一、理解二次函數(shù)的內(nèi)涵及本質(zhì) .

二次函數(shù) y=ax2 ＋ bx ＋ c （ a ≠ 0 ,， a ,、 b 、 c 是常數(shù)）中含有兩個(gè)變量 x ,、 y ，我們只要先確定其中一個(gè)變量,，就可利用解析式求出另一個(gè)變量,，即得到一組解；而一組解就是一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),，實(shí)際上二次函數(shù)的圖象就是由無(wú)數(shù)個(gè)這樣的點(diǎn)構(gòu)成的圖形 .

二,、熟悉幾個(gè)特殊型二次函數(shù)的圖象及性質(zhì) .

1 、通過(guò)描點(diǎn),，觀察 y=ax2 ,、 y=ax2 ＋ k 、 y=a （ x ＋ h ） 2 圖象的形狀及位置,，熟悉各自圖象的基本特征,，反之根據(jù)拋物線的特征能迅速確定它是哪一種解析式 .

2 、理解圖象的平移口訣“加上減下,，加左減右” .

y=ax2 → y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ k “加上減下”是針對(duì) k 而言的,，“加左減右”是針對(duì) h 而言的 .

總之，如果兩個(gè)二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)相同,，則它們的拋物線形狀相同,，由于頂點(diǎn)坐標(biāo)不同，所以位置不同，而拋物線的平移實(shí)質(zhì)上是頂點(diǎn)的平移,，如果拋物線是一般形式,，應(yīng)先化為頂點(diǎn)式再平移 .

3 、通過(guò)描點(diǎn)畫(huà)圖,、圖象平移,，理解并明確解析式的特征與圖象的特征是完全相對(duì)應(yīng)的，我們?cè)诮忸}時(shí)要做到胸中有圖,，看到函數(shù)就能在頭腦中反映出它的圖象的基本特征,；

4 、在熟悉函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上,，通過(guò)觀察,、分析拋物線的特征，來(lái)理解二次函數(shù)的增減性,、極值等性質(zhì),；利用圖象來(lái)判別二次函數(shù)的系數(shù) a 、 b ,、 c ,、△以及由系數(shù)組成的代數(shù)式的符號(hào)等問(wèn)題 .

三、要充分利用拋物線“頂點(diǎn)”的作用 .

1 ,、要能準(zhǔn)確靈活地求出“頂點(diǎn)” . 形如 y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ K →頂點(diǎn)（－ h,k ）,，對(duì)于其它形式的二次函數(shù)，我們可化為頂點(diǎn)式而求出頂點(diǎn) .

2 ,、理解頂點(diǎn),、對(duì)稱軸、函數(shù)最值三者的關(guān)系 . 若頂點(diǎn)為（－ h ,， k ）,，則對(duì)稱軸為 x= － h ， y 最大（?。?=k ,；反之，若對(duì)稱軸為 x=m ,， y 最值 =n ,，則頂點(diǎn)為（ m ， n ）,；理解它們之間的關(guān)系,，在分析、解決問(wèn)題時(shí),，可達(dá)到舉一反三的效果 .

3 ,、利用頂點(diǎn)畫(huà)草圖 . 在大多數(shù)情況下,，我們只需要畫(huà)出草圖能幫助我們分析、解決問(wèn)題就行了,，這時(shí)可根據(jù)拋物線頂點(diǎn),，結(jié)合開(kāi)口方向，畫(huà)出拋物線的大致圖象 .

四,、理解掌握拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的求法 .

一般地,，點(diǎn)的坐標(biāo)由橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)組成，我們?cè)谇髵佄锞€與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)時(shí),，可優(yōu)先確定其中一個(gè)坐標(biāo),，再利用解析式求出另一個(gè)坐標(biāo) . 如果方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則說(shuō)明拋物線與 x 軸無(wú)交點(diǎn) .

從以上求交點(diǎn)的過(guò)程可以看出,，求交點(diǎn)的實(shí)質(zhì)就是解方程,，而且與方程的根的判別式聯(lián)系起來(lái)，利用根的判別式判定拋物線與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù) .

五,、靈活應(yīng)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 .

用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是我們求解析式時(shí)最常規(guī)有效的方法,，求解析式時(shí)往往可選擇多種方法，如能綜合利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),，靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想,，不僅可以簡(jiǎn)化計(jì)算，而且對(duì)進(jìn)一步理解二次函數(shù)的本質(zhì)及數(shù)與形的關(guān)系大有裨益 .

二次函數(shù)y=ax2

學(xué)習(xí)要求:

1．知道二次函數(shù)的意義．

2．會(huì)用描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)y＝ax2的圖象,，知道拋物線的有關(guān)概念．

重點(diǎn)難點(diǎn)解析

1.本節(jié)重點(diǎn)是二次函數(shù)的概念和二次函數(shù)y＝ax2的圖象與性質(zhì),；難點(diǎn)是根據(jù)圖象概括二次函數(shù)y＝ax2的性質(zhì).

