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小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)大全 常用的數(shù)量關(guān)系式 1,、每份數(shù)×份數(shù)＝總數(shù)
總數(shù)÷每份數(shù)＝份數(shù)
總數(shù)÷份數(shù)＝每份數(shù) 2,、1倍數(shù)×倍數(shù)＝幾倍數(shù) 幾倍數(shù)÷1倍數(shù)＝倍數(shù)
幾倍數(shù)÷倍數(shù)＝1倍數(shù) 3、速度×時(shí)間＝路程
路程÷速度＝時(shí)間 路程÷時(shí)間＝速度 4,、單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià)
總價(jià)÷單價(jià)＝數(shù)量
總價(jià)÷數(shù)量＝單價(jià) 5、工作效率×工作時(shí)間＝工作總量
工作總量÷工作效率＝工作時(shí)間
工作總量÷工作時(shí)間＝工作效率 6,、加數(shù)＋加數(shù)＝和 和－一個(gè)加數(shù)＝另一個(gè)加數(shù) 7,、被減數(shù)－減數(shù)＝差 被減數(shù)－差＝減數(shù) 差＋減數(shù)＝被減數(shù) 8,、因數(shù)×因數(shù)＝積
積÷一個(gè)因數(shù)＝另一個(gè)因數(shù) 9,、被除數(shù)÷除數(shù)＝商
被除數(shù)÷商＝除數(shù)
商×除數(shù)＝被除數(shù) 小學(xué)數(shù)學(xué)圖形計(jì)算公式 1,、正方形 （C：周長(zhǎng)
S：面積 a：邊長(zhǎng)） 周長(zhǎng)＝邊長(zhǎng)×4 C=4a 面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)
S=a×a 表面積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6
S表=a×a×6 體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng) V=a×a×a 3、長(zhǎng)方形（ C：周長(zhǎng)
S：面積 a：邊長(zhǎng)） 周長(zhǎng)=(長(zhǎng)+寬)×2
C=2(a+b) 面積=長(zhǎng)×寬
S=ab 4,、長(zhǎng)方體 （V:體積
s:面積 a:長(zhǎng)
b: 寬 h:高） (1)表面積(長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)體積=長(zhǎng)×寬×高 V=abh 5,、三角形 （s：面積
a：底 h：高） 三角形高=面積 ×2÷底
三角形底=面積 ×2÷高 6、平行四邊形 （s：面積
a：底 h：高） 7,、梯形 （s：面積
a：上底 b：下底
h：高） 8,、圓形 （S：面積
C：周長(zhǎng) л d=直徑 r=半徑） 9、圓柱體 （v:體積
h:高 s：底面積
r:底面半徑 c:底面周長(zhǎng)） (3)體積=底面積×高 （4）體積＝側(cè)面積÷2×半徑 10,、圓錐體 （v:體積
h:高 s：底面積 r:底面半徑） 11,、總數(shù)÷總份數(shù)＝平均數(shù) 12、和差問題的公式 13,、和倍問題 14,、差倍問題 15,、相遇問題 16,、濃度問題 17、利潤(rùn)與折扣問題 常用單位換算 長(zhǎng)度單位換算 體(容)積單位換算 時(shí)間單位換算 1時(shí)=60分 1分=60秒 1時(shí)=3600秒 基本概念 第一章 數(shù)和數(shù)的運(yùn)算 一 概念 （一）整數(shù) 1 整數(shù)的意義 自然數(shù)和0都是整數(shù),。 2 自然數(shù) 我們?cè)跀?shù)物體的時(shí)候,，用來表示物體個(gè)數(shù)的1，2,，3……叫做自然數(shù),。 一個(gè)物體也沒有，用0表示,。0也是自然數(shù),。 3計(jì)數(shù)單位 一（個(gè)）、十,、百,、千、萬,、十萬,、百萬、千萬,、億……都是計(jì)數(shù)單位,。 每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。這樣的計(jì)數(shù)法叫做十進(jìn)制計(jì)數(shù)法,。 4 數(shù)位 計(jì)數(shù)單位按照一定的順序排列起來,，它們所占的位置叫做數(shù)位,。 5數(shù)的整除 整數(shù)a除以整數(shù)b(b ≠ 0），除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù),，我們就說a能被b整除,，或者說b能整除a 。 如果數(shù)a能被數(shù)b（b ≠ 0）整除,，a就叫做b的倍數(shù),，b就叫做a的約數(shù)（或a的因數(shù)）。倍數(shù)和約數(shù)是相互依存的,。 因?yàn)?span lang="EN-US">35能被7整除,，所以35是7的倍數(shù)，7是35的約數(shù),。 一個(gè)數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的,，其中最小的約數(shù)是1,，最大的約數(shù)是它本身,。例如：10的約數(shù)有1,、2,、5,、10，其中最小的約數(shù)是1,，最大的約數(shù)是10。 一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的,，其中最小的倍數(shù)是它本身,。3的倍數(shù)有：3、6,、9,、12……其中最小的倍數(shù)是3 ，沒有最大的倍數(shù),。 個(gè)位上是0,、2、4、6,、8的數(shù),，都能被2整除，例如：202,、480,、304,，都能被2整除,。。 個(gè)位上是0或5的數(shù),，都能被5整除,，例如：5,、30、405都能被5整除。,。 一個(gè)數(shù)的各位上的數(shù)的和能被3整除,，這個(gè)數(shù)就能被3整除,，例如：12,、108,、204都能被3整除,。 一個(gè)數(shù)各位數(shù)上的和能被9整除,，這個(gè)數(shù)就能被9整除。 能被3整除的數(shù)不一定能被9整除,，但是能被9整除的數(shù)一定能被3整除,。 一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個(gè)數(shù)就能被4（或25）整除,。例如：16,、404、1256都能被4整除,，50,、325、500,、1675都能被25整除,。 一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，這個(gè)數(shù)就能被8（或125）整除,。例如：1168,、4600、5000,、12344都能被8整除,，1125、13375,、5000都能被125整除,。 能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)。 不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù),。 0也是偶數(shù),。自然數(shù)按能否被2 整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。 一個(gè)數(shù),，如果只有1和它本身兩個(gè)約數(shù),，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)），100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2,、3,、5、7,、11,、13、17,、19,、23、29,、31,、37、41,、43,、47、53,、59,、61、67,、71,、73、79,、83,、89、97,。 一個(gè)數(shù),，如果除了1和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù),，例如 4,、6、8,、9,、12都是合數(shù)。 1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù),，自然數(shù)除了1外,，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù),。如果把自然數(shù)按其約數(shù)的個(gè)數(shù)的不同分類，可分為質(zhì)數(shù),、合數(shù)和1,。 每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù),，叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù),，例如15=3×5，3和5 叫做15的質(zhì)因數(shù)。 把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。 例如把28分解質(zhì)因數(shù) 幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù),，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù),。其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),，例如12的約數(shù)有1,、2,、3,、4、6,、12；18的約數(shù)有1,、2,、3、6,、9,、18。其中,，1,、2、3,、6是12和1 8的公約數(shù),，6是它們的最大公約數(shù)。 公約數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù),，成互質(zhì)關(guān)系的兩個(gè)數(shù),，有下列幾種情況： 1和任何自然數(shù)互質(zhì)。 相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì),。 兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì),。 當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)合數(shù)和這個(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì),。 兩個(gè)合數(shù)的公約數(shù)只有1時(shí),，這兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)，如果幾個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì),，就說這幾個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì),。 如果較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),。 如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù),，它們的最大公約數(shù)就是1。 幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù),，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù),，其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù),，如2的倍數(shù)有2,、4、6 ,、8,、10、12,、14,、16、18 …… 3的倍數(shù)有3,、6,、9、12,、15,、18 …… 其中6、12,、18……是2,、3的公倍數(shù)，6是它們的最小公倍數(shù),。,。 如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù),，那么較大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。 如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù),，那么這兩個(gè)數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù),。 幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，而幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的,。 （二）小數(shù) 1 小數(shù)的意義 把整數(shù)1平均分成10份,、100份、1000份…… 得到的十分之幾,、百分之幾,、千分之幾…… 可以用小數(shù)表示。 一位小數(shù)表示十分之幾,，兩位小數(shù)表示百分之幾,，三位小數(shù)表示千分之幾…… 一個(gè)小數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點(diǎn)部分組成,。數(shù)中的圓點(diǎn)叫做小數(shù)點(diǎn),，小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分,，小數(shù)點(diǎn)右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分,。 在小數(shù)里，每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10,。小數(shù)部分的最高分?jǐn)?shù)單位“十分之一”和整數(shù)部分的最低單位“一”之間的進(jìn)率也是10,。 2小數(shù)的分類 純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù),。例如： 0.25 ,、 0.368 都是純小數(shù)。 帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù),，叫做帶小數(shù)。
例如： 3.25 ,、 5.26 都是帶小數(shù),。 有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù),。
例如： 41.7 ,、 25.3 、 0.23 都是有限小數(shù),。 無限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無限的小數(shù),，叫做無限小數(shù)。
例如： 4.33 …… 3.1415926 …… 無限不循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分,，數(shù)字排列無規(guī)律且位數(shù)無限,，這樣的小數(shù)叫做無限不循環(huán)小數(shù),。
例如：∏ 循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，有一個(gè)數(shù)字或者幾個(gè)數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn),，這個(gè)數(shù)叫做循環(huán)小數(shù),。
例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 …… 一個(gè)循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個(gè)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié),。
例如： 3.99 ……的循環(huán)節(jié)是“ 9 ” ,， 0.5454 ……的循環(huán)節(jié)是“ 54 ” 。 純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的,，叫做純循環(huán)小數(shù),。
例如： 3.111 …… 0.5656 …… 混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的，叫做混循環(huán)小數(shù),。 3.1222 …… 0.03333 …… 寫循環(huán)小數(shù)的時(shí)候,，為了簡(jiǎn)便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個(gè)循環(huán)節(jié),，并在這個(gè)循環(huán)節(jié)的首,、末位數(shù)字上各點(diǎn)一個(gè)圓點(diǎn)。如果循環(huán)
