系。所以,，以此為背景可以設(shè)置許多考題,。
 

（1）平行四邊形的所有性質(zhì)矩形、菱形,、正方形都具有,，但矩形、菱形,、正方形具有的性質(zhì)平行四邊形不一定具有,，這點(diǎn)易出現(xiàn)混淆；
（2）矩形,、菱形具有的性質(zhì)正方形都具有,，而正方形具有的性質(zhì)，矩形不一定具有,，菱形也不一定具有,，這點(diǎn)也易出現(xiàn)混淆,；
（3）不能正確的理解和運(yùn)用判定定理進(jìn)行證明，（如在證明菱形時(shí),，把四條邊相等的四邊形是菱形誤解成兩組鄰邊相等的四邊形是菱形）,；（3）再利用對(duì)角線長(zhǎng)度求菱形的面積時(shí)，忘記乘,；（3）判定一個(gè)四邊形是特殊的平行四邊形的條件不充分,。
【典型例題】（2010天門、潛江,、仙桃）正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線DB的中點(diǎn),，點(diǎn)P是DB所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.
  (1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)(如圖①),，猜測(cè)AP與EF的數(shù)量及位置關(guān)系,，并證明你的結(jié)論；
  (2)當(dāng)點(diǎn)P在線段DB上 (不與點(diǎn)D,、O,、B重合)時(shí)(如圖②)，探究(1)中的結(jié)論是否成立,？若成立,，寫出證明過(guò)程；若不成立,，請(qǐng)說(shuō)明理由,；
  (3)當(dāng)點(diǎn)P在DB的長(zhǎng)延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)將圖③補(bǔ)充完整,，并判斷(1)中的結(jié)論是否成立,？若成立，直接寫出結(jié)論,；若不成立,，請(qǐng)寫出相應(yīng)的結(jié)論.
 
 
【解析】（1）AP=EF，AP⊥EF,，理由如下： 
連接AC,，則AC必過(guò)點(diǎn)O，延長(zhǎng)FO交AB于M,；
∵OF⊥CD,，OE⊥BC，且四邊形ABCD是正方形,，
∴四邊形OECF是正方形,，
∴OM=OF=OE=AM，
∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°,，
∴△AMO≌△FOE,，
∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°,，即OC⊥EF,，
故AP=EF，且AP⊥EF.
（2）題（1）的結(jié)論仍然成立,，理由如下：
延長(zhǎng)AP交BC于N,，延長(zhǎng)FP交AB于M；
∵PM⊥AB,，PE⊥BC,，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°,，
∴四邊形MBEP是正方形,，
∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°,；
又∵AB-BM=AM,，BC-BE=EC=PF，且AB=BC,，BM=BE,，
∴AM=PF，
∴△AMP≌△FPE,，
∴AP=EF,，∠APM=∠FPN=∠PEF
∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF,，
∴∠FPN+∠PFE=90°,，即AP⊥EF，
故AP=EF,，且AP⊥EF．
（3）題（1）（2）的結(jié)論仍然成立,；
如右圖，延長(zhǎng)AB交PF于H,，證法與（2）完全相同