《龍門鏢局》中的數(shù)學(xué)與趣味說數(shù)之2

  《龍門鏢局》中的數(shù)學(xué)：這是一道求平方根的最簡單數(shù)學(xué)題,，需要初一的數(shù)學(xué)知識。所謂開平方根,，就是找出兩個相同的數(shù),，使他們相乘得到要開平方的數(shù)。因為兩個2相乘等于4,，所以4開平方根就是2,。 因為兩個-2相乘也是4，所以4開平方根還得到一個數(shù)是-2,。

   記得讀高中時,，老師講過一個笑話，說校園里有一間閣樓房子,，它的門只有2的平方根（這是一個無理數(shù),，近似數(shù)為1.414“意思意思”）這么高，大人只能彎著腰進去,，原來是設(shè)計師太粗心,，忘了將這個平方根進行平方。2的平方根再平方后是2米,，這才是門的正常高度,。 木工也上過初中，硬是死心眼地手工算出了2的平方根,，按照算出的數(shù)就做了門,。  

下面是我對數(shù)字2的趣說：2 唯一的偶素數(shù)

（一）最小的偶數(shù)

數(shù)完1后，自然就進入了2,，2是比1多1的數(shù),。2是第一個可拆分的自然數(shù)，2可以分為1和1,。

在漢語里,，表示2的字眼還有“兩”、“對”,、“偶”,、“雙”等，有以下的成語為證,，如兩小無猜,、兩全其美、兩全其美,、兩豆塞耳,、兩虎相斗,、兩虎相爭、兩敗俱傷,、兩相情愿,、雙管齊下、成雙成對,。

整數(shù)可以分為兩類,，一類是奇數(shù)或單數(shù)，一類是偶數(shù)或雙數(shù),。凡是能被2整除的數(shù)是偶數(shù),，例如2、4,、6,、8、10,；不能被2整除的就是是奇數(shù),，例如1,、3,、5、7,、9,、11。

關(guān)于奇數(shù)和偶數(shù),，可以列舉如下的一些性質(zhì)：

（1）任何一個整數(shù)要么是奇數(shù),，要么是偶數(shù)；

（2）兩個連續(xù)整數(shù)中必是一個奇數(shù)一個偶數(shù),，或者奇數(shù)在前,，或者偶數(shù)在前；

（3）奇數(shù)個奇數(shù)相加得到奇數(shù),，例如1+3+5=9,9為奇數(shù),；偶數(shù)個奇數(shù)相加得到偶數(shù)，1+3+5+7=16,16是偶數(shù),；任意多偶數(shù)相加得到偶數(shù),；

（4）奇數(shù)減奇數(shù)得到偶數(shù)，例如7-5=2,；偶數(shù)減偶數(shù)得到偶數(shù),，例如8-6=2；偶數(shù)與奇數(shù)相減得到奇數(shù),，例如8-5=3,，5-2=3,；

（5）若對兩個整數(shù)做加法和減法，得數(shù)有相同的奇偶性,，例如5+3=8,，5-3=2，8和2都是偶數(shù),；

（6）奇數(shù)的乘積是奇數(shù),，例如3×5=15，15是奇數(shù),；偶數(shù)與其他整數(shù)的乘積是偶數(shù),，例如2×3=6,6是偶數(shù)；

（7）2是唯一的偶素數(shù),，除2外所有的偶數(shù)均為合數(shù),，例如，4=2×2,，6=2×3,；

（8）相鄰偶數(shù)最大公約數(shù)為2，例如,，6,、8的最大公約數(shù)為2。

（9）任何一個偶數(shù)可以表示成2k,任何一個奇數(shù)可以表示成2k-1,，其中k為任意正整數(shù),。

（10）任何一個數(shù)除以2，余數(shù)要么是0,，要么是1,。

（二）奇偶性的簡單應(yīng)用

數(shù)的奇偶性分析看起來非常簡單，卻常在一些簡單的數(shù)學(xué)競賽題中出現(xiàn),。

例1,，你走樓梯上樓，如果樓梯的級數(shù)足夠多,，不管你一次跨多少級梯子,，你三次跨步之間，至少有兩次跨步之間的梯級數(shù)是偶數(shù),。

因為三次跨步的梯級數(shù)之至少有兩個同是奇數(shù)或者同是偶數(shù),；奇數(shù)減奇數(shù)為偶數(shù)，偶數(shù)減偶數(shù)為偶數(shù),。