節(jié)只有一個(gè)數(shù)字,，就只在它的上面點(diǎn)一個(gè)點(diǎn),。例如： 3.777 …… 簡(jiǎn)寫作
0.5302302 …… 簡(jiǎn)寫作 。 （三）分?jǐn)?shù) 1 分?jǐn)?shù)的意義 把單位“1”平均分成若干份,，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù),。 在分?jǐn)?shù)里，中間的橫線叫做分?jǐn)?shù)線,；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù),，叫做分母，表示把單位“1”平均分成多少份,；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)叫做分子,，表示有這樣的多少份。 把單位“1”平均分成若干份,，表示其中的一份的數(shù),，叫做分?jǐn)?shù)單位。 2 分?jǐn)?shù)的分類 真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù),。真分?jǐn)?shù)小于1,。 假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)，叫做假分?jǐn)?shù),。假分?jǐn)?shù)大于或等于1,。 帶分?jǐn)?shù)：假分?jǐn)?shù)可以寫成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)，通常叫做帶分?jǐn)?shù),。 3 約分和通分 把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成同它相等但是分子,、分母都比較小的分?jǐn)?shù)
,，叫做約分。 分子分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù),，叫做最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),。 把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù)，叫做通分,。 （四）百分?jǐn)?shù) 1 表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù) 叫做百分?jǐn)?shù),也叫做百分率或百分比,。百分?jǐn)?shù)通常用"%"來表示。百分號(hào)是表示百分?jǐn)?shù)的符號(hào),。 二 方法 （一）數(shù)的讀法和寫法 1. 整數(shù)的讀法：從高位到低位,，一級(jí)一級(jí)地讀。讀億級(jí),、萬級(jí)時(shí),，先按照個(gè)級(jí)的讀法去讀，再在后面加一個(gè)“億”或“萬”字,。每一級(jí)末尾的0都不讀出來,，其它數(shù)位連續(xù)有幾個(gè)0都只讀一個(gè)零。 2. 整數(shù)的寫法：從高位到低位,，一級(jí)一級(jí)地寫,，哪一個(gè)數(shù)位上一個(gè)單位也沒有，就在那個(gè)數(shù)位上寫0,。 3. 小數(shù)的讀法：讀小數(shù)的時(shí)候,，整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法讀，小數(shù)點(diǎn)讀作“點(diǎn)”,，小數(shù)部分從左向右順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字,。 4. 小數(shù)的寫法：寫小數(shù)的時(shí)候，整數(shù)部分按照整數(shù)的寫法來寫,，小數(shù)點(diǎn)寫在個(gè)位右下角,，小數(shù)部分順次寫出每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字。 5. 分?jǐn)?shù)的讀法：讀分?jǐn)?shù)時(shí),，先讀分母再讀“分之”然后讀分子,，分子和分母按照整數(shù)的讀法來讀。 6. 分?jǐn)?shù)的寫法：先寫分?jǐn)?shù)線,，再寫分母，最后寫分子,，按照整數(shù)的寫法來寫,。 7. 百分?jǐn)?shù)的讀法：讀百分?jǐn)?shù)時(shí)，先讀百分之,，再讀百分號(hào)前面的數(shù),，讀數(shù)時(shí)按照整數(shù)的讀法來讀,。 8. 百分?jǐn)?shù)的寫法：百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而在原來的分子后面加上百分號(hào)“%”來表示,。 （二）數(shù)的改寫 一個(gè)較大的多位數(shù),，為了讀寫方便，常常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數(shù),。有時(shí)還可以根據(jù)需要,，省略這個(gè)數(shù)某一位后面的數(shù)，寫成近似數(shù),。 1. 準(zhǔn)確數(shù)：在實(shí)際生活中,，為了計(jì)數(shù)的簡(jiǎn)便，可以把一個(gè)較大的數(shù)改寫成以萬或億為單位的數(shù),。改寫后的數(shù)是原數(shù)的準(zhǔn)確數(shù),。 例如把 1254300000 改寫成以萬做單位的數(shù)是 125430 萬；改寫成 以億做單位
的數(shù) 12.543 億,。 2. 近似數(shù)：根據(jù)實(shí)際需要,，我們還可以把一個(gè)較大的數(shù)，省略某一位后面的尾數(shù),，用一個(gè)近似數(shù)來表示,。 例如： 1302490015 省略億后面的尾數(shù)是 13 億。 3. 四舍五入法：要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是4 或者比4小,，就把尾數(shù)去掉,；如果尾數(shù)的最高位上的數(shù)是5或者比5大，就把尾數(shù)舍去,，并向它的前一位進(jìn)1,。例如：省略 345900 萬后面的尾數(shù)約是 35 萬。省略 4725097420 億后面的尾數(shù)約是 47 億,。 4. 大小比較 1. 比較整數(shù)大?。罕容^整數(shù)的大小,，位數(shù)多的那個(gè)數(shù)就大,，如果位數(shù)相同，就看最高位,，最高位上的數(shù)大,，那個(gè)數(shù)就大；最高位上的數(shù)相同,，就看下一位,，哪一位上的數(shù)大那個(gè)數(shù)就大。 2. 比較小數(shù)的大?。合瓤此鼈兊恼麛?shù)部分,，,，整數(shù)部分大的那個(gè)數(shù)就大；整數(shù)部分相同的,，十分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大,；十分位上的數(shù)也相同的，百分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大…… 3. 比較分?jǐn)?shù)的大小:分母相同的分?jǐn)?shù),，分子大的分?jǐn)?shù)比較大,；分子相同的數(shù)，分母小的分?jǐn)?shù)大,。分?jǐn)?shù)的分母和分子都不相同的,，先通分，再比較兩個(gè)數(shù)的大小,。 （三）數(shù)的互化 1. 小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：原來有幾位小數(shù),，就在1的后面寫幾個(gè)零作分母，把原來的小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)作分子,，能約分的要約分,。 2. 分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數(shù),，有的不能除盡,，不能化成有限小數(shù)的，一般保留三位小數(shù),。 3. 一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的質(zhì)因數(shù),，這個(gè)分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù),；如果分母中含有2和5 以外的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù),。 4. 小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)：只要把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位,，同時(shí)在后面添上百分號(hào)。 5. 百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù),，只要把百分號(hào)去掉,，同時(shí)把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位。 6. 分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)：通常先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)（除不盡時(shí),，通常保留三位小數(shù)),，再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。 7. 百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：先把百分?jǐn)?shù)改寫成分?jǐn)?shù),，能約分的要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),。 （四）數(shù)的整除 1. 把一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù),，通常用短除法,。先用能整除這個(gè)合數(shù)的質(zhì)數(shù)去除，一直除到商是質(zhì)數(shù)為止,，再把除數(shù)和商寫成連乘的形式,。 2. 求幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的方法是：先用這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除,，一直除到所得的商只有公約數(shù)1為止，然后把所有的除數(shù)連乘求積,，這個(gè)積就是這幾個(gè)數(shù)的的最大公約數(shù),。 3. 求幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是：先用這幾個(gè)數(shù)（或其中的部分?jǐn)?shù)）的公約數(shù)去除，一直除到互質(zhì)（或兩兩互質(zhì)）為止,，然后把所有的除數(shù)和商連乘求積,，這個(gè)積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。 4. 成為互質(zhì)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)：1和任何自然數(shù)互質(zhì) ,； 相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì),； 當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)合數(shù)和這個(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì),；兩個(gè)合數(shù)的公約數(shù)只有1時(shí),，這兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)。 （五）
約分和通分 約分的方法：用分子和分母的公約數(shù)（1除外）去除分子,、分母,；通常要除到得出最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)為止。 通分的方法：先求出原來的幾個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù),，然后把各分?jǐn)?shù)化成用這個(gè)最小公倍數(shù)作分母的分?jǐn)?shù),。 三 性質(zhì)和規(guī)律 （一）商不變的規(guī)律 商不變的規(guī)律：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或者同時(shí)縮小相同的倍,，商不變,。 （二）小數(shù)的性質(zhì) 小數(shù)的性質(zhì)：在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變。 （三）小數(shù)點(diǎn)位置的移動(dòng)引起小數(shù)大小的變化 1. 小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位,，原來的數(shù)就擴(kuò)大10倍,；小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，原來的數(shù)就擴(kuò)大100倍,；小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)三位,，原來的數(shù)就擴(kuò)大1000倍…… 2. 小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)一位，原來的數(shù)就縮小10倍,；小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位,，原來的數(shù)就縮小100倍；小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)三位，原來的數(shù)就縮小1000倍…… 3. 小數(shù)點(diǎn)向左移或者向右移位數(shù)不夠時(shí),，要用“0"補(bǔ)足位。 （四）分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì) 分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)（零除外）,，分?jǐn)?shù)的大小不變。 （五）分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系 1. 被除數(shù)÷除數(shù)= 被除數(shù)/除數(shù) 2. 因?yàn)榱悴荒茏鞒龜?shù),，所以分?jǐn)?shù)的分母不能為零。 3. 被除數(shù) 相當(dāng)于分子,，除數(shù)相當(dāng)于分母,。 四 運(yùn)算的意義 （一）整數(shù)四則運(yùn)算 1整數(shù)加法： 把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算叫做加法。 在加法里,，相加的數(shù)叫做加數(shù),，加得的數(shù)叫做和。加數(shù)是部分?jǐn)?shù),，和是總數(shù),。 加數(shù)+加數(shù)=和 一個(gè)加數(shù)=和－另一個(gè)加數(shù) 2整數(shù)減法： 已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù),，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算叫做減法。 在減法里,，已知的和叫做被減數(shù),，已知的加數(shù)叫做減數(shù)，未知的加數(shù)叫做差,。被減數(shù)是總數(shù),，減數(shù)和差分別是部分?jǐn)?shù)。 加法和減法互為逆運(yùn)算,。 3整數(shù)乘法： 求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算叫做乘法,。 在乘法里，相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個(gè)數(shù)都叫做因數(shù),。相同加數(shù)的和叫做積,。 在乘法里，0和任何數(shù)相乘都得0.
