線速度方向變化快慢用什么物理量描述,？

上海市楊浦區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院 李沐東 選自《物理教師》2009年第7期

在進(jìn)行高中物理“勻速圓周運(yùn)動(dòng)”章節(jié)的學(xué)習(xí)時(shí),，常會(huì)在各類教科書和參考資料上看到這樣的提法：“向心加速度是描述線速度方向變化快慢的物理量”。例如“向心加速度的方向始終與速度的方向垂直,，它只是描述物體運(yùn)動(dòng)速度方向變化的快慢程度,，并不描述運(yùn)動(dòng)速度大小的變化快慢程度?！?；“向心加速度表示做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)速度方向變化的快慢?！薄?/p>

產(chǎn)生上述提法的根源在于：做曲線運(yùn)動(dòng)的物體不僅速度的大小可以發(fā)生變化而且線速度的方向時(shí)刻在變化,，因此物體具有加速度,，且加速度與速度成一定夾角。這種情況比較復(fù)雜,，但我們由勻加速直線運(yùn)動(dòng)和勻速率圓周運(yùn)動(dòng)這兩個(gè)特殊情況的加速度特點(diǎn)可以得到一些啟示,，即可以把一般的加速度a分解為兩部分：一個(gè)分量方向與速度方向在同一直線上，稱為切向加速度a_τ,；另一個(gè)分量方向與速度方向垂直,，稱為法向加速度a_n。再從加速度是描述速度變化快慢的物理量這一概念出發(fā),，從而說：切向加速度是描述速度大小變化快慢的物理量,，而法向加速度(對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)即為向心加速度)是描述速度方向變化快慢的物理量,。這一說法似乎順理，但成章嗎,？

這一觀點(diǎn)在解釋質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)問題不大,，但在解釋做繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體時(shí)，就會(huì)遇到難以調(diào)和的矛盾,。如下例,。

一根輕質(zhì)細(xì)桿繞其一端O點(diǎn)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，桿上分布A,、B兩點(diǎn),，如圖1所示。已知r_A＜r_B,，當(dāng)輕質(zhì)桿從位置1轉(zhuǎn)到位置2時(shí),，A、B兩點(diǎn)的線速度方向改變的角度一致,，所以線速度的方向改變快慢一致,；但由于有a_n＝rω²，所以兩點(diǎn)的向心加速度有a_A＜a_B的關(guān)系,，這說明向心加速度并不是描述線速度方向變化快慢的物理量,。

由此，一部分物理教師對(duì)上述說法提出異議,，因A,、B兩點(diǎn)的角速度ω是相同的，從而提出“角速度ω是標(biāo)志圓周運(yùn)動(dòng)的線速度的方向變化快慢的物理量”的觀點(diǎn),。

這兩個(gè)觀點(diǎn)孰對(duì)孰錯(cuò),。雜志上也有不少相關(guān)的討論文章，各持己見,。那么線速度方向變化快慢到底該用什么物理量來衡量,？本文擬從定義速度方向變化快慢的物理量出發(fā)，對(duì)相關(guān)物理量的物理意義和數(shù)學(xué)定義式進(jìn)行分析,，以澄清認(rèn)識(shí),。

首先對(duì)一般曲線運(yùn)動(dòng)的速度方向變化的快慢研究入手，對(duì)于速度方向變化快慢可以作如下推導(dǎo)：

d（v/v）/dt＝(vdv/dt－vdv/dt)/v²＝va/v²－va_τ/v²＝a/v－va_τ/v²＝(a_τ＋a_n)/v－a_τ/v＝a_n/v

這里（v/v）為速度方向的單位矢量,，其大小為1,，只表示速度的方向，因而d（v/v）/dt即表示速度方向變化的快慢,。

根據(jù)上述的推導(dǎo),，描述速度方向變化快慢的物理量應(yīng)為a_n/v，即法向加速度除以速率，方向?yàn)榉ㄏ蚣铀俣鹊姆较?，單位為s^-1,。

對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，a_n為向心加速度,，v為線速度的大小,。由于v值不變，所以對(duì)于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng),，a_n/v為一定值,，用a_n相替代，似乎不會(huì)出現(xiàn)矛盾,，所以導(dǎo)致有人認(rèn)為：“向心加速度是描述線速度方向變化快慢的物理量”,。但a_n/v與a_n數(shù)值上一般不同、單位也不同,，所以“向心加速度是描述線速度方向變化快慢的物理量”的說法不妥,。

對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)有a_n＝vω，所以上式比值的大小為ω,。無論是單個(gè)質(zhì)點(diǎn)勻速圓周運(yùn)動(dòng)還是剛體繞軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng),，ω均不變，所以導(dǎo)致有人認(rèn)為：“角速度ω是描述線速度方向變化快慢的物理量”,。雖然a_n/v與ω的大小相同,、單位相同，但方向不同,，兩者的物理意義也不同,，所以“角速度ω是描述線速度方向變化快慢的物理量”的說法也不妥。