例2,，用1、2,、3,、4,、5這5個數(shù)兩兩相乘，可以得到10個不同的乘積,，在這10個乘積中,，奇數(shù)多還是偶數(shù)多，奇數(shù)和偶數(shù)相差多少個,？

最簡單的辦法就是枚舉出全部的乘積,。如果利用奇偶性質(zhì)，可以判斷：因為奇數(shù)乘奇數(shù)才能得到奇數(shù),，奇數(shù)只有3個,，只能得到3個奇數(shù)乘積，因此偶數(shù)乘積為7個,，兩者相差為4個,。

下面是兩道前蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題，也是用奇偶性分析來解答的,，但是要上面的例題復(fù)雜一些,。

  例3 證明不存在整數(shù)a,b,c,d滿足下列等式

a×b×c×d－a=1961

a×b×c×d－b=961

a×b×c×d－c=61

a×b×c×d－d=1

根據(jù)每一個等式，可以得到a,b,c,d,、a×b×c×d每一個都是奇數(shù)的結(jié)論,，然而兩個奇數(shù)相減為偶數(shù)，與上述等式矛盾,。

例4 桌子上有一堆石子共1001粒,，第一步從中扔去1粒,，并將余下的石子分成兩堆,。以后每一步，都從某個石子數(shù)目多于1的堆中扔去1粒,，再把某一堆分成兩堆,。試問，能否在若干步之后之后,，桌上的每一堆中剛好只剩下3粒石子,？

經(jīng)過n-1次操作后也就是扔掉n-1粒石子后才能得到n堆的3粒石子，因此所有石子數(shù)應(yīng)滿足如下算式

1001=n-1+3n,；1002=4n,；501=2n

顯然,結(jié)果會發(fā)生奇偶性矛盾，上述操作不可能實現(xiàn),。

（三）2進制

說到2,，自然要說到二進制。

二進制數(shù)是用0和1這兩個數(shù)碼來表示的數(shù),。在二進制中,，0就是零,，1就是一，10就是二,，100就是四,，1000就是八。

二進制的基數(shù)為2,，進位規(guī)則是“逢二進一”,，借位規(guī)則是“借一當(dāng)二”，因此二進制的運算特別簡單,。

二進制加法只有4種情況：0+0＝0,；0+1＝1；1+0＝1,；1+1＝10,， 進位為1。

減法是加法的逆運算：0-0=0,；0-1=-1,；1-0=1；1-1=0,。

二進制乘法也只有4種情況：0×0＝0,；1×0＝0；0×1＝0,；1×1＝1,。

除法是乘法的逆運算：1÷1=1；0÷1=0,。

例如下面的計算

1001＋1111=11000,；

1001×1111=10000111

1111—1001=110

1111÷1001=1余110

二進制是計算技術(shù)中廣泛采用的一種數(shù)制。二進制廣泛應(yīng)用于計算機的原因在于：

（1）技術(shù)實現(xiàn)簡單,，計算機是由邏輯電路組成,，邏輯電話通常只有兩個狀態(tài)，開關(guān)的接通與斷開,，這兩種狀態(tài)正好可以用“1”和“0”表示,。
  （2）簡化運算規(guī)則：兩個二進制數(shù)和、積運算規(guī)則簡單,，有利于簡化計算機內(nèi)部結(jié)構(gòu),，提高運算速度。
  （3）適合邏輯運算：邏輯代數(shù)是邏輯運算的理論依據(jù),，二進制只有兩個數(shù)碼,，正好與邏輯代數(shù)中的“真”和“假”相吻合。
  （4）易于進行轉(zhuǎn)換，二進制與十進制數(shù)易于互相轉(zhuǎn)換,。