1和任何數(shù)相乘都的任何數(shù),。 一個(gè)因數(shù)× 一個(gè)因數(shù) =積
一個(gè)因數(shù)=積÷另一個(gè)因數(shù) 4 整數(shù)除法： 已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù),，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算叫做除法。 在除法里,，已知的積叫做被除數(shù),，已知的一個(gè)因數(shù)叫做除數(shù)，所求的因數(shù)叫做商,。 乘法和除法互為逆運(yùn)算,。 在除法里，0不能做除數(shù),。因?yàn)?span lang="EN-US">0和任何數(shù)相乘都得0,，所以任何一個(gè)數(shù)除以0，均得不到一個(gè)確定的商,。 被除數(shù)÷除數(shù)=商 除數(shù)=被除數(shù)÷商 被除數(shù)=商×除數(shù) （二）小數(shù)四則運(yùn)算 1. 小數(shù)加法： 小數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同,。是把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算。 2. 小數(shù)減法： 小數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同,。已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù),，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算. 3. 小數(shù)乘法： 小數(shù)乘整數(shù)的意義和整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算,；一個(gè)數(shù)乘純小數(shù)的意義是求這個(gè)數(shù)的十分之幾,、百分之幾、千分之幾……是多少,。 4. 小數(shù)除法： 小數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同,，就是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算,。 5. 乘方: 求幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方,。例如 3 × 3 =32 （三）分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算 1. 分?jǐn)?shù)加法： 分?jǐn)?shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同,。
是把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算。 2. 分?jǐn)?shù)減法： 分?jǐn)?shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同,。已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù),，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算。 3. 分?jǐn)?shù)乘法： 分?jǐn)?shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義相同,，就是求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算,。 4. 乘積是1的兩個(gè)數(shù)叫做互為倒數(shù)。 5. 分?jǐn)?shù)除法： 分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同,。就是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù),，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。 （四）運(yùn)算定律 1. 加法交換律： 兩個(gè)數(shù)相加,，交換加數(shù)的位置,，它們的和不變，即a+b=b+a ,。 2. 加法結(jié)合律： 三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加,，再加上第三個(gè)數(shù),；或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，再和第一個(gè)數(shù)相加它們的和不變,，即（a+b)+c=a+(b+c) ,。 3. 乘法交換律： 兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置它們的積不變,，即a×b=b×a,。 4. 乘法結(jié)合律： 三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘,，再乘以第三個(gè)數(shù),；或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，再和第一個(gè)數(shù)相乘,，它們的積不變,，即(a×b)×c=a×(b×c) 。 5. 乘法分配律： 兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘,，可以把兩個(gè)加數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘再把兩個(gè)積相加,，即(a+b)×c=a×c+b×c 。 6. 減法的性質(zhì)： 從一個(gè)數(shù)里連續(xù)減去幾個(gè)數(shù),，可以從這個(gè)數(shù)里減去所有減數(shù)的和,，差不變，即a-b-c=a-(b+c) ,。 （五）運(yùn)算法則 1. 整數(shù)加法計(jì)算法則： 相同數(shù)位對(duì)齊,，從低位加起,，哪一位上的數(shù)相加滿十，就向前一位進(jìn)一,。 2. 整數(shù)減法計(jì)算法則： 相同數(shù)位對(duì)齊,，從低位加起，哪一位上的數(shù)不夠減,，就從它的前一位退一作十,，和本位上的數(shù)合并在一起，再減,。 3. 整數(shù)乘法計(jì)算法則： 先用一個(gè)因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個(gè)因數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù),，用因數(shù)哪一位上的數(shù)去乘，乘得的數(shù)的末尾就對(duì)齊哪一位,，然后把各次乘得的數(shù)加起來,。 4. 整數(shù)除法計(jì)算法則： 先從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù),，就看被除數(shù)的前幾位,；如果不夠除，就多看一位,，除到被除數(shù)的哪一位,，商就寫在哪一位的上面。如果哪一位上不夠商1,，要補(bǔ)“0”占位,。每次除得的余數(shù)要小于除數(shù)。 5. 小數(shù)乘法法則： 先按照整數(shù)乘法的計(jì)算法則算出積,，再看因數(shù)中共有幾位小數(shù),，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn),；如果位數(shù)不夠,，就用“0”補(bǔ)足。 6. 除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法計(jì)算法則： 先按照整數(shù)除法的法則去除,，商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊,；如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)后面添“0”,，再繼續(xù)除,。 7. 除數(shù)是小數(shù)的除法計(jì)算法則： 先移動(dòng)除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，使它變成整數(shù),，除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也向右移動(dòng)幾位（位數(shù)不夠的補(bǔ)“0”）,，然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法法則進(jìn)行計(jì)算。 8. 同分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法: 同分母分?jǐn)?shù)相加減,，只把分子相加減,，分母不變,。 9. 異分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法: 先通分，然后按照同分母分?jǐn)?shù)加減法的的法則進(jìn)行計(jì)算,。 10. 帶分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法: 整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分分別相加減,，再把所得的數(shù)合并起來。 11. 分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則: 分?jǐn)?shù)乘整數(shù),，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子,，分母不變；分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù),，用分子相乘的積作分子,，分母相乘的積作分母。 12. 分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則: 甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外）,，等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù),。 （六）
運(yùn)算順序 1. 小數(shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)四則運(yùn)算順序相同。 2. 分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)四則運(yùn)算順序相同,。 3. 沒有括號(hào)的混合運(yùn)算: 同級(jí)運(yùn)算從左往右依次運(yùn)算,；兩級(jí)運(yùn)算
