第三講  創(chuàng)造的基石——觀察,、歸納與猜想

    當代著名科學家波普爾說過：我們的科學知識,，是通過未經(jīng)證明的和不可證明的預言，通過猜測,，通過對問題的嘗試性解決,，通過猜想而進步的．

    從某種意義上說，一部數(shù)學史就是猜想與驗證猜想的歷史．20世紀數(shù)學發(fā)展中巨大成果是,，1995年英國數(shù)學家維爾斯證明了困擾數(shù)學界長達350多年的“費爾馬大猜想”,，而著名的哥德巴赫猜想，已經(jīng)歷經(jīng)了兩個半世紀的探索,，尚未被人證實猜想的正確性．

當一個問題涉及相當多的乃至無窮多的情形時,，我們可以從問題的簡單情形或特殊情況人手，通過對簡單情形或特殊情況的試驗，從中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律或作出某種猜想,，從而找到解決問題的途徑或方法,，這種研究問題的方法叫歸納猜想法，是創(chuàng)造發(fā)明的基石．

例題

【例1】  (1)用●表示實圓,，用○表示空心圓,，現(xiàn)有若干實圓與空心圓按一定規(guī)律排列如下：

    ●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○……

    問：前2001個圓中，有        個空心圓．

    (江蘇省泰州市中考題)

    (2)古希臘數(shù)學家把數(shù)1,，3,，6，10,，15,，2l，…叫做三角形數(shù),，它有一定的規(guī)律性,，則第24個三角形數(shù)與第22個三角形數(shù)的差為        ．

    (舟山市中考題)

思路點撥  (1)仔細觀察，從第一個圓開始,，若干個圓中的實圓數(shù)循環(huán)出現(xiàn),，而空心圓的個數(shù)不變；

（2）每個三角形數(shù)可用若干個數(shù)表示．

 【例2】觀察下列圖形,，并閱讀圖形下面的相關文字：

像這樣,，10條直線相交，最多交點的個數(shù)是(    )．

A．40個    B．45個    C．50個    D．55個

    (湖北省荊門市中考題)

    思路點撥  隨著直線數(shù)的增加,，最多交點也隨著增加,，從給定的圖形中，探討每增加一條直線,，最多交點的增加數(shù)與原有直線數(shù)的關系．是解本例的關鍵．

 【例3】化簡    (第18屆江蘇省競賽題)

    思路點撥  先考察 1,，2，3時的簡單情形,，然后作出猜想，這樣,，化簡的目標更加明確．

   【例4】古人用天干和地支記次序,，其中天干有10個：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸；地支有12個：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥,，將天干的10個漢字和地支的12個漢字分別循環(huán)排列成如下兩行,；    ．

    甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸……

    子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……

    從左向右數(shù)，第l列是甲子,，第3列是丙寅…,，問當?shù)诙渭缀妥釉谕涣袝r，

該列的序號是多少?    ( “希望杯”邀請賽試題)

    思路點撥  把“甲”、“子”在第一行,、第二行出現(xiàn)的位置分別用相應的代數(shù)式表示,，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題求解．

  注：  觀察是解決問題的先導，發(fā)現(xiàn)往往走從觀察開始的,，歸納與猜想是建立在細致而深刻的觀察基礎上的,，解題中的觀察活動主要有三條途徑：

 (1)數(shù)與式的特征觀察；(2)圖形的結(jié)構(gòu)觀察,；(3)通過對簡單,、特殊情況的觀察，再推廣到一般情況．

歸納總是與遞推聯(lián)系在一起的,，所謂遞推,，就是在歸納的基礎上，發(fā)現(xiàn)每一步與前一步或前幾步之間的聯(lián)系,，更容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律嘎證明通過歸蚋所猜測的規(guī)律的正確性．

【例5】            圖(a),、(b)、(c),、(d)都稱作平面圖．

    (1)數(shù)一數(shù)每個圖各有多少個頂點,，多少條邊，這些邊圍出了多少區(qū)域,，將結(jié)果填人表中(其中(a)已填好)．

    (2)觀察表,，推斷一個平面圖的頂點數(shù)、邊數(shù),、區(qū)域數(shù)之間有什么關系?

    (3)現(xiàn)已知某一平面圖有999個頂點和999個區(qū)域,，試根據(jù)(2)中推斷出的關系，確定這個圖有多少條邊?

    ( “華杯賽”決賽試題)

思路點撥  從特殊情況人手,，仔細觀察,、分析、試驗和歸納,，從而發(fā)現(xiàn)其中的共同規(guī)律,，這是解本例的關鍵．

學力訓練

1．(1)如右圖的三角形數(shù)組是我國古代數(shù)學家楊輝發(fā)現(xiàn)的，稱為楊輝三角形,，根據(jù)圖中的數(shù)構(gòu)成的規(guī)律,， 所表示的數(shù)是          ．(2001早浙江省紹興市中考題)

          1

        1   l

     1    2    1

   1   3    3    1

1  4   6    4    1

1  5   10   10   5    1

    (第1題)

(2)觀察—列數(shù)：3，8,，13,，18，23,，28,，…依此規(guī)律,，在此數(shù)列中比2000大的最小整數(shù)是           ．(2003年金華市中考題)

2．如圖是2002年6月份的日歷．現(xiàn)用一矩形在日歷中任意框出4個數(shù)          ，請用,，一個等式表示 之間的關系：                          ．

(安徽省中考題)

3．下面由火柴棒拼出的一列圖形中,，第 個圖形由 個正方形組成．

通過觀察可以發(fā)現(xiàn)；

(1)第4個圖形中火柴棒的根數(shù)是      ,；

(2)第 個圖形中火柴棒的根數(shù)是       ．    (江西省中考題)