根據(jù)上述的分析可知,，a_n/v是描述速度方向變化快慢的物理量,，當(dāng)然也適合描述圓周運(yùn)動(dòng)線速度方向變化的快慢。線速度方向變化的快慢均不能以a_n與ω來描述,。鑒于高中階段學(xué)生的理解力與知識(shí)儲(chǔ)備,，不便于討論線速度方向變化快慢的問題，高中階段最好回避這個(gè)問題,。

既然向心加速度a_n不是描述線速度方向變化快慢的物理量,，那它的物理意義到底是什么呢？

正如本文開始所述,，一般曲線運(yùn)動(dòng)的加速度求解較難，所以將其分解為切向和法向兩個(gè)分量,，再進(jìn)行求解,。在實(shí)際求解一般曲線運(yùn)動(dòng)的加速度時(shí)，還把曲線的每個(gè)元段看成是所在圓周的一部分的思想，即以圓周運(yùn)動(dòng)的加速度推導(dǎo)來求解曲線運(yùn)動(dòng)的加速度,。以下就通過圓周運(yùn)動(dòng)的加速度的推導(dǎo),，來揭示向心加速度的物理意義。

在圓周運(yùn)動(dòng)中,，線速度的方向時(shí)刻發(fā)生變化,，如圖2所示。取質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)A的線速度v_A,，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)線速度為v_B,。將線速度v_A、v_B進(jìn)行平移,，構(gòu)成圖3所示的矢量幾何圖,。

在矢量v_B（即線段AD）上截取AE＝v_A，并連接CE,，令ED＝(Δv)_τ,，CE＝(Δv)_n。這樣,，線速度的速度變化量Δv可分解為(Δv)_τ,、(Δv)_n兩部分的矢量和，即Δv＝(Δv)_τ＋(Δv)_n,。其中（Δv）_τ表示由于線速度大?。此俾剩┳兓鸬乃俣茸兓浚?/span>(Δv)_n表示由于線速度方向變化引起的速度變化量,。根據(jù)加速度的定義得

a＝lim_Δt→0Δv/Δt＝lim_Δt→0(Δv)_τ/Δt＋lim_Δt→0(Δv)_n/Δt,。

當(dāng)Δt→0時(shí)，有∠CAE→0,，這時(shí)(Δv)τ的方向趨于v_A的方向,，即A點(diǎn)的切線方向，所以lim_Δt→0(Δv)_τ/Δt表示的分加速度叫做切向加速度,，用a_τ表示,。大小為

a_τ＝lim_Δt→0(Δv)_τ/Δt＝dv/dt

切向加速度a_τ反映了圓周運(yùn)動(dòng)的速度在大小上的變化，或者說是描述由于線速度大?。此俾剩┑淖兓鸬乃俣茸兓目炻?Δv)_τ的變化快慢）的物理量,。

當(dāng)Δt→0時(shí)，有∠CAE→0,，所以底邊(Δv)_n與腰v_A垂直,，因此lim_Δt→0(Δv)_n/Δt的方向沿半徑方向指向圓心，我們稱這個(gè)分加速度為向心加速度,。以a_n表示,。大小為

a_n＝lim_Δt→0(Δv)_n/Δt＝lim_Δt→0v_AΔθ/Δt＝v_Aω＝v_A²/R

向心加速度a_n反映了圓周運(yùn)動(dòng)的速度在方向上的變化,，或者說是描述由于線速度的方向變化而起的那部分速度變化的快慢（即(Δv)_n變化的快慢）的物理量。

質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的加速度a 可以看作a_n與a_τ的矢量和,，即

a＝a_n＋a_τ,。

式中三者的矢量關(guān)系如圖4所示。由于a_n 與a_τ方向互相垂直,，所以圓周運(yùn)動(dòng)的總加速度大小為

a²＝a_n²＋a_τ²

若θ為a與v的夾角,，則 θ＝tan^-1(a_n/a_τ )

以上關(guān)于加速度的討論及結(jié)果，適用于任何的平面曲線運(yùn)動(dòng),。

根據(jù)以上分析可知,，向心加速度是為了解決一般曲線運(yùn)動(dòng)的加速度的求解而引入的，它是描述做圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)由于線速度的方向的變化而引起的速度變化快慢的物理量,。對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng),，v是常數(shù)，所以a_τ＝0,，則a＝a_n,。因此，勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度即為物體的加速度,，是描述線速度這個(gè)矢量變化快慢的物理量,，它的物理意義等同于上述推導(dǎo)的a_n，不應(yīng)該單純理解為描述線速度方向變化快慢的物理量,。

綜合全文的分析,，可以得出如下一些結(jié)論：

（1）速度方向變化的快慢可以用a_n/v來描述。

（2）對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng),，無論以向心加速度或角速度來描述線速度方向的變化快慢均是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。且勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度即為物體的加速度，是描述線速度這個(gè)矢量變化快慢的物理量,。

（3）在目前的高中物理教學(xué)中,，不宜提線速度方向變化快慢的問題來進(jìn)行討論。

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