先算乘、除法,，后算加減法,。 4. 有括號(hào)的混合運(yùn)算: 先算小括號(hào)里面的，再算中括號(hào)里面的,，最后算括號(hào)外面的。 5. 第一級(jí)運(yùn)算： 加法和減法叫做第一級(jí)運(yùn)算,。 6. 第二級(jí)運(yùn)算： 乘法和除法叫做第二級(jí)運(yùn)算,。 五 應(yīng)用 （一）整數(shù)和小數(shù)的應(yīng)用 1 簡(jiǎn)單應(yīng)用題 （1）簡(jiǎn)單應(yīng)用題：只含有一種基本數(shù)量關(guān)系，或用一步運(yùn)算解答的應(yīng)用題,，通常叫做簡(jiǎn)單應(yīng)用題,。 （2） 解題步驟： a 審題理解題意：了解應(yīng)用題的內(nèi)容，知道應(yīng)用題的條件和問題,。讀題時(shí),，不丟字不添字邊讀邊思考，弄明白題中每句話的意思,。也可以復(fù)述條件和問題,，幫助理解題意。 b選擇算法和列式計(jì)算：這是解答應(yīng)用題的中心工作,。從題目中告訴什么,，要求什么著手，逐步根據(jù)所給的條件和問題,，聯(lián)系四則運(yùn)算的含義,，分析數(shù)量關(guān)系,，確定算法，進(jìn)行解答并標(biāo)明正確的單位名稱,。 C檢驗(yàn)：就是根據(jù)應(yīng)用題的條件和問題進(jìn)行檢查看所列算式和計(jì)算過程是否正確,，是否符合題意。如果發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤,，馬上改正,。 2 復(fù)合應(yīng)用題 （1）有兩個(gè)或兩個(gè)以上的基本數(shù)量關(guān)系組成的，用兩步或兩步以上運(yùn)算解答的應(yīng)用題,，通常叫做復(fù)合應(yīng)用題,。 （2）含有三個(gè)已知條件的兩步計(jì)算的應(yīng)用題。 求比兩個(gè)數(shù)的和多（少）幾個(gè)數(shù)的應(yīng)用題,。 比較兩數(shù)差與倍數(shù)關(guān)系的應(yīng)用題,。 （3）含有兩個(gè)已知條件的兩步計(jì)算的應(yīng)用題,。 已知兩數(shù)相差多少（或倍數(shù)關(guān)系）與其中一個(gè)數(shù),，求兩個(gè)數(shù)的和（或差）,。 已知兩數(shù)之和與其中一個(gè)數(shù),，求兩個(gè)數(shù)相差多少（或倍數(shù)關(guān)系）,。 （4）解答連乘連除應(yīng)用題,。 （5）解答三步計(jì)算的應(yīng)用題,。 （6）解答小數(shù)計(jì)算的應(yīng)用題：小數(shù)計(jì)算的加法、減法,、乘法和除法的應(yīng)用題，他們的數(shù)量關(guān)系,、結(jié)構(gòu),、和解題方式都與正式應(yīng)用題基本相同，只是在已知數(shù)或未知數(shù)中間含有小數(shù),。 d答案：根據(jù)計(jì)算的結(jié)果,，先口答，逐步過渡到筆答,。 ( 3 ) 解答加法應(yīng)用題： a求總數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少,，乙數(shù)是多少，求甲乙兩數(shù)的和是多少,。 b求比一個(gè)數(shù)多幾的數(shù)應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少和乙數(shù)比甲數(shù)多多少,，求乙數(shù)是多少。 (4 ) 解答減法應(yīng)用題： a求剩余的應(yīng)用題：從已知數(shù)中去掉一部分,，求剩下的部分,。 -b求兩個(gè)數(shù)相差的多少的應(yīng)用題：已知甲乙兩數(shù)各是多少，求甲數(shù)比乙數(shù)多多少,，或乙數(shù)比甲數(shù)少多少,。 c求比一個(gè)數(shù)少幾的數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，,，乙數(shù)比甲數(shù)少多少,，求乙數(shù)是多少,。 (5 ) 解答乘法應(yīng)用題： a求相同加數(shù)和的應(yīng)用題：已知相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個(gè)數(shù)，求總數(shù),。 b求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)是多少,，另一個(gè)數(shù)是它的幾倍，求另一個(gè)數(shù)是多少,。 ( 6) 解答除法應(yīng)用題： a把一個(gè)數(shù)平均分成幾份,，求每一份是多少的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)和把這個(gè)數(shù)平均分成幾份的，求每一份是多少,。 b求一個(gè)數(shù)里包含幾個(gè)另一個(gè)數(shù)的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)和每份是多少,，求可以分成幾份。 C 求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的的幾倍的應(yīng)用題：已知甲數(shù)乙數(shù)各是多少,，求較大數(shù)是較小數(shù)的幾倍,。 d已知一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，求這個(gè)數(shù)的應(yīng)用題,。 （7）常見的數(shù)量關(guān)系： 總價(jià)= 單價(jià)×數(shù)量 路程= 速度×時(shí)間 工作總量=工作時(shí)間×工效 總產(chǎn)量=單產(chǎn)量×數(shù)量 3典型應(yīng)用題 具有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特征的和特定的解題規(guī)律的復(fù)合應(yīng)用題,，通常叫做典型應(yīng)用題。 （1）平均數(shù)問題：平均數(shù)是等分除法的發(fā)展,。 解題關(guān)鍵：在于確定總數(shù)量和與之相對(duì)應(yīng)的總份數(shù),。 算術(shù)平均數(shù)：已知幾個(gè)不相等的同類量和與之相對(duì)應(yīng)的份數(shù)，求平均每份是多少,。數(shù)量關(guān)系式：數(shù)量之和÷數(shù)量的個(gè)數(shù)=算術(shù)平均數(shù),。 加權(quán)平均數(shù)：已知兩個(gè)以上若干份的平均數(shù)，求總平均數(shù)是多少,。 數(shù)量關(guān)系式
（部分平均數(shù)×權(quán)數(shù)）的總和÷（權(quán)數(shù)的和）=加權(quán)平均數(shù),。 差額平均數(shù)：是把各個(gè)大于或小于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的部分之和被總份數(shù)均分，求的是標(biāo)準(zhǔn)數(shù)與各數(shù)相差之和的平均數(shù),。 數(shù)量關(guān)系式：（大數(shù)－小數(shù)）÷2=小數(shù)應(yīng)得數(shù) 最大數(shù)與各數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最大數(shù)應(yīng)給數(shù)
最大數(shù)與個(gè)數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最小數(shù)應(yīng)得數(shù),。 例：一輛汽車以每小時(shí) 100 千米 的速度從甲地開往乙地，又以每小時(shí) 60 千米的速度從乙地開往甲地,。求這輛車的平均速度,。 分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設(shè)為“ 1 ”,，則汽車行駛的總路程為“ 2 ”,，從甲地到乙地的速度為 100 ，所用的時(shí)間為 ,，汽車從乙地到甲地速度為 60 千米,，所用的時(shí)間是 ，汽車共行的時(shí)間為 + = , 汽車的平均速度為 2 ÷
=75 （千米） （2）歸一問題：已知相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量,，其中一種量改變,，另一種量也隨之而改變,，其變化的規(guī)律是相同的，這種問題稱之為歸一問題,。 根據(jù)求“單一量”的步驟的多少，歸一問題可以分為一次歸一問題,，兩次歸一問題,。 根據(jù)球癡單一量之后，解題采用乘法還是除法,，歸一問題可以分為正歸一問題,，反歸一問題。 一次歸一問題,，用一步運(yùn)算就能求出“單一量”的歸一問題,。又稱“單歸一。” 兩次歸一問題,，用兩步運(yùn)算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙歸一,。” 正歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后,，再用乘法計(jì)算結(jié)果的歸一問題。 反歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用除法計(jì)算結(jié)果的歸一問題。 解題關(guān)鍵：從已知的一組對(duì)應(yīng)量中用等分除法求出一份的數(shù)量（單一量），然后以它為標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)題目的要求算出結(jié)果,。 數(shù)量關(guān)系式：?jiǎn)我涣?span lang="EN-US">×份數(shù)=總數(shù)量（正歸一） 總數(shù)量÷單一量=份數(shù)（反歸一） 例 一個(gè)織布工人，在七月份織布 4774 米 ， 照這樣計(jì)算，織布 6930 米，需要多少天,？ 分析：必須先求出平均每天織布多少米,，就是單一量,。 693 0 ÷（ 477 4 ÷ 31 ） =45 （天） （3）歸總問題：是已知單位數(shù)量和計(jì)量單位數(shù)量的個(gè)數(shù)，以及不同的單位數(shù)量（或單位數(shù)量的個(gè)數(shù)），通過求總數(shù)量求得單位數(shù)量的個(gè)數(shù)（或單位數(shù)量）。 特點(diǎn)：兩種相關(guān)聯(lián)的量,，其中一種量變化,，另一種量也跟著變化，不過變化的規(guī)律相反，和反比例算法彼此相通。 數(shù)量關(guān)系式：?jiǎn)挝粩?shù)量×單位個(gè)數(shù)÷另一個(gè)單位數(shù)量 = 另一個(gè)單位數(shù)量 單位數(shù)量×單位個(gè)數(shù)÷另一個(gè)單位數(shù)量= 另一個(gè)單位數(shù)量,。 例 修一條水渠，原計(jì)劃每天修 800 米 ， 6 天修完。實(shí)際 4 天修完，每天修了多少米？ 分析：因?yàn)橐蟪雒刻煨薜拈L(zhǎng)度，就必須先求出水渠的長(zhǎng)度。所以也把這類應(yīng)用題叫做“歸總問題”,。不同之處是“歸一”先求出單一量,，再求總量,，歸總問題是先求出總量,，再求單一量,。 80 0 × 6 ÷
