§7.2圓錐曲線

一,、知識導(dǎo)學(xué)　

1．橢圓定義：在平面內(nèi),，到兩定點距離之和等于定長（定長大于兩定點間的距離）的動點的軌跡

2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：， （）

3橢圓的第二定義:一動點到定點的距離和它到一條定直線的距離的比是一個內(nèi)常數(shù),，那么這個點的軌跡叫做橢圓 其中定點叫做焦點,，定直線叫做準(zhǔn)線，常數(shù)就是離心率

橢圓的第二定義與第一定義是等價的,，它是橢圓兩種不同的定義方式

4．橢圓的準(zhǔn)線方程

對于,，左準(zhǔn)線；右準(zhǔn)線

對于,，下準(zhǔn)線,；上準(zhǔn)線

5.焦點到準(zhǔn)線的距離（焦參數(shù)）

橢圓的準(zhǔn)線方程有兩條，這兩條準(zhǔn)線在橢圓外部,，與短軸平行,，且關(guān)于短軸對稱

6橢圓的參數(shù)方程

7．雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩定點的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于）的動點的軌跡叫雙曲線  即 這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距

8．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及特點：

（1）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有焦點在x軸上和焦點y軸上兩種：

  焦點在軸上時雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(,),；

     焦點在軸上時雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(,)

(2)有關(guān)系式成立,，且

其中與b的大小關(guān)系:可以為

9焦點的位置:從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程不難看出橢圓的焦點位置可由方程中含字母、項的分母的大小來確定,，分母大的項對應(yīng)的字母所在的軸就是焦點所在的軸 而雙曲線是根據(jù)項的正負(fù)來判斷焦點所在的位置,，即項的系數(shù)是正的，那么焦點在軸上,；項的系數(shù)是正的,，那么焦點在軸上

10．雙曲線的幾何性質(zhì)：

（1）范圍,、對稱性 

由標(biāo)準(zhǔn)方程，從橫的方向來看,，直線x=-,x=之間沒有圖象,，從縱的方向來看，隨著x的增大,，y的絕對值也無限增大,，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線 雙曲線不封閉,，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心

（2）頂點

頂點：,，特殊點：

實軸：長為2,  叫做半實軸長 虛軸：長為2b，b叫做虛半軸長

雙曲線只有兩個頂點,，而橢圓則有四個頂點,，這是兩者的又一差異

（3）漸近線

過雙曲線的漸近線（）  

（4）離心率

雙曲線的焦距與實軸長的比，叫做雙曲線的離心率 范圍：

雙曲線形狀與e的關(guān)系：,，e越大,，即漸近線的斜率的絕對值就大，這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊 由此可知,，雙曲線的離心率越大,，它的開口就越闊  

11． 雙曲線的第二定義：到定點F的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)的點的軌跡是雙曲線  其中，定點叫做雙曲線的焦點,，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線  常數(shù)e是雙曲線的離心率．

12．雙曲線的準(zhǔn)線方程：

對于來說，相對于左焦點對應(yīng)著左準(zhǔn)線,，相對于右焦點對應(yīng)著右準(zhǔn)線,；

焦點到準(zhǔn)線的距離（也叫焦參數(shù)）

對于來說，相對于上焦點對應(yīng)著上準(zhǔn)線,；相對于下焦點對應(yīng)著下準(zhǔn)線

拋物線

13 拋物線定義：

平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線 定點F叫做拋物線的焦點,，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線

二、疑難知識導(dǎo)析　

橢圓,、雙曲線,、拋物線同屬于圓錐曲線，它們的定義,、標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程以及簡單的幾何性質(zhì)都存在著相似之處,，也有著一定的區(qū)別,因此，要準(zhǔn)確地理解和掌握三種曲線的特點以及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系

1．等軸雙曲線

定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線,，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線  等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為：,；（2）漸近線互相垂直；（3）離心率

2．共漸近線的雙曲線系

如果已知一雙曲線的漸近線方程為,，那么此雙曲線方程就一定是：或?qū)懗?sub>

3．共軛雙曲線

以已知雙曲線的實軸為虛軸,，虛軸為實軸,，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線  雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點在同一圓上 確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1變?yōu)?1

4．拋物線的幾何性質(zhì)

（1）范圍

因為p＞0，由方程可知,，這條拋物線上的點M的坐標(biāo)(x,，y)滿足不等式x≥0，所以這條拋物線在y軸的右側(cè),；當(dāng)x的值增大時,，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸．

（2）對稱性

以－y代y,，方程不變,，所以這條拋物線關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸．

（3）頂點

拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點．在方程中,，當(dāng)y=0時,，x=0，因此拋物線的頂點就是坐標(biāo)原點．

（4）離心率

拋物線上的點M與焦點的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比,，叫做拋物線的離心率,，用e表示．由拋物線的定義可知，e=1．

19拋物線的焦半徑公式：

拋物線,，

拋物線,，

拋物線，

拋物線,，

三,、經(jīng)典例題導(dǎo)講　

[例1]設(shè)雙曲線的漸近線為：，求其離心率.

錯解：由雙曲線的漸近線為：,，可得：,，從而

剖析：由雙曲線的漸近線為是不能確定焦點的位置在x軸上的，當(dāng)焦點的位置在y軸上時,，,，故本題應(yīng)有兩解，即：

或.

［例2］設(shè)點P(x,y)在橢圓上,，求的最大,、最小值.

錯解：因 ∴，得：,，同理得：,，故  ∴最大、最小值分別為3,-3.

剖析：本題中x,、y除了分別滿足以上條件外,，還受制約條件的約束.當(dāng)x=1時,y此時取不到最大值2,故x+y的最大值不為3.其實本題只需令，則,，故其最大值為,，最小值為.

