橢圓的方程

高考要求：理解橢圓的標準方程和幾何性質．

重點：橢圓的方程與幾何性質．

難點：橢圓的方程與幾何性質．

二,、知識點：

1,、橢圓的定義、標準方程,、圖形和性質

2,、橢圓中a，b,，c,，e的關系是：．已知其中兩個，便可求得另外兩個．

3、與焦點有關的問題,，要充分利用兩個定義,；橢圓上的點P（x₀，y₀）到左,、右焦點的距離分別為：

4,、焦點三角形應注意以下關系：

（1）定義：r₁＋r₂=2a

（2）余弦定理：＋－2r₁r₂cos=（2c）²

（3）面積：=r₁r₂ sin=·2c| y₀ |（其中P（）為橢圓上一點，|PF₁|=r₁,，|PF₂|=r₂,，∠F₁PF₂=）

三、基礎訓練：

1,、橢圓的標準方程為,，焦點坐標是,，長軸長為___2____,，短軸長為，焦距是,，離心率為,，準線方程為．

2,、橢圓的焦距是2，則的值是__3或5__,；

3、兩個焦點的坐標分別為,，且經過的橢圓的標準方程是_____,；

4、已知橢圓上一點P到橢圓一個焦點的距離是7,，則點P到另一個焦點的距離是__3___

5,、設F是橢圓的一個焦點，B₁B是短軸,，,，則橢圓的離心率為

6、方程=10,，化簡的結果是,；

    滿足方程的點的軌跡為

7、若橢圓短軸上的兩個三等分點與兩個焦點構成一個正方形,，則橢圓的離心率為

8,、直線y=kx－2與焦點在x軸上的橢圓恒有公共點，則m的取值范圍為_[4,，5）_

9,、在平面直角坐標系中，已知頂點和，頂點在橢圓 上,，則

10,、已知點F是橢圓的右焦點，點A（4,，1）是橢圓內的一點,，點P（x，y）（x≥0）是橢圓上的一個動點,，則的最大值是  8  ．

【典型例題】

例1,、（1）已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上,，長軸長是短軸長的3倍,，短軸長為4，求橢圓的方程．

解：設方程為,，則．

所求方程為

（2）中心在原點,，焦點在x軸上，右焦點到短軸端點的距離為2,，到右頂點的距離為1,，求橢圓的方程．

解：設方程為，則．

所求方程為

（3）已知三點P,，（5,，2），F₁  （-6,，0）,，F₂ （6，0）．設點P,，F₁,，F₂關于直線y=x的對稱點分別為，求以為焦點且過點的橢圓方程 ．

解：（1）由題意可設所求橢圓的標準方程為（a>b>0）,，其半焦距c=6

∴,，b²=a²-c²=9．

所以所求橢圓的標準方程為

（4）求經過點M（， －2）,， N（－2,， 1）的橢圓的標準方程．

解：設方程為，則

例2,、如圖所示,，我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星運行軌道是以地心（地球的中心）為一個焦點的橢圓，已知它的近地點A（離地面最近的點）距地面439km,，遠地點B（離地面最遠的點）距地面2384km,，并且,、A、B在同一直線上,，設地球半徑約為6371km,，求衛(wèi)星運行的軌道方程 （精確到1km）．