2.形如＝ax2+bx+c(其中a、b,、c是常數(shù),，a≠0)的函數(shù)都是二次函數(shù).解析式中只能含有兩

個(gè)變量x、y,，且x的二次項(xiàng)的系數(shù)不能為0，自變量x的取值范圍通常是全體實(shí)數(shù),，但在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)使實(shí)際量有意義,。如圓面積S與圓半徑R的關(guān)系式S＝πR2中，半徑R只能取非負(fù)數(shù),。

3.拋物線y＝ax2的形狀是由a決定的,。a的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向，當(dāng)a＞0時(shí),，開(kāi)口向上,，拋物線在y軸的上方(頂點(diǎn)在x軸上)，并向上無(wú)限延伸,；當(dāng)a＜0時(shí),，開(kāi)口向下,，拋物線在x軸下方(頂點(diǎn)在x軸上)，并向下無(wú)限延伸,。｜a｜越大,，開(kāi)口越小,；｜a｜越小,，開(kāi)口越大.

4.畫(huà)拋物線y＝ax2時(shí)，應(yīng)先列表,，再描點(diǎn),，最后連線。列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心,，選取便于計(jì)算,、描點(diǎn)的整數(shù)值，描點(diǎn)連線時(shí)一定要用光滑曲線連接,，并注意變化趨勢(shì),。

本節(jié)命題主要是考查二次函數(shù)的概念，二次函數(shù)y＝ax2的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用,。

核心知識(shí)

規(guī)則1

二次函數(shù)的概念:

一般地,，如果是常數(shù)，那么,，y叫做x的二次函數(shù)．

規(guī)則2

拋物線的有關(guān)概念:

圖13-14

如圖13-14，函數(shù)y=x2的圖象是一條關(guān)于y軸對(duì)稱的曲線,，這條曲線叫拋物線．實(shí)際上,，二次函數(shù)的圖象都是拋物線．拋物線y=x2是開(kāi)口向上的,y軸是這條拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．

規(guī)則3

拋物線y=ax2的性質(zhì):

一般地,，拋物線y=ax2的對(duì)稱軸是y軸,，頂點(diǎn)是原點(diǎn)，當(dāng)a＞0時(shí),，拋物線y=ax2的開(kāi)口向上,，當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y=ax2的開(kāi)口向下．

規(guī)則4

1.二次函數(shù)的概念

(1)定義：一般地,，如果y＝ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),，a≠0)，那么,，y叫做x的的二次函數(shù). (2)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的結(jié)構(gòu)特征是：等號(hào)左邊是函數(shù)y,，右邊是自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2.其中一次項(xiàng)系數(shù)b和常數(shù)項(xiàng)c可以是任意實(shí)數(shù),，而二次項(xiàng)系數(shù)a必須是非零實(shí)數(shù),，即a≠0.

2.二次函數(shù)y＝ax2的圖像

圖13-1

用描點(diǎn)法畫(huà)出二次函數(shù)y＝x2的圖像,，如圖13-1，它是一條關(guān)于y軸對(duì)稱的曲線,，這樣的曲線叫做拋物線.

因?yàn)閽佄锞€y＝x2關(guān)于y軸對(duì)稱,，所以y軸是這條拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn),，從圖上看,，拋物線y＝x2的頂點(diǎn)是圖象的最低點(diǎn).因?yàn)閽佄锞€y＝x2有最低點(diǎn).所以函數(shù)y＝x2有最小值，它的最小值就是最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).

3.二次函數(shù)y＝ax2的性質(zhì)

函數(shù)

圖像

開(kāi)口方向

頂點(diǎn)坐標(biāo)

對(duì)稱軸

函數(shù)變化

最大(小)值

y=ax2

a＞0

向上

(0,0)

Y軸

x＞0時(shí),，y隨x增大而增大,；

x＜0時(shí)，y隨x增大而減小.

當(dāng)x＝0時(shí),，y最?。?.

y=ax2

a＜0

向下

(0,0)

Y軸

x＞0時(shí)，y隨x增大而減??；

x＜0時(shí)，y隨x增大而增大.

當(dāng)x＝0時(shí),，y最大＝0.

4.二次函數(shù)y＝ax2的圖像的畫(huà)法

用描點(diǎn)法畫(huà)二次函數(shù)y＝ax2的圖像時(shí),，應(yīng)在頂點(diǎn)的左、右兩側(cè)對(duì)稱地選取自變量x的值,，然后計(jì)算出對(duì)應(yīng)的y值,，這樣的對(duì)應(yīng)值選取越密集，描出的圖像越準(zhǔn)確.

二次函數(shù)y=ax2+bx+c

學(xué)習(xí)要求：

1