《龍門鏢局》中的數(shù)學(xué)與趣味說數(shù)之3

《龍門鏢局》中的數(shù)學(xué)：這一集里,，作者更是故弄玄虛了。作者給出了一個角的余切,，卻沒有給出這個角的大小,。有人猜測圖中有暗示，陽光射到地面的角度為30度,，30度角的余切為根號3,，再平方之后就是3。

按照三角函數(shù)的定義和特殊直角三角形的性質(zhì),，45度角和30度角的的正弦余弦,、正切余切的大小都比較容易得到。

例如,，有45度角的直角三角形,，兩直角邊和斜邊長度的比例關(guān)系為1：1：根號2；有30度角的直角三角形,，兩直角邊和斜邊長度的比例關(guān)系為1：根號3：2（可有等邊三角形和勾股定理得到,，這里省略幾何圖了）。

   下面是我對數(shù)字3的趣說：3 是三角數(shù)

（一）三是成功的基礎(chǔ)

在中國漢語中,，“三”通常代表一種成功的必要條件,，也就是事物發(fā)展的最基本要求。

例如,，在《道德經(jīng)》中有“道生一,，一生二，二生三,，三生萬物”,；過了三之后，事物的演變與生物的繁衍會明顯加快,。

《莊子·齊物論》中有“天地與我并生,，而萬物與我為一”，天地人構(gòu)成了整個宇宙運轉(zhuǎn)的基礎(chǔ),。

“三思而后行”，說的是一個人至少三次才能保證思考的周全,。

“三人行,，必有我?guī)?/span>焉”，人群中少于三個人就不一定能找到自己的老師,。

“吾日三省吾身”,，一個人至少早中晚都要自我評價一次自己的言行。

“三足鼎立”,，三是穩(wěn)定支撐結(jié)構(gòu)的最少支點,。

三個字組成最短的有完整意義的句子,。

《三字經(jīng)》是字數(shù)最少的韻文。

大禹三過家門而不入,，竭盡全力治水成功,。

孫悟空三打白骨精，完成英雄除妖的壯舉,。

劉備三顧茅廬,，成就一個軍師美名。

新官上任三把火,，標(biāo)志著一個全新的開端,。

“事不過三”，三次是一個人耐心的極限,。

（二）3是三角數(shù)

在數(shù)學(xué)上,，經(jīng)過1、2后的自然數(shù)就是3,。

3是第一個奇素數(shù),，從此之后所有的素數(shù)都是奇數(shù)。

用最少的直線構(gòu)成的第一個封閉幾何圖形是三角形,。掌握三角形的性質(zhì),，必須掌握三角形的3個基本定理：三角形的兩邊邊長之和大于第三邊邊長；三角形的內(nèi)角和為180度（如果在球面上畫一個三角性或者在馬鞍形面上畫一個三角形,，三角形的內(nèi)角和就會大于或者小于180度）,；周長一定的三角形中以等邊三角形的面積最大。

對于直角三角形,，中國古老的數(shù)學(xué)書《周髀算經(jīng)》最早記載了“勾三股四弦五”的幾何事實,；據(jù)說古印度人也用3、4,、5這組數(shù)來構(gòu)造直角,，這都不過是直角三角形的一個特列。而發(fā)現(xiàn)直角三角形的一般性質(zhì)“直角三角形的斜邊的平方,，等于兩條直角邊的平方和”的,，則是古希臘的畢達哥拉斯。