4=1200 （米） （4）和差問題：已知大小兩個(gè)數(shù)的和，以及他們的差,，求這兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題叫做和差問題,。 解題關(guān)鍵：是把大小兩個(gè)數(shù)的和轉(zhuǎn)化成兩個(gè)大數(shù)的和（或兩個(gè)小數(shù)的和），然后再求另一個(gè)數(shù),。 解題規(guī)律：（和＋差）÷2 = 大數(shù) 大數(shù)－差=小數(shù) （和－差）÷2=小數(shù) 和－小數(shù)= 大數(shù) 例 某加工廠甲班和乙班共有工人 94 人,，因工作需要臨時(shí)從乙班調(diào) 46 人到甲班工作，這時(shí)乙班比甲班人數(shù)少 12 人，求原來甲班和乙班各有多少人,？ 分析：從乙班調(diào) 46 人到甲班,，對(duì)于總數(shù)沒有變化，現(xiàn)在把乙數(shù)轉(zhuǎn)化成 2 個(gè)乙班,，即 9 4 － 12 ,，由此得到現(xiàn)在的乙班是（ 9 4 － 12 ）÷ 2=41 （人），乙班在調(diào)出 46 人之前應(yīng)該為 41+46=87 （人）,，甲班為 9 4 － 87=7 （人） （5）和倍問題：已知兩個(gè)數(shù)的和及它們之間的倍數(shù)關(guān)系,，求兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題，叫做和倍問題,。 解題關(guān)鍵：找準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)（即1倍數(shù)）一般說來,，題中說是“誰”的幾倍，把誰就確定為標(biāo)準(zhǔn)數(shù),。求出倍數(shù)和之后,，再求出標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量是多少。根據(jù)另一個(gè)數(shù)（也可能是幾個(gè)數(shù)）與標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系,，再去求另一個(gè)數(shù)（或幾個(gè)數(shù)）的數(shù)量,。 解題規(guī)律：和÷倍數(shù)和=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)
標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×倍數(shù)=另一個(gè)數(shù) 例:汽車運(yùn)輸場(chǎng)有大小貨車 115 輛，大貨車比小貨車的 5 倍多 7 輛,，運(yùn)輸場(chǎng)有大貨車和小汽車各有多少輛,？ 分析：大貨車比小貨車的 5 倍還多 7 輛，這 7 輛也在總數(shù) 115 輛內(nèi),，為了使總數(shù)與（ 5+1 ）倍對(duì)應(yīng),，總車輛數(shù)應(yīng)（ 115-7 ）輛 ,。 列式為（ 115-7 ）÷（ 5+1 ） =18 （輛）,， 18 × 5+7=97 （輛） （6）差倍問題：已知兩個(gè)數(shù)的差，及兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系,，求兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題,。 解題規(guī)律：兩個(gè)數(shù)的差÷（倍數(shù)－1 ）= 標(biāo)準(zhǔn)數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×倍數(shù)=另一個(gè)數(shù)。 例 甲乙兩根繩子,，甲繩長(zhǎng) 63 米 ,，乙繩長(zhǎng) 29 米 ，兩根繩剪去同樣的長(zhǎng)度,，結(jié)果甲所剩的長(zhǎng)度是乙繩
長(zhǎng)的 3 倍,，甲乙兩繩所剩長(zhǎng)度各多少米？ 各減去多少米,？ 分析：兩根繩子剪去相同的一段,，長(zhǎng)度差沒變，甲繩所剩的長(zhǎng)度是乙繩的 3 倍，實(shí)比乙繩多（ 3-1 ）倍,，以乙繩的長(zhǎng)度為標(biāo)準(zhǔn)數(shù),。列式（ 63-29 ）÷（ 3-1 ） =17 （米）…乙繩剩下的長(zhǎng)度， 17
× 3=51 （米）…甲繩剩下的長(zhǎng)度,， 29-17=12 （米）…剪去的長(zhǎng)度,。 （7）行程問題：關(guān)于走路、行車等問題,，一般都是計(jì)算路程,、時(shí)間、速度,，叫做行程問題,。解答這類問題首先要搞清楚速度、時(shí)間,、路程,、方向、杜速度和,、速度差等概念,，了解他們之間的關(guān)系，再根據(jù)這類問題的規(guī)律解答,。 解題關(guān)鍵及規(guī)律： 同時(shí)同地相背而行：路程=速度和×時(shí)間,。 同時(shí)相向而行：相遇時(shí)間=速度和×時(shí)間 同時(shí)同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及時(shí)間=路程速度差,。 同時(shí)同地同向而行（速度慢的在后,，快的在前）：路程=速度差×時(shí)間。 例 甲在乙的后面 28 千米 ,，兩人同時(shí)同向而行,，甲每小時(shí)行 16 千米 ，乙每小時(shí)行 9 千米,，甲幾小時(shí)追上乙？ 分析：甲每小時(shí)比乙多行（ 16-9 ）千米,，也就是甲每小時(shí)可以追近乙（ 16-9 ）千米，這是速度差,。 已知甲在乙的后面 28 千米 （追擊路程）,， 28 千米 里包含著幾個(gè)（ 16-9 ）千米，也就是追擊所需要的時(shí)間,。列式 2 8 ÷ （ 16-9 ） =4 （小時(shí)） （8）流水問題：一般是研究船在“流水”中航行的問題,。它是行程問題中比較特殊的一種類型,，它也是一種和差問題。它的特點(diǎn)主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用,。 船速：船在靜水中航行的速度,。 水速：水流動(dòng)的速度。 順?biāo)俣龋捍樍骱叫械乃俣取?span lang="EN-US"> 逆水速度：船逆流航行的速度,。 順?biāo)?span lang="EN-US">=船速＋水速 逆速=船速－水速 解題關(guān)鍵：因?yàn)轫樍魉俣仁谴倥c水速的和,，逆流速度是船速與水速的差，所以流水問題當(dāng)作和差問題解答,。解題時(shí)要以水流為線索,。 解題規(guī)律：船行速度=（順?biāo)俣?span lang="EN-US">+ 逆流速度）÷2 流水速度=（順流速度逆流速度）÷2 路程=順流速度× 順流航行所需時(shí)間 路程=逆流速度×逆流航行所需時(shí)間 例 一只輪船從甲地開往乙地順?biāo)校啃r(shí)行 28 千米 ,，到乙地后,，又逆水 航行，回到甲地,。逆水比順?biāo)嘈?span lang="EN-US"> 2 小時(shí),，已知水速每小時(shí) 4 千米。求甲乙兩地相距多少千米,？ 分析：此題必須先知道順?biāo)乃俣群晚標(biāo)枰臅r(shí)間,，或者逆水速度和逆水的時(shí)間,。已知順?biāo)俣群退魉俣?，因此不難算出逆水的速度，但順?biāo)玫臅r(shí)間,，逆水所用的時(shí)間不知道,，只知道順?biāo)饶嫠儆?span lang="EN-US"> 2 小時(shí),，抓住這一點(diǎn),，就可以就能算出順?biāo)畯募椎氐揭业氐乃玫臅r(shí)間，這樣就能算出甲乙兩地的路程,。列式為 284 × 2=20 （千米） 2 0 × 2 =40 （千米） 40 ÷（ 4 × 2 ） =5 （小時(shí)） 28 × 5=140 （千米）,。 （9）還原問題：已知某未知數(shù)，經(jīng)過一定的四則運(yùn)算后所得的結(jié)果,，求這個(gè)未知數(shù)的應(yīng)用題,，我們叫做還原問題,。 解題關(guān)鍵：要弄清每一步變化與未知數(shù)的關(guān)系。 解題規(guī)律：從最后結(jié)果
出發(fā),，采用與原題中相反的運(yùn)算（逆運(yùn)算）方法,，逐步推導(dǎo)出原數(shù)。 根據(jù)原題的運(yùn)算順序列出數(shù)量關(guān)系,，然后采用逆運(yùn)算的方法計(jì)算推導(dǎo)出原數(shù),。 解答還原問題時(shí)注意觀察運(yùn)算的順序。若需要先算加減法,，后算乘除法時(shí)別忘記寫括號(hào),。 例 某小學(xué)三年級(jí)四個(gè)班共有學(xué)生 168 人,，如果四班調(diào) 3 人到三班，三班調(diào) 6 人到二班，二班調(diào) 6 人到一班,，一班調(diào) 2 人到四班，則四個(gè)班的人數(shù)相等,，四個(gè)班原有學(xué)生多少人,？ 分析：當(dāng)四個(gè)班人數(shù)相等時(shí)，應(yīng)為 168 ÷ 4 ,，以四班為例,，它調(diào)給三班 3 人，又從一班調(diào)入 2 人,，所以四班原有的人數(shù)減去 3 再加上 2 等于平均數(shù),。四班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-2+3=43 （人） 一班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-6+2=38 （人）；二班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-6+6=42
（人）三班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-3+6=45 （人）,。 （10）植樹問題：這類應(yīng)用題是以“植樹”為內(nèi)容,。凡是研究總路程、株距,、段數(shù),、棵樹四種數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題，叫做植樹問題,。 解題關(guān)鍵：解答植樹問題首先要判斷地形,，分清是否封閉圖形，從而確定是沿線段植樹還是沿周長(zhǎng)植樹,，然后按基本公式進(jìn)行計(jì)算,。 解題規(guī)律：沿線段植樹 棵樹=段數(shù)+1 棵樹=總路程÷株距+1 株距=總路程÷（棵樹-1） 總路程=株距×（棵樹-1） 沿周長(zhǎng)植樹 棵樹=總路程÷株距 株距=總路程÷棵樹 總路程=株距×棵樹 例 沿公路一旁埋電線桿 301 根，每相鄰的兩根的間距是 50 米 ,。后來全部改裝,，只埋了201 根。求改裝后每相鄰兩根的間距,。 分析：本題是沿線段埋電線桿,，要把電線桿的根數(shù)減掉一,。列式為 50 ×（ 301-1 ）÷（ 201-1 ） =75 （米） （11 ）盈虧問題：是在等分除法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。他的特點(diǎn)是把一定數(shù)量的物品,，平均分配給一定數(shù)量的人,，在兩次分配中，一次有余,，一次不足（或兩次都有余）,，或兩次都不足），已知所余和不足的數(shù)量,，求物品適量和參加分配人數(shù)的問題,，叫做盈虧問題。 解題關(guān)鍵：盈虧問題的解法要點(diǎn)是先求兩次分配中分配者沒份所得物品數(shù)量的差,，再求兩次分配中各次共分物品的差（也稱總差額）,，用前一個(gè)差去除后一個(gè)差，就得到分配者的數(shù),，進(jìn)而再求得物品數(shù),。 解題規(guī)律：總差額÷每人差額=人數(shù) 總差額的求法可以分為以下四種情況： 第一次多余，第二次不足,，總差額=多余+ 不足 第一次正好,，第二次多余或不足
，總差額=多余或不足 第一次多余,，第二次也多余,，總差額=大多余-小多余 第一次不足，第二次也不足,，
總差額= 大不足-小不足 例 參加美術(shù)小組的同學(xué),，每個(gè)人分的相同的支數(shù)的色筆，如果小組 10 人,，則多 25 支,，如果小組有