4．小王利用計算機設計了一個計算程序,，輸入和輸出的數(shù)據(jù)如下表，那么當輸入數(shù)據(jù)是8時,，輸出的數(shù)據(jù)是(    )．

A．       B．     C．     D．     (2003年重慶市中考題)

5,，在以下兩個數(shù)串中：

    1，3,，5,，7，…,，1991,，1993，1995,，1997,，1999和1，4,，7,，10，…,，1990,，1993，1996．1990同時出現(xiàn)在這兩個數(shù)串中的數(shù)的個數(shù)共有(    )個．

    A．333    B．334    C．335    D‘336

    (“希望杯”邀請賽試題)

6．圖①是一個水平擺放的小正方體木塊,，圖②,、③是由這樣的小正方體木塊疊放而成，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)疊放下去,，至第七個疊放的圖形中,，小正方體木塊總數(shù)應是(    )．

A．25       B．66    C．91    D．120

  (2003年寧波市中考題)

7．一串數(shù)排成一行，它們的規(guī)律是這樣的：頭兩個數(shù)都是l,，從第三個數(shù)開始,，每一個數(shù)都是前兩個數(shù)的和，也就是1,，1，2,，3,，5,，8，13,，21,，34，55…,，問：這串數(shù)的前100個數(shù)中(包括第100個數(shù)),，有多少個偶數(shù)? (“華杯”賽試題)

8．自然數(shù)按下表的規(guī)律排列

(1)求上起第10行，左起第13列的數(shù),；

  (2)數(shù)127應在上起第幾行,、左起第幾列?    (北京市“迎春杯”競賽題)

9．(1)觀察下列各式，你會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

    3×5＝15,，    而15=4²一1,，

5×7＝35，    而35＝6²一l,，

…   …

    1l×l3＝143,， 而143=12²一l

  將你猜想到的規(guī)律用只含一個字母的式子表示出來             ．

    (2000年濟南市中考題)

（2）將l， ,， ,， ， ,， …按一定規(guī)律排成下表：

   從表中可以看到第4行中,，自左向右第3個數(shù)是 ，第5行中從左向右第2數(shù)是 ,，那么第199行中自左向右第8個數(shù)是       ,，第1998行中自左向第11個數(shù)是      ．

    (希望杯”邀請賽試題)

10．有一列數(shù) ，其中

,；

    ,；

；

,；

……

則第 個數(shù)       ,；當 2001時，n＝         ．  (江蘇省競賽題)

11．一個正方體,，它的每一個面上寫有一個字,，組成“數(shù)學奧林匹克”．有三個同學從不同的角度看到的結(jié)果依次如圖所示，那么,，“學”字對面的字為       ． (重慶市競賽題)

12．用盆栽菊花擺在如圖所示的大小相同的7個正方形花壇的邊緣,，正方形每邊都等距離地擺n(n≥3)盆花．那么所需菊花的總盆數(shù)s與n的關系可以表示為             ．

     ( “希望杯”邀請賽試題)

13．如果一個序列{ }滿足 ,  (n為自然數(shù))，那么 是(    ) ．

   9900   B．9902    C．9904    10100    E．10102  (新加坡數(shù)學競賽題)

14．將正偶數(shù)按下表排成5列

            第1列  第2列  第3列  第4列  第5列

    第1行           2         4      6       8

    第2行    16    14        12     10

    第3行          18        20     22      24

    ．．．．．．        ．．．．．．    28    26

    根據(jù)上面排列規(guī)律,，則2000應在(    )．

     A．第125行,，第1列    B．第125行,，第2列

     C．第250行，第1列    D．第250行,，第2列

    (2001年湖北省荊州市中考題)

15．(1)設n為自然數(shù),，具有下列形式 的數(shù)是不是兩個連續(xù)奇數(shù)的積，說明理由． 

    (2)化簡 ,，并說明在結(jié)果中共有多少個奇數(shù)數(shù)字?

16．(1)圖①是正方體木塊,，把它切去一塊，可能得到形如圖②,、③,、④、⑤的木塊．

    我們知道,，圖①的正方體木塊有8個頂點,，12條棱，6個面,，請你將圖②,、③、④,、

⑤中木塊的頂點數(shù),、棱數(shù)、面數(shù)填人下表：

{2}觀察此表,，請你歸納上述各種木塊的頂點數(shù),、棱數(shù)、面數(shù)之間的數(shù)雖關系是：         ．          

(3)圖⑥是用虛線畫出的正方體木塊,，請你想象一種與圖②~⑤不同的切法,，把切去一塊后得到的那一塊的每條棱都改畫成實線，則該木塊的頂點數(shù)為       ,，棱數(shù)為    ,，面數(shù)為    ．

  17．怎樣的兩個數(shù)，它們的和等于它們的積?你大概馬上就會想到2+2＝2×2．其實這樣的兩個數(shù)還有很多,，例如：  

  (1)你能再寫出一些這樣的兩個數(shù)嗎?你能從中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律嗎?

 (2)你能否提出一些類似的問題?在你提出的問題中選擇一個問題進行研究．

18．觀察按下列規(guī)則排成的一列數(shù)：

  ,，…（※）

  (1)在（※）中，從左起第 個數(shù)記為F(m),，當 時,，求 的值和這 個數(shù)的積．

 (2)在（※）中，未經(jīng)約分且分母為2的數(shù)記為 ,，它后面的一個數(shù)記為d．是否存在這樣的兩個數(shù) 和d,，使 ，如果存在,，求出 和d,；如果不存在,，請說明理由。

(湖北省競賽題)

參考答案