有時候,，3會變成一個難題,。把1分成3等分，就出現(xiàn)了循環(huán)小數(shù),；用尺規(guī)作圖法把一個角3等分被證明為不可能,。

3還是一個三角數(shù)。三角數(shù)把幾何和算術(shù)緊密聯(lián)系起來。

所謂三角數(shù),，就是從1開始的任意個連續(xù)自然數(shù)之后,，如圖所示，數(shù)數(shù)這個圖形中的紅點數(shù),，第1個三角數(shù)是,，第2個三角數(shù)就是1＋2，第三個三角數(shù)是6,。

三角數(shù)構(gòu)成三角數(shù)列1,，3，6,，10,，15，21,，28,，……，153,，……,，666，……5050,，……,。這里列出的28、153,、666,、5050等數(shù)，今后還會遇到,。

三角數(shù)列是一個二階等差數(shù)列,，因為數(shù)列中后一個數(shù)與前一個數(shù)列的差為一個差為1的自然數(shù)列。

（三）更多的幾何形數(shù)

除三角數(shù)列外,，還有更多的多邊形數(shù),，例如正方形數(shù)、五邊形數(shù),、六邊形數(shù),。

正方形數(shù)列1，4,，9,，16……（第n個正方形數(shù)就是n的平方）。

五邊形數(shù)列1,，5，12，22……（第n個五邊形數(shù)就是第n-1個三角數(shù)的3倍再加上n）,，等等,。

那么，六邊形數(shù)列前5個數(shù)和通項該如何表達,，留待以后繼續(xù)探索吧,。

《龍門鏢局》中的數(shù)學(xué)與趣味說數(shù)之4

  《龍門鏢局》中的數(shù)學(xué)：這一集的數(shù)學(xué)沒有難度。2的2次方或者又讀為2的平方,，表示2個2相乘,。如果有n個2相乘，就讀為2的n次方,。與2的n次方相關(guān)的一個故事是：據(jù)說一個國家的宰相發(fā)明了一種8*8的棋盤,，國王想要給他賞賜，問宰相想要什么,。宰相的回答是,，在第1個方格內(nèi)放1粒小麥，在第2個方格里放2粒小麥,，在第3個方格里放4粒小麥,，以后每一格里的小麥數(shù)都比前一個方格里的小麥數(shù)多出一倍。最后需要的小麥數(shù)為1+2+2^2+2^3+......+2^63=2^64-1,。這是一個非常大的數(shù),，國王當(dāng)然無法兌現(xiàn)承諾，宰相也不會貪心到緊逼國王,。故事只是故事而已,，

下面是我對數(shù)字4的趣說：4 首個真正的完全平方數(shù)

(一) 關(guān)于四的語言文字

房屋有四面墻，如果家里空空的,，什么也沒有,，如成語“家徒四壁”描寫的那樣，則是貧窮之極,。

儒家經(jīng)典有《大學(xué)》,、《中庸》、《論語》,、《孟子》四種,，號稱四經(jīng)，如果一個人飽讀四書,，

則表示知識淵博,。

方向有四個，是東南西北,，出現(xiàn)在“四面楚歌,、四海為家,、四通八達、四面受敵,、狼煙四起,、志在四方”等成語里。

古人書房里有四種必不可少的學(xué)習(xí)工具,，為“紙墨筆硯”,，號稱文房四寶。現(xiàn)在的人書房里只需要一臺計算機或者kinder,、ipad即可,。

古代中國對婦女有苛刻的品德，叫“三從四德”,，三從是“未嫁從父,、既嫁從夫、夫死從子”,，四德是“婦德,、婦言、婦容,、婦功”,，封建色彩甚濃。

佛家里有四大皆空,，當(dāng)然不是指放棄“酒色財氣”,，而是放棄對“地、水,、火,、風(fēng)”四大物質(zhì)世界的追求，轉(zhuǎn)而進入佛法的精神世界,。