12 人，色筆多余 5 支,。求每人 分得幾支,？共有多少支色鉛筆？ 分析：每個(gè)同學(xué)分到的色筆相等,。這個(gè)活動(dòng)小組有 12 人,，比 10 人多 2 人，而色筆多出了（ 25-5 ） =20 支 ,， 2 個(gè)人多出 20 支,，一個(gè)人分得 10 支,。列式為（ 25-5 ）÷（ 12-10 ） =10 （支） 10 × 12+5=125 （支）,。 （12）年齡問題：將差為一定值的兩個(gè)數(shù)作為題中的一個(gè)條件,，這種應(yīng)用題被稱為“年齡問題”。 解題關(guān)鍵：年齡問題與和差,、和倍,、差倍問題類似，主要特點(diǎn)是隨著時(shí)間的變化,，年歲不斷增長(zhǎng),，但大小兩個(gè)不同年齡的差是不會(huì)改變的，因此,，年齡問題是一種“差不變”的問題,，解題時(shí)，要善于利用差不變的特點(diǎn),。 例 父親 48 歲,，兒子 21 歲。問幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍,？ 分析：父子的年齡差為 48-21=27 （歲）,。由于幾年前父親年齡是兒子的 4 倍，可知父子年齡的倍數(shù)差是（ 4-1 ）倍,。這樣可以算出幾年前父子的年齡,，從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍。列式為： 21（ 48-21 ）÷（ 4-1 ） =12 （年） （13）雞兔問題：已知“雞兔”的總頭數(shù)和總腿數(shù),。求“雞”和“兔”各多少只的一類應(yīng)用題,。通常稱為“雞兔問題”又稱雞兔同籠問題 解題關(guān)鍵：解答雞兔問題一般采用假設(shè)法，假設(shè)全是一種動(dòng)物（如全是“雞”或全是“兔”,，然后根據(jù)出現(xiàn)的腿數(shù)差,，可推算出某一種的頭數(shù)。 解題規(guī)律：（總腿數(shù)－雞腿數(shù)×總頭數(shù)）÷一只雞兔腿數(shù)的差=兔子只數(shù) 兔子只數(shù)=（總腿數(shù)-2×總頭數(shù)）÷2 如果假設(shè)全是兔子,，可以有下面的式子： 雞的只數(shù)=（4×總頭數(shù)-總腿數(shù)）÷2 兔的頭數(shù)=總頭數(shù)-雞的只數(shù) 例 雞兔同籠共 50 個(gè)頭,， 170 條腿。問雞兔各有多少只,？ 兔子只數(shù)
（ 170-2 × 50 ）÷ 2 =35 （只） 雞的只數(shù) 50-35=15 （只） - （二）分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用 1 分?jǐn)?shù)加減法應(yīng)用題： 分?jǐn)?shù)加減法的應(yīng)用題與整數(shù)加減法的應(yīng)用題的結(jié)構(gòu),、數(shù)量關(guān)系和解題方法基本相同，所不同的只是在已知數(shù)或未知數(shù)中含有分?jǐn)?shù),。 2分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題： 是指已知一個(gè)數(shù),，求它的幾分之幾是多少的應(yīng)用題。 特征：已知單位“1”的量和分率,，求與分率所對(duì)應(yīng)的實(shí)際數(shù)量,。 解題關(guān)鍵：準(zhǔn)確判斷單位“1”的量。找準(zhǔn)要求問題所對(duì)應(yīng)的分率,，然后根據(jù)一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義正確列式,。 3 分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題： 求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）是多少,。 特征：已知一個(gè)數(shù)和另一個(gè)數(shù)，求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾或百分之幾,。“一個(gè)數(shù)”是比較量,，“另一個(gè)數(shù)”是標(biāo)準(zhǔn)量。求分率或百分率,，也就是求他們的倍數(shù)關(guān)系,。 解題關(guān)鍵：從問題入手，搞清把誰看作標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)也就是把誰看作了“單位一”,，誰和單位一的量作比較,，誰就作被除數(shù)。 甲是乙的幾分之幾（百分之幾）:甲是比較量,，乙是標(biāo)準(zhǔn)量,，用甲除以乙。 甲比乙多（或少）幾分之幾（百分之幾）：甲減乙比乙多（或少幾分之幾）或（百分之幾）,。關(guān)系式（甲數(shù)減乙數(shù)）/乙數(shù)或（甲數(shù)減乙數(shù)）/甲數(shù),。 已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾（或百分之幾 ) ,求這個(gè)數(shù)。 特征：已知一個(gè)實(shí)際數(shù)量和它相對(duì)應(yīng)的分率,，求單位“1”的量,。 解題關(guān)鍵：準(zhǔn)確判斷單位“1”的量把單位“1”的量看成x根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義列方程，或者根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義列算式,，但必須找準(zhǔn)和分率相對(duì)應(yīng)的已知實(shí)際 數(shù)量,。 4 出勤率 發(fā)芽率=發(fā)芽種子數(shù)/試驗(yàn)種子數(shù)×100% 小麥的出粉率= 面粉的重量/小麥的重量×100% 產(chǎn)品的合格率=合格的產(chǎn)品數(shù)/產(chǎn)品總數(shù)×100% 職工的出勤率=實(shí)際出勤人數(shù)/應(yīng)出勤人數(shù)×100% 5 工程問題： 是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的特例，它與整數(shù)的工作問題有著密切的聯(lián)系,。它是探討工作總量,、工作效率和工作時(shí)間三個(gè)數(shù)量之間相互關(guān)系的一種應(yīng)用題。 解題關(guān)鍵：把工作總量看作單位“1”,，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù),，然后根據(jù)題目的具體情況，靈活運(yùn)用公式,。 數(shù)量關(guān)系式： 工作總量=工作效率×工作時(shí)間 工作效率=工作總量÷工作時(shí)間 工作時(shí)間=工作總量÷工作效率 工作總量÷工作效率和=合作時(shí)間 6 納稅 納稅就是把根據(jù)國(guó)家各種稅法的有關(guān)規(guī)定,，按照一定的比率把集體或個(gè)人收入的一部分繳納給國(guó)家。 繳納的稅款叫應(yīng)納稅款,。 應(yīng)納稅額與各種收入的（銷售額,、營(yíng)業(yè)額、應(yīng)納稅所得額 ……）的比率叫做稅率,。 * 利息 存入銀行的錢叫做本金,。 取款時(shí)銀行多支付的錢叫做利息。 利息與本金的比值叫做利率。 利息=本金×利率×時(shí)間 -- 第二章 度量衡 一 長(zhǎng)度 (一) 什么是長(zhǎng)度 長(zhǎng)度是一維空間的度量,。 (二) 長(zhǎng)度常用單位 * 公里(km) * 米(m) * 分米(dm) * 厘米(cm) * 毫米(mm)
* 微米(um) (三) 單位之間的換算 * 1毫米 ＝1000微米 * 1厘米
＝10 毫米 * 1分米 ＝10 厘米 * 1米 ＝1000
毫米 * 1千米＝1000 米 二 面積 （一）什么是面積 面積，就是物體所占平面的大小,。對(duì)立體物體的表面的多少的測(cè)量一般稱表面積,。 （二）常用的面積單位 * 平方毫米 * 平方厘米
* 平方分米 * 平方米 * 平方千米 （三）面積單位的換算 * 1平方厘米 ＝100 平方毫米 *
1平方分米=100平方厘米 * 1平方米
＝100 平方分米 * 1公傾 ＝10000 平方米 *
1平方公里 ＝100 公頃 三 體積和容積 （一）什么是體積,、容積 體積,，就是物體所占空間的大小。 容積,，箱子,、油桶、倉(cāng)庫(kù)等所能容納物體的體積,，通常叫做它們的容積,。 （二）常用單位 1 體積單位 * 立方米 * 立方分米
* 立方厘米 2 容積單位 * 升 *
毫升 （三）單位換算 1 體積單位 * 1立方米=1000立方分米 * 1立方分米=1000立方厘米 2 容積單位 * 1升=1000毫升 * 1升=1立方米 * 1毫升=1立方厘米 四 質(zhì)量 （一）什么是質(zhì)量 質(zhì)量，就是表示表示物體有多重,。 （二）常用單位 * 噸 t * 千克
kg * 克 g （三）常用換算 * 一噸=1000千克 * 1千克=1000克 五 時(shí)間 （一）什么是時(shí)間 是指有起點(diǎn)和終點(diǎn)的一段時(shí)間 （二）常用單位 世紀(jì),、
年 、 月 ,、 日 ,、 時(shí) 、 分,、 秒 （三）單位換算 * 1世紀(jì)=100年 * 1年=365天 平年 * 一年=366天 閏年 * 一,、三、五,、七,、八、十,、十二是大月 大月有31 天 * 四,、六、九,、十一是小月小月 小月有30天 * 平年2月有28天 閏年2月有29天 * 1天= 24小時(shí) * 1小時(shí)=60分 * 一分=60秒 六 貨幣 （一）什么是貨幣 貨幣是充當(dāng)一切商品的等價(jià)物的特殊商品,。貨幣是價(jià)值的一般代表，可以購(gòu)買任何別的商品,。 （二）常用單位 * 元 * 角 * 分 （三）單位換算 * 1元=10角 * 1角=10分 - 第三章 代數(shù)初步知識(shí) 一,、用字母表示數(shù) 1 用字母表示數(shù)的意義和作用 * 用字母表示數(shù)，可以把數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)明的表達(dá)出來,，同時(shí)也可以表示運(yùn)算的結(jié)果,。 2用字母表示常見的數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算定律和性質(zhì)、幾何形體的計(jì)算公式 （1）常見的數(shù)量關(guān)系 路程用s表示,，速度v用表示,，時(shí)間用t表示，三者之間的關(guān)系： s=vt v=s/t t=s/v 總價(jià)用a表示,，單價(jià)用b表示,，數(shù)量用c表示，三者之間的關(guān)系: a=bc b=a/c c=a/b （2）運(yùn)算定律和性質(zhì) 加法交換律：a+b=b+a 加法結(jié)合律：（a+b)+c=a+(b+c) 乘法交換律：ab=ba 乘法結(jié)合律：（ab)c=a(bc) 乘法分配律：（a+b)c=ac+bc 減法的性質(zhì)：a-(b+c) =a-b-c （3）用字母表示幾何形體的公式 長(zhǎng)方形的長(zhǎng)用a表示,，寬用b表示,，周長(zhǎng)用c表示，面積用s表示,。 c=2(a+b) s=ab 正方形的邊長(zhǎng)a用表示,，周長(zhǎng)用c表示，面積用s表示,。 c=4a s=a2 平行四邊形的底a用表示,，高用h表示，面積用s表示,。 s=ah 三角形的底用a表示,，高用h表示，面積用s表示,。 s=ah/2 梯形的上底用a表示,，下底b用表示，高用h表示,，中位線用m表示,，面積用s表示。 s=(a+b)h/2 s=mh 圓的半徑用r表示,，直徑用d表示,，周長(zhǎng)用c表示，面積用s表示,。 c=∏d=2∏r s=∏ r2 扇形的半徑用r表示,，n表示圓心角的度數(shù)，面積用s表示,。 s=∏ nr2/360 長(zhǎng)方體的長(zhǎng)用a表示,，寬用b表示，高用h表示,，表面積用s表示,，體積用v表示。 v=sh s=2(ab+ah+bh) v=abh 正方體的棱長(zhǎng)用a表示,，底面周長(zhǎng)c用表示,，底面積用s表示,，
