一道向量問(wèn)題的解法、引申與拓展 湖北省陽(yáng)新縣高級(jí)中學(xué) 鄒生書(shū) 上海市普陀區(qū)教育局王華老師認(rèn)為,,解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有三種境界:就題論題,、就題論法、就題論道.就題論題,,只囿于題目本身,,問(wèn)什么答什么,不講方法不思變式;就題論法,,通過(guò)題目這個(gè)載思考解題的一般方法,,明確建立能夠舉一反三的通法;就題論道是解題的最高境界,在這個(gè)過(guò)程中,,不只學(xué)習(xí)一般的解題方法,,而且由聯(lián)想推廣到一般的結(jié)論,力爭(zhēng)找出反映問(wèn)題本質(zhì)屬性的規(guī)律.我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題需要在“題”上反映思維性,,“法”上降低思維度,,“道”上優(yōu)化思維量.本文通過(guò)對(duì)一道向量問(wèn)題的解法探討、結(jié)論的歸納引申與類(lèi)比拓展體驗(yàn)解題的三種境界.
題目 已知是內(nèi)一點(diǎn),,且滿足,,則為
一、解法探討
法1 如圖1,,
圖1
選基底,,由得,
,,所以,,
延長(zhǎng)交于點(diǎn),設(shè),,則,,
圖2
因三點(diǎn)共線,所以,,解得,,于是,,,所以,,,,設(shè),則易求得,,則.
法2 聯(lián)想到三角形重心的向量等式,,如圖2,延長(zhǎng)至使,,
延長(zhǎng)至使,,由得,
,,則點(diǎn)是的重心,,設(shè),
由三角形面積公式得,,,,
圖3
所以,所以.易求得
,,故.
法3 由,,得.
如圖3,分別取CB,、CA的中點(diǎn)D,、E,則,,
,,則上式可化為,于是向量式可化簡(jiǎn)為,,所以點(diǎn)P在線段上且.設(shè),,則易求得,,,,
,,所以.
圖4
法4 (坐標(biāo)法)建立平面直角坐標(biāo)系如圖4所示,,則.因?yàn)?/span>,所以向量等式左邊的縱坐標(biāo)為零,,
即,,所以,所以
,,即,,同理可得,
,所以.
二,、歸納引申
從已知向量等式的系數(shù)比和三角形面積比并結(jié)合幾何圖形,,我們發(fā)現(xiàn)有如下關(guān)系:分別是向量所對(duì)三角形,且這三個(gè)三角形的面積之比等于向量等式中這三個(gè)向量的系數(shù)之比.由特殊到一般可歸納出如下結(jié)論:
命題1 已知是內(nèi)一點(diǎn),,且滿足,,則.
解決一類(lèi)問(wèn)題的可持續(xù)發(fā)展的方法就是通法就是好法,坐標(biāo)法是我們解決這類(lèi)問(wèn)題的最為簡(jiǎn)單有效的方法.
圖5
解(坐標(biāo)法)建立平面直角坐標(biāo)系如圖5所示,,則.
因?yàn)?/span>,,所以向量等式左邊的縱坐標(biāo)為零,
即,,所以,,
所以,即,,同理可得
,,,所以.
三,、類(lèi)比拓展
著名數(shù)學(xué)教育家波利亞指出“類(lèi)比是偉大的引路人”.將命題1進(jìn)行升維類(lèi)比將二維升到三,,三角形類(lèi)比空間四面體,面積類(lèi)比體積可得如下結(jié)論:
圖6
命題2 已知P是空間四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn),,且滿足,,則.
解 以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在平面為面并
且以所在直線作為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖6所示,,
則.因?yàn)?/span>,,所以向量等式左邊的立坐標(biāo)為零,即,,所以,,所以,即.
同理可得,,,,, .所以.
四,、反思欣賞
將命題1進(jìn)行降維類(lèi)比將二維降到一維,,三角形類(lèi)比線段,面積類(lèi)比長(zhǎng)度可得如下結(jié)論:
命題3 已知P是線段AB內(nèi)一點(diǎn),,且滿足,,則.
即若P是線段AB內(nèi)一點(diǎn),且滿足,,則圖形中向量所對(duì)的線段之比等于向量等式中這兩個(gè)向量的系數(shù)之比.
命題3,、命題1,、命題2分別揭示了線段內(nèi)一點(diǎn)、三角形內(nèi)一點(diǎn)和四面體內(nèi)一點(diǎn)若滿足命題中的向量等式,,則向量所對(duì)的線段長(zhǎng)度,、三角形面積和三棱錐體積之比就等于向量等式中對(duì)應(yīng)向量的系數(shù)之比,可見(jiàn)三個(gè)命題從條件到結(jié)論具有統(tǒng)一的表現(xiàn)形式和優(yōu)美的對(duì)稱(chēng)性給人以美的感受.
五,、變式訓(xùn)練
1.(2004年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第4題)設(shè)O點(diǎn)在內(nèi)部,,且有:,則的面積與的面積之比為( )
2.已知點(diǎn)O在內(nèi)部,,且滿足,,則的面積與凹四邊形ABOC的面積之比為( )
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