解：建立如圖所示直角坐標系，使點A,、B,、在軸上，

則=|OA|－|O|=|A|=6371＋439=6810

=|OB|＋|O|=|B|=6371＋2384=8755

解得=7782.5,，=972.5

．

衛(wèi)星運行的軌道方程為

例3,、已知定圓，動圓M和已知圓內切且過點P（-3,，0）,，求圓心M的軌跡及其方程

    分析：由兩圓內切，圓心距等于半徑之差的絕對值根據圖形,，用數學符號表示此結論： 

    上式可以變形為,，又因為，所以圓心M的軌跡是以P,，Q為焦點的橢圓

    解：知圓可化為：

圓心Q（3,，0），,，所以P在定圓內

設動圓圓心為,，則為半徑又圓M和圓Q內切，所以,，

即 ,，故M的軌跡是以P，Q為焦點的橢圓,，且PQ中點為原點，所以,，,，故動圓圓心M的軌跡方程是：

例4、已知橢圓的焦點是,，Ｐ為橢圓上一點,，且｜｜是｜｜和｜｜的等差中項．

（1）求橢圓的方程；

（2）若點P在第三象限,，且∠=120°,，求．

選題意圖：綜合考查數列與橢圓標準方程的基礎知識，靈活運用等比定理進行解題．

解：（1）由題設｜｜＋｜｜=2｜｜=4

∴,， 2c=2,，   ∴ｂ=

∴橢圓的方程為．

（2）設∠，則∠=60°－θ

由正弦定理得：

由等比定理得：

整理得：   故

．

說明：曲線上的點與焦點連線構成的三角形稱曲線三角形，與曲線三角形有關的問題常常借助正（余）弦定理,，借助比例性質進行處理．對于第二問還可用后面的幾何性質,，借助焦半徑公式余弦定理把P點橫坐標先求出來，再去解三角形作答

例5,、如圖,，已知一個圓的圓心為坐標原點，半徑為2,，從這個圓上任意一點P向軸作垂線段PPˊ,，求線段PPˊ的中點M的軌跡（若M分 PPˊ之比為，求點M的軌跡）

解：（1）當M是線段PPˊ的中點時,，設動點的坐標為,，則的坐標為

因為點在圓心為坐標原點半徑為2的圓上，

所以有  ,，即 

所以點的軌跡是橢圓,，方程是

（2）當M分 PPˊ之比為時，設動點的坐標為,，則的坐標為

因為點在圓心為坐標原點半徑為2的圓上,，所以有，

即

所以點的軌跡是橢圓,，方程是

例6,、設向量=（1， 0）,，=（0,， 1），=（x＋m）＋y,，=（x－m）＋y,，且||＋||=6，0< m < 3,，x>0,，y∈R．

    （I）求動點P（x，y）的軌跡方程,；

    （II）已知點A（－1,， 0），設直線y=（x－2）與點P的軌跡交于B,、C兩點,，問是否存在實數m，使得=,？若存在,，求出m的值,；若不存在，請說明理由．

解：（I）∵=（1,， 0）,， =（0， 1）,， ||＋||=6

∴ =6

上式即為點P（x,， y）到點（－m， 0）與到點（m,， 0）距離之和為6．記F₁（－m,， 0），F₂（m,， 0）（0<m<0）,，則|F₁F₂|=2m＜6．

∴ |PF₁|＋|PF₂|=6＞|F₁F₂|

又∵x＞0，∴P點的軌跡是以F₁,、F₂為焦點的橢圓的右半部分．

∵ 2a=6,，∴a=3

又∵ 2c=2m，∴ c=m,，b²=a²－c²=9－m²

∴ 所求軌跡方程為（x＞0,，0＜m＜3）

（ II ）設B（x₁， y₁）,，C（x₂,， y₂），

∴=（x₁＋1,，y₁） =（x₂＋1,，y₂）

∴ ·=x₁x₂＋（x₁＋x₂）＋1＋y₁y₂

而y₁y₂=（x₁－2）·（x₂－2）

=[x₁x₂－2（x₁＋x₂）＋4]

∴ ·=

x₁x₂＋（x₁＋x₂）＋1＋[x₁x₂－2（x₁＋x₂）＋4]

=[10x₁x₂＋7（x₁＋x₂）＋13]