［例3］已知雙曲線的右準(zhǔn)線為,，右焦點,離心率,求雙曲線方程.

錯解一： 故所求的雙曲線方程為

錯解二：  由焦點知

故所求的雙曲線方程為

錯因：　這兩個解法都是誤認(rèn)為雙曲線的中心在原點，而題中并沒有告訴中心在原點這個條件,。由于判斷錯誤,，而造成解法錯誤。隨意增加,、遺漏題設(shè)條件,，都會產(chǎn)生錯誤解法.

解法一：  設(shè)為雙曲線上任意一點，因為雙曲線的右準(zhǔn)線為,，右焦點,，離心率，由雙曲線的定義知  整理得

解法二： 依題意,，設(shè)雙曲線的中心為,

則       解得  ,所以 

故所求雙曲線方程為 

［例4］設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點,，長軸在軸上，離心率,，已知點到這個橢圓上的最遠(yuǎn)距離是,，求這個橢圓的方程.

錯解：依題意可設(shè)橢圓方程為

則    ，

所以    ,，即 

設(shè)橢圓上的點到點的距離為,，

則   

所以當(dāng)時，有最大值,，從而也有最大值,。

所以    ，由此解得：

于是所求橢圓的方程為

錯因：盡管上面解法的最后結(jié)果是正確的,，但這種解法卻是錯誤的,。結(jié)果正確只是碰巧而已。由當(dāng)時,，有最大值，這步推理是錯誤的,，沒有考慮到的取值范圍.事實上,，由于點在橢圓上，所以有,，因此在求的最大值時,，應(yīng)分類討論.

正解：若，則當(dāng)時,，（從而）有最大值.

于是從而解得.

所以必有,，此時當(dāng)時，（從而）有最大值,，

所以,，解得

于是所求橢圓的方程為

［例5］從橢圓,(>b>0)上一點M向x軸所作垂線恰好通過橢圓的左焦點F₁,，A、B分別是橢圓長,、短軸的端點,，AB∥OM設(shè)Q是橢圓上任意一點，當(dāng)QF₂⊥AB時,，延長QF₂與橢圓交于另一點P,，若⊿F₁PQ的面積為20，求此時橢圓的方程

解：本題可用待定系數(shù)法求解

∵b=c, =c,，可設(shè)橢圓方程為

∵PQ⊥AB,∴k_PQ=-,，則PQ的方程為y=(x-c)，

代入橢圓方程整理得5x²-8cx+2c²=0,，

根據(jù)弦長公式,，得,

又點F₁到PQ的距離d=c

∴ ,由

故所求橢圓方程為

［例6］已知橢圓：，過左焦點F作傾斜角為的直線交橢圓于A,、B兩點,，求弦AB的長

解：a=3,b=1,c=2;   則F（-2，0）

由題意知：與聯(lián)立消去y得：

設(shè)A（,、B（,，則是上面方程的二實根，由違達(dá)定理,，

,，又因為A、B,、F都是直線上的點,，

所以|AB|=

點評：也可利用“焦半徑”公式計算

［例7］（06年全國理科）設(shè)P是橢圓短軸的一個端點，Q為橢圓上的一個動點,，求｜PQ｜的最大值.

解： 依題意可設(shè)P（0,1）,，Q（），則｜PQ｜＝,，又因為Q在橢圓上,，所以，,，｜PQ｜²＝＝

＝.

因為≤1,，＞1，若≥,，則≤1,，當(dāng)時，｜PQ｜取最大值；若1＜＜,，則當(dāng)時,，｜PQ｜取最大值2.

［例8］已知雙曲線的中心在原點，過右焦點F（2,，0）作斜率為的直線,，交雙曲線于M、N 兩點,，且=4,，求雙曲線方程

解：設(shè)所求雙曲線方程為，由右焦點為（2,，0）知C=2,，b²=4-²

則雙曲線方程為，設(shè)直線MN的方程為：,，代入雙曲線方程整理得：(20-8²)x²+12²x+5⁴-32²=0

 設(shè)M（x₁,y₁）,N(x₂,y₂)_,則,，

解得　，

故所求雙曲線方程為：

點評：利用待定系數(shù)法求曲線方程,，運(yùn)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系將兩根之和與積整體代入,，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體思想，也簡化了計算,，要求學(xué)生熟練掌握

四,、典型習(xí)題導(dǎo)練　

1. 設(shè)雙曲線兩焦點為F₁、F₂,點Q為雙曲線上除頂點外的任一點,過F₁作∠F₁QF₂的平分線的垂線,垂足為P,則點P的軌跡是　?。?nbsp;     ）

A.橢圓的一部分   B.雙曲線的一部分

C.拋物線的一部分  D.圓的一部分.

2．已知點(-2,，3)與拋物線y²=2px(p＞0)的焦點 的距離是5，則p=             .

3.平面內(nèi)有兩定點上,，求一點P使取得最大值或最小值,，并求出最大值和最小值.

4.已知橢圓的離心率為.（1）若圓（x-2）²+(y-1)²=與橢圓相交于A、B兩點且線段AB恰為圓的直徑,，求橢圓方程,；（2）設(shè)L為過橢圓右焦點F的直線，交橢圓于M,、N兩點,，且L的傾斜角為60⁰，求的值.

5.已知拋物線方程為,，直線過拋物線的焦點F且被拋物線截得的弦長為3,，求p的值．

6.線段AB過x軸正半軸上一點M（m,0）（m>0）,，端點A,、B到x軸距離之積為，以x軸為對稱軸，過A,，O,，B三點作拋物線

（1）求拋物線方程；

（2）若的取值范圍