體積用v表示. s=6a2 v=a3 圓柱的高用h表示，底面周長(zhǎng)用c表示,，底面積用s表示,，
體積用v表示. s側(cè)=ch s表=s側(cè)+2s底 v=sh 圓錐的高用h表示，底面積用s表示,， 體積用v表示. v=sh/3 3 用字母表示數(shù)的寫法 數(shù)字和字母,、字母和字母相乘時(shí)，乘號(hào)可以記作“.”,，或者省略不寫,，數(shù)字要寫在字母的前面。 當(dāng)“1”與任何字母相乘時(shí),，“1”省略不寫,。 在一個(gè)問題中,，同一個(gè)字母表示同一個(gè)量,，不同的量用不同的字母表示。 用含有字母的式子表示問題的答案時(shí),，除數(shù)一般寫成分母,，如果式子中有加號(hào)或者減號(hào)，要先用括號(hào)把含字母的式子括起來,，再在括號(hào)后面寫上單位的名稱,。 4將數(shù)值代入式子求值 * 把具體的數(shù)代入式子求值時(shí)，要注意書寫格式：先寫出字母等于幾,，然后寫出原式,，再把數(shù)代入式子求值。字母表示的是數(shù),，后面不寫單位名稱,。 * 同一個(gè)式子，式子中所含字母取不同的數(shù)值,，那么所求出的式子的值也不相同,。 二、簡(jiǎn)易方程 （一）方程和方程的解 1方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程,。 注意方程是等式,，又含有未知數(shù)，兩者缺一不可,。 方程和算術(shù)式不同,。算術(shù)式是一個(gè)式子，它由運(yùn)算符號(hào)和已知數(shù)組成,，它表示未知數(shù),。方程是一個(gè)等式,，在方程里的未知數(shù)可以參加運(yùn)算，并且只有當(dāng)未知數(shù)為特定的數(shù)值時(shí),，方程才成立
,。 2 方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解,。 三,、解方程 解方程，求方程的解的過程叫做解方程,。 四,、列方程解應(yīng)用題 1 列方程解應(yīng)用題的意義 * 用方程式去解答應(yīng)用題求得應(yīng)用題的未知量的方法。 2 列方程解答應(yīng)用題的步驟 * 弄清題意,，確定未知數(shù)并用x表示,； * 找出題中的數(shù)量之間的相等關(guān)系； * 列方程,，解方程,； * 檢查或驗(yàn)算，寫出答案,。 3列方程解應(yīng)用題的方法 * 綜合法：先把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式,，再找出它們之間的等量關(guān)系，進(jìn)而列出方程,。這是從部分到整體的一種思維過程,，其思考方向是從已知到未知。 * 分析法：先找出等量關(guān)系,，再根據(jù)具體建立等量關(guān)系的需要,，把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)的未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式進(jìn)而列出方程。這是從整體到部分的一種思維過程,，其思考方向是從未知到已知,。 4列方程解應(yīng)用題的范圍 小學(xué)范圍內(nèi)常用方程解的應(yīng)用題： a一般應(yīng)用題； b和倍,、差倍問題,； c幾何形體的周長(zhǎng)、面積,、體積計(jì)算,； d 分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題,； e 比和比例應(yīng)用題,。 五 比和比例 1比的意義和性質(zhì) （1） 比的意義 兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比。 “：”是比號(hào),，讀作“比”,。比號(hào)前面的數(shù)叫做比的前項(xiàng),，比號(hào)后面的數(shù)叫做比的后項(xiàng)。比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商,，叫做比值,。 同除法比較，比的前項(xiàng)相當(dāng)于被除數(shù),，后項(xiàng)相當(dāng)于除數(shù),，比值相當(dāng)于商。 比值通常用分?jǐn)?shù)表示,，也可以用小數(shù)表示,，有時(shí)也可能是整數(shù)。 比的后項(xiàng)不能是零,。 根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系,，可知比的前項(xiàng)相當(dāng)于分子，后項(xiàng)相當(dāng)于分母,，比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)值,。 （2）比的性質(zhì) 比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘上或者除以相同的數(shù)（0除外），比值不變,，這叫做比的基本性質(zhì),。 （3） 求比值和化簡(jiǎn)比 求比值的方法：用比的前項(xiàng)除以后項(xiàng),，它的結(jié)果是一個(gè)數(shù)值可以是整數(shù),，也可以是小數(shù)或分?jǐn)?shù)。 根據(jù)比的基本性質(zhì)可以把比化成最簡(jiǎn)單的整數(shù)比,。它的結(jié)果必須是一個(gè)最簡(jiǎn)比,，即前、后項(xiàng)是互質(zhì)的數(shù),。 （4）比例尺 圖上距離：實(shí)際距離=比例尺 要求會(huì)求比例尺,；已知圖上距離和比例尺求實(shí)際距離；已知實(shí)際距離和比例尺求圖上距離,。 線段比例尺：在圖上附有一條注有數(shù)目的線段，用來表示和地面上相對(duì)應(yīng)的實(shí)際距離,。 （5）按比例分配 在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中,，常常需要把一個(gè)數(shù)量按照一定的比來進(jìn)行分配。這種分配的方法通常叫做按比例分配,。 方法：首先求出各部分占總量的幾分之幾,，然后求出總數(shù)的幾分之幾是多少。 2 比例的意義和性質(zhì) （1） 比例的意義 表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例,。 組成比例的四個(gè)數(shù),，叫做比例的項(xiàng),。 兩端的兩項(xiàng)叫做外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做內(nèi)項(xiàng),。 （2）比例的性質(zhì) 在比例里,，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)兩個(gè)內(nèi)向的積。這叫做比例的基本性質(zhì),。 （3）解比例 根據(jù)比例的基本性質(zhì),，如果已知比例中的任何三項(xiàng)，就可以求出這個(gè)數(shù)比例中的另外一個(gè)未知項(xiàng),。求比例中的未知項(xiàng),，叫做解比例。 3 正比例和反比例 （1） 成正比例的量 兩種相關(guān)聯(lián)的量,，一種量變化,，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值（也就是商）一定,，這兩種量就叫做成正比例的量,，他們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。 用字母表示y/x=k(一定） （2）成反比例的量 兩種相關(guān)聯(lián)的量,，一種量變化,，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定,，這兩種量就叫做成反比例的量,，他們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。 用字母表示x×y=k(一定) 第四章 幾何的初步知識(shí) 一 線和角 （1）線 * 直線 直線沒有端點(diǎn),；長(zhǎng)度無限,；過一點(diǎn)可以畫無數(shù)條，過兩點(diǎn)只能畫一條直線,。 * 射線 射線只有一個(gè)端點(diǎn),；長(zhǎng)度無限。 * 線段 線段有兩個(gè)端點(diǎn),，它是直線的一部分,；長(zhǎng)度有限；兩點(diǎn)的連線中,，線段為最短,。 * 平行線 在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線,。 兩條平行線之間的垂線長(zhǎng)度都相等,。 * 垂線 兩條直線相交成直角時(shí)，這兩條直線叫做互相垂直,，其中一條直線叫做另一條直線的垂線,相交的點(diǎn)叫做垂足,。 從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫的垂線的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到直線的距離,。 （2）角 （1）從一點(diǎn)引出兩條射線，所組成的圖形叫做角,。這個(gè)點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn),，這兩條射線叫做角的邊。 （2）角的分類 銳角：小于90°的角叫做銳角,。 直角：等于90°的角叫做直角,。 鈍角：大于90°而小于180°的角叫做鈍角。 平角：角的兩邊成一條直線,，這時(shí)所組成的角叫做平角,。平角180°。 周角：角的一邊旋轉(zhuǎn)一周,，與另一邊重合,。周角是360°。 二 平面圖形 1長(zhǎng)方形 （1）特征 對(duì)邊相等,，4個(gè)角都是直角的四邊形,。有兩條對(duì)稱軸。 （2）計(jì)算公式 c=2(a+b) s=ab 2正方形 （1）特征： 四條邊都相等,，四個(gè)角都是直角的四邊形,。有4條對(duì)稱軸。 （2）計(jì)算公式 c=4a s=a2 3三角形 （1）特征 由三條線段圍成的圖形,。內(nèi)角和是180度,。三角形具有穩(wěn)定性。三角形有三條高,。 （2）計(jì)算公式 s=ah/2 （3） 分類 按角分 銳角三角形
：三個(gè)角都是銳角,。 直角三角形
：有一個(gè)角是直角。等腰三角形的兩個(gè)銳角各為45度,，它有一條對(duì)稱軸。 鈍角三角形：有一個(gè)角是鈍角,。 按邊分 不等邊三角形：三條邊長(zhǎng)度不相等,。 等腰三角形：有兩條邊長(zhǎng)度相等；兩個(gè)底角相等,；有一條對(duì)稱軸,。 等邊三角形：三條邊長(zhǎng)度都相等；三個(gè)內(nèi)角都是60度,；有三條對(duì)稱軸,。 4平行四邊形 （1） 特征 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形。 相對(duì)的邊平行且相等,。對(duì)角相等,，相鄰的兩個(gè)角的度數(shù)之和為180度,。平行四邊形容易變形。 （2） 計(jì)算公式 s=ah 5 梯形 （1）特征 只有一組對(duì)邊平行的四邊形,。 中位線等于上下底和的一半,。 等腰梯形有一條對(duì)稱軸。 （2） 公式 s=(a+b)h/2=mh 6 圓 （1） 圓的認(rèn)識(shí) 平面上的一種曲線圖形,。 圓中心的一點(diǎn)叫做圓心,。一般用字母o表示。 半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段叫做半徑,。一般用r表示,。 在同一個(gè)圓里，有無數(shù)條半徑,，每條半徑的長(zhǎng)度都相等,。 通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用d表示,。 同一個(gè)圓里有無數(shù)條直徑,，所有的直徑都相等。 同一個(gè)圓里,，直徑等于兩個(gè)半徑的長(zhǎng)度,，即d=2r。 圓的大小由半徑?jīng)Q定,。