中國清代編修的大型綜合叢書《四庫全書》收錄了當(dāng)時中國歷史上最有價值的文化典籍3503種,計79337卷,，分經(jīng)、史,、子,、集四部。

一年有四時八節(jié),，指春,、夏、秋,、冬四個季度和立春,、立夏、立秋,、立冬,、春分,、秋分、夏至,、冬至八個節(jié)氣,。

    中國文學(xué)史上有四大名著,，是指《三國演義》,、《紅樓夢》、《水滸傳》和《西游記》,。

（二）關(guān)于4的算術(shù)和幾何游戲

英國數(shù)學(xué)家勞斯鮑爾出過一道四個數(shù)碼的有趣算術(shù)游戲和一道四個4的有趣算術(shù)游戲,。

   四個數(shù)碼的題目是：用數(shù)碼1、2,、3,、4表達由1開始一次相鄰的正整數(shù)，每個數(shù)碼都

要使用且只能使用一次,。

采用十進制記數(shù)法,，運算規(guī)則可以有許多限制：

（1）只使用加減乘除和正整數(shù)冪的運算；

（2）增加一次階乘和一次開平方符號,；

（3）還允許負整數(shù)作為指數(shù),，允許分數(shù)最為指數(shù)

  例如，

1-2-3+4=0,；

12－3×4=0,；

1×2＋3－4=1；

1×2×3－4=2,；

……

  用四個4的題目運算規(guī)則與上面相同,，只不過四個數(shù)碼全是4。

  例如,，

4＋4－4－4=0,；

44－44=0；

4÷4＋4－4=1,；

44÷44=1,；

……

這樣的游戲題本身并不難，但要全部找到結(jié)果需要耐心,。

還有一道關(guān)于4的幾何趣味題,。

你用6根長度相同的火柴，如何搭出4個完全相同的正三角形,？

答案是搭出一個正四面體,。四面體有4個面、6條棱和4個頂點,，四面體的面數(shù)4+頂點數(shù)4-棱數(shù)=2,。

數(shù)學(xué)家歐拉證明,，對于所有的多面體，都滿足：面數(shù)+頂點數(shù)-棱數(shù)=2

（三）4,，第一個完全平方數(shù)

我們來看這個數(shù)列：

0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,……

這是一個自然數(shù)的平方數(shù)數(shù)列,。

因為0的任何次方是0，1的任何次方是1,，所以4成為第一個真正的平方數(shù),。4是2的平方。

一個數(shù)如果是另一個整數(shù)的完全平方,，我們就稱這個數(shù)為完全平方數(shù),，也叫做平方數(shù)。

平方數(shù)有許多性質(zhì),，有些是顯而易見的,，有些需要簡單的證明。

下面列舉一些：

（1）平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9,。

（2）奇數(shù)的平方數(shù)的個位數(shù)字為奇數(shù),，十位數(shù)字為偶數(shù)。

（3）如果平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù),，則它的個位數(shù)字一定是6,；反之，如果平方數(shù)的個位數(shù)字是6,，則它的十位數(shù)字一定是奇數(shù),。

（4）偶數(shù)的平方數(shù)是4的倍數(shù)；奇數(shù)的平方數(shù)是4的倍數(shù)加1,。
（5）偶數(shù)的平方數(shù)要么能被8整除,，要么余數(shù)為4；奇數(shù)的平方被8整除余數(shù)為1,；

（6）平方數(shù)要么能被3整除,，要么余數(shù)為1；

（7）平方數(shù)要么能被5整除,，要么余數(shù)為1或者4,；

（8）平方數(shù)要么能被16整除，要么余數(shù)為1,、4或者9,； 

（9）平方數(shù)的數(shù)字之和只能是0,1,4,7,9。

以下是三道出現(xiàn)在數(shù)學(xué)競賽中的需要證明關(guān)于平方數(shù)的題目：

（1）四個連續(xù)的整數(shù)的積加上1,，是一個奇數(shù)的平方數(shù),。

（2）11,111,1111,11…11，這串?dāng)?shù)中沒有一個平方數(shù),。

（3）數(shù)列49,4489,444889,44448889,，……的每一項都是平方數(shù),。