若存在實數m，使得·=成立

則由·=[10x₁x₂＋7（x₁＋x₂）＋13]=

可得10x₁x₂＋7（x₁＋x₂）＋10=0    ①

再由

消去y,，得（10－m²）x²－4x＋9m²－77=0   ②

因為直線與點P的軌跡有兩個交點．

所以

由①,、④、⑤解得m²=＜9,，且此時△＞0

但由⑤,，有9m²－77=＜0與假設矛盾

∴ 不存在符合題意的實數m，使得·=

例7,、已知C₁：，拋物線C₂：（y－m）²=2px （p＞0）,，且C₁,、C₂的公共弦AB過橢圓C₁的右焦點．

（Ⅰ）當AB⊥x軸時，求p,、m的值,，并判斷拋物線C₂的焦點是否在直線AB上,；

（Ⅱ）若p=，且拋物線C₂的焦點在直線AB上,，求m的值及直線AB的方程．

解：（Ⅰ）當AB⊥x軸時,，點A、B關于x軸對稱,，所以m=0,，直線AB的方程為x=1，從而點A的坐標為（1,，）或（1,，－）．

∵點A在拋物線上，∴

此時C₂的焦點坐標為（,，0）,，該焦點不在直線AB上．

（Ⅱ）當C₂的焦點在AB上時，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在,，設直線AB的方程為y=k（x－1）．

由（kx－k－m）²=     ①

因為C₂的焦點F′（,，m）在y=k（x－1）上．

所以k²x²－（k²＋2）x＋=0              ②

設A（x₁，y₁）,，B（x₂,，y₂），則x₁＋x₂=

由

（3＋4k²）x²－8k²x＋4k²－12=0                 ③

由于x₁,、x₂也是方程③的兩根,，所以x₁＋x₂=

從而=k²=6即k=±

又m=－∴m=或m=－

當m=時，直線AB的方程為y=－（x－1）,；

當m=－時,，直線AB的方程為y=（x－1）．

例8、已知橢圓C：（a＞0,，b＞0）的左,、右焦點分別是F₁、F₂,，離心率為e．直線l：y=ex＋a與x軸,，y軸分別交于點A、B,，M是直線l與橢圓C的一個公共點,，P是點F₁關于直線l的對稱點，設=．

（Ⅰ）證明：=1－e²,；

（Ⅱ）若=,，△MF₁F₂的周長為6，寫出橢圓C的方程,；

（Ⅲ）確定的值,，使得△PF₁F₂是等腰三角形．

解：（Ⅰ）因為A,、B分別為直線l：y=ex＋a與x軸、y軸的交點,，所以A,、B的坐標分別是A（－，0）,，B（0,，a）．

由得這里

∴M由得：

=（，a）

即解得

（Ⅱ）當時,，  ∴a=2c

由△MF₁F₂的周長為6,，得2a＋2c=6

∴a=2，c=1,，b²=a²－c²=3

故所求橢圓C的方程為

（Ⅲ）∵PF₁⊥l  ∴∠PF₁F₂=90°＋∠BAF₁為鈍角,，要使△PF₁F₂為等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|,，即|PF₁|=C．

設點F₁到l的距離為d,，由

|PF₁|===C

得：=e  ∴e²=  于是

即當時，△PF₁F₂為等腰三角形．

（注：也可設P（x₀,，y₀）,，解出x₀，y₀求之）

【模擬試題】

一,、選擇題

1,、動點M到定點和的距離的和為8，則動點M的軌跡為       （    ）

A,、橢圓               B,、線段               C、無圖形                   D,、兩條射線

2,、設橢圓的兩個焦點分別為F₁、F₂,，過F₂作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P,，若△F₁PF₂為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是    （    ）

A,、                B,、           C、2－                   D,、－1

3,、（2004年高考湖南卷）F₁、F₂是橢圓C：的焦點，在C上滿足PF₁⊥PF₂的點P的個數為（    ）

A,、2個                B、4個                     C,、無數個                   D,、不確定

4、橢圓的左,、右焦點為F₁,、F₂，一直線過F₁交橢圓于A,、B兩點,，則△ABF₂的周長為  （    ）

A、32                   B,、16                         C,、8                            D、4

5,、已知點P在橢圓（x－2）²＋2y²=1上,，則的最小值為（    ）

A、              B,、            C,、                      D、

6,、我們把離心率等于黃金比的橢圓稱為“優(yōu)美橢圓”,，設是優(yōu)美橢圓，F,、A分別是它的左焦點和右頂點,，B是它的短軸的一個端點，則等于（    ）