圓有無數(shù)條對(duì)稱軸,。 （2）圓的畫法 把圓規(guī)的兩腳分開，定好兩腳間的距離（即半徑）,； 把有針尖的一只腳固定在一點(diǎn)（即圓心）上,； 把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉(zhuǎn)一周，就畫出一個(gè)圓,。 （3） 圓的周長(zhǎng) 圍成圓的曲線的長(zhǎng)叫做圓的周長(zhǎng),。 把圓的周長(zhǎng)和直徑的比值叫做圓周率。用字母∏表示,。 （4） 圓的面積 圓所占平面的大小叫做圓的面積,。 （5）計(jì)算公式 d=2r r=d/2 c=∏d c=2∏r s=∏r2 7扇形 （1） 扇形的認(rèn)識(shí) 一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。 圓上AB兩點(diǎn)之間的部分叫做弧,，讀作“弧AB”,。 頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。 在同一個(gè)圓中,，扇形的大小與這個(gè)扇形的圓心角的大小有關(guān),。 扇形有一條對(duì)稱軸。 (2) 計(jì)算公式 s=n∏r2/360 8環(huán)形 (1) 特征 由兩個(gè)半徑不相等的同心圓相減而成，有無數(shù)條對(duì)稱軸,。 (2) 計(jì)算公式 s=∏(R2-r2） 9軸對(duì)稱圖形 (1) 特征 如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折,，兩側(cè)的圖形能夠完全重合，這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形,。折痕所在的這條直線叫做對(duì)稱軸,。 正方形有4條對(duì)稱軸， 長(zhǎng)方形有2條對(duì)稱軸,。 等腰三角形有2條對(duì)稱軸,，等邊三角形有3條對(duì)稱軸。 等腰梯形有一條對(duì)稱軸,，圓有無數(shù)條對(duì)稱軸,。 菱形有4條對(duì)稱軸，扇形有一條對(duì)稱軸,。 三 立體圖形 （一）長(zhǎng)方體 1 特征 六個(gè)面都是長(zhǎng)方形（有時(shí)有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形）,。 相對(duì)的面面積相等，12條棱相對(duì)的4條棱長(zhǎng)度相等,。 有8個(gè)頂點(diǎn),。 相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)度分別叫做長(zhǎng)、寬,、高,。 兩個(gè)面相交的邊叫做棱。 三條棱相交的點(diǎn)叫做頂點(diǎn),。 把長(zhǎng)方體放在桌面上,，最多只能看到三個(gè)面。 長(zhǎng)方體或者正方體6個(gè)面的總面積,，叫做它的表面積,。 2 計(jì)算公式 s=2(ab+ah+bh) V=sh V=abh （二）正方體 1 特征 六個(gè)面都是正方形 六個(gè)面的面積相等 12條棱，棱長(zhǎng)都相等 有8個(gè)頂點(diǎn) 正方體可以看作特殊的長(zhǎng)方體 2 計(jì)算公式 S表=6a2 v=a3 （三）圓柱 1圓柱的認(rèn)識(shí) 圓柱的上下兩個(gè)面叫做底面,。 圓柱有一個(gè)曲面叫做側(cè)面,。 圓柱兩個(gè)底面之間的距離叫做高
。 進(jìn)一法：實(shí)際中,，使用的材料都要比計(jì)算的結(jié)果多一些,，因此，要保留數(shù)的時(shí)候,，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位進(jìn)1,。這種取近似值的方法叫做進(jìn)一法,。 2計(jì)算公式 s側(cè)=ch s表=s側(cè)+s底×2 v=sh/3 （四）圓錐 1 圓錐的認(rèn)識(shí) 圓錐的底面是個(gè)圓，圓錐的側(cè)面是個(gè)曲面,。 從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心的距離是圓錐的高,。 測(cè)量圓錐的高：先把圓錐的底面放平,，用一塊平板水平地放在圓錐的頂點(diǎn)上面，豎直地量出平板和底面之間的距離,。 把圓錐的側(cè)面展開得到一個(gè)扇形,。 2計(jì)算公式 v= sh/3 （五）球 1 認(rèn)識(shí) 球的表面是一個(gè)曲面，這個(gè)曲面叫做球面,。 球和圓類似,，也有一個(gè)球心，用O表示,。 從球心到球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑,，用r表示，每條半徑都相等,。 通過球心并且兩端都在球面上的線段,，叫做球的直徑，用d表示,每條直徑都相等,直徑的長(zhǎng)度等于半徑的2倍,，即d=2r,。 2 計(jì)算公式 - d=2r - -第五章
簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì) 一 統(tǒng)計(jì)表 （一）意義 * 把統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫在一定格式的表格內(nèi)，用來反映情況,、說明問題,，這樣的表格就叫做統(tǒng)計(jì)表。 （二）組成部分 * 一般分為表格外和表格內(nèi)兩部分,。表格外部分包括標(biāo)的名稱,，單位說明和制表日期；表格內(nèi)部包括表頭,、橫標(biāo)目,、縱標(biāo)目和數(shù)據(jù)四個(gè)方面。 （三）種類 * 單式統(tǒng)計(jì)表：只含有一個(gè)項(xiàng)目的統(tǒng)計(jì)表,。 * 復(fù)式統(tǒng)計(jì)表：含有兩個(gè)或兩個(gè)以上統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目的統(tǒng)計(jì)表,。 * 百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)表：不僅表明各統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目的具體數(shù)量，而且表明比較量相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)量的百分比的統(tǒng)計(jì)表,。 （四）制作步驟 1搜集數(shù)據(jù) 2整理數(shù)據(jù)： 要根據(jù)制表的目的和統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容,，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分類。 3設(shè)計(jì)草表： 要根據(jù)統(tǒng)計(jì)的目的和內(nèi)容設(shè)計(jì)分欄格內(nèi)容,、分欄格畫法,，規(guī)定橫欄、豎欄各需幾格,，每格長(zhǎng)度,。 4 正式制表： 把核對(duì)過的數(shù)據(jù)填入表中，并根據(jù)制表要求，用簡(jiǎn)單,、明確的語言寫上統(tǒng)計(jì)表的名稱和制表日期,。 二 統(tǒng)計(jì)圖 （一）意義 * 用點(diǎn)線面積等來表示相關(guān)的量之間的數(shù)量關(guān)系的圖形叫做統(tǒng)計(jì)圖。 （二）分類 1 條形統(tǒng)計(jì)圖 用一個(gè)單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量,，根據(jù)數(shù)量的多少畫成長(zhǎng)短不同的直條,，然后把這些直線按照一定的順序排列起來。 優(yōu)點(diǎn)：很容易看出各種數(shù)量的多少,。 注意：畫條形統(tǒng)計(jì)圖時(shí),，直條的寬窄必須相同。 取一個(gè)單位長(zhǎng)度表示數(shù)量的多少要根據(jù)具體情況而確定,； 復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖中表示不同項(xiàng)目的直條,，要用不同的線條或顏色區(qū)別開，并在制圖日期下面注明圖例,。 制作條形統(tǒng)計(jì)圖的一般步驟: （1）根據(jù)圖紙的大小,，畫出兩條互相垂直的射線。 （2）在水平射線上,，適當(dāng)分配條形的位置,，確定直線的寬度和間隔。 （3）在與水平射線垂直的深線上根據(jù)數(shù)據(jù)大小的具體情況,，確定單位長(zhǎng)度表示多少,。 （4）按照數(shù)據(jù)的大小畫出長(zhǎng)短不同的直條，并注明數(shù)量,。 2 折線統(tǒng)計(jì)圖 用一個(gè)單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量,，根據(jù)數(shù)量的多少描出各點(diǎn)，然后把各點(diǎn)用線段順次連接起來,。 優(yōu)點(diǎn)：不但可以表示數(shù)量的多少,，而且能夠清楚地表示出數(shù)量增減變化的情況。 注意：折線統(tǒng)計(jì)圖的橫軸表示不同的年份,、月份等時(shí)間時(shí),，不同時(shí)間之間的距離要根據(jù)年份或月份的間隔來確定。 制作折線統(tǒng)計(jì)圖的一般步驟: （1）根據(jù)圖紙的大小,，畫出兩條互相垂直的射線,。 （2）在水平射線上，適當(dāng)分配折線的位置,，確定直線的寬度和間隔,。 （3）在與水平射線垂直的深線上根據(jù)數(shù)據(jù)大小的具體情況，確定單位長(zhǎng)度表示多少,。 （4）按照數(shù)據(jù)的大小描出各點(diǎn),，再用線段順次連接起來,，并注明數(shù)量,。 3扇形統(tǒng)計(jì)圖 用整個(gè)圓的面積表示總數(shù),，用扇形面積表示各部分所占總數(shù)的百分?jǐn)?shù)。 優(yōu)點(diǎn)：很清楚地表示出各部分同總數(shù)之間的關(guān)系,。 制扇形統(tǒng)計(jì)圖的一般步驟： （1）先算出各部分?jǐn)?shù)量占總量的百分之幾,。 （2）再算出表示各部分?jǐn)?shù)量的扇形的圓心角度數(shù)。 （3）取適當(dāng)?shù)陌霃疆嬕粋€(gè)圓,，并按照上面算出的圓心角的度數(shù),，在圓里畫出各個(gè)扇形。 （4）在每個(gè)扇形中標(biāo)明所表示的各部分?jǐn)?shù)量名稱和所占的百分?jǐn)?shù),，并用不同顏色或條紋把各個(gè)扇形區(qū)別開,。
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