A,、                 B,、                C、                        D,、

二,、填空題

7、橢圓的頂點坐標為     和      ,，焦點坐標為      ,，焦距為       ，長軸長為        ,，短軸長為        ,，離心率為        ，準線方程為     ．

8,、設F是橢圓的右焦點,，且橢圓上至少有21個不同的點P_i（i=1,，2，）,，使得|FP₁|,、|FP₂|、|FP₃|…組成公差為d的等差數列,，則d的取值范圍是      ．

9,、設，是橢圓的兩個焦點,，P是橢圓上一點,，且，則得        ．

10,、若橢圓=1的準線平行于x軸則m的取值范圍是         

三,、解答題

11、根據下列條件求橢圓的標準方程

（1）和橢圓共準線,，且離心率為．

（2）已知P點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上,，點P到兩焦點的距離分別為和，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點．

12,、已知軸上的一定點A（1,，0），Q為橢圓上的動點,，求AQ中點M的軌跡方程

13,、橢圓的焦點為，點P為其上的動點,，當∠為鈍角時,，求點P橫坐標的取值范圍．

14、已知橢圓的中心在原點,，焦點在x軸上,，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點,，與=（3,， －1）共線．

（1）求橢圓的離心率；

（2）設M是橢圓上任意一點,，且=（,、∈R），證明為定值．

【試題答案】

1,、B 

2,、D

3、A

  4、B 

5,、D（法一：設,，則y=kx代入橢圓方程中得：（1＋2k²）x²－4x＋3=0，由△≥0得：．法二：用橢圓的參數方程及三角函數的有界性求解）

6,、C 

7,、（），,；（0，）,；6,；10；8,；,；．

8、∪ 

9,、  

10,、m＜且m≠0．

11、（1）設橢圓方程,，則其準線為．

解得,，所求橢圓方程為．

（2），．

由,，得．

所求橢圓方程為或．

12,、解：設中點的坐標為，則的坐標為

因為點為橢圓上的動點

所以有  ,，即

所以中點的軌跡方程是

13,、解：設P點橫坐標為x₀，則,，,，為鈍角．當且僅當，解之即得：．

14,、（1）解：設橢圓方程,，F（c，0）,，則直線AB的方程為y=x－c,，代入，化簡得：

令A（x₁,，y₁）,，B（x₂，y₂），則x₁＋x₂=,，

x₁x₂=

由=（x₁＋x₂,，y₁＋y₂），=（3,， －1）,，與共線，得：3（y₁＋y₂）＋（x₁＋x₂）=0,，

又y₁=x₁－c,，y₂=x₂－c

∴ 3（x₁＋x₂－2c）＋（x₁＋x₂）=0，∴ x₁＋x₂=

即=,，∴ a²=3b² 

∴ ,，故離心率e=．

（2）證明：由（1）知a²=3b²，所以橢圓可化為x²＋3y²=3b²

設,，由已知得=（x₁,，y₁）＋（x₂，y₂）,，∴ ,，

∵M在橢圓上

∴ （）²＋3（）²=3b² 

即：²（）＋（）＋2（x₁x₂＋3 y₁y₂）=3b²  ①

由（1）知x₁＋x₂=，a²=²,，b²=c²．

x₁x₂==²

x₁x₂＋3y₁y₂=x₁x₂＋3（x₁－c）（x₂－c）

=4x₁x₂－3（x₁＋x₂）c＋3c²=²－²＋3c²=0

又=3b²,，=3b²代入①得

=1． 故為定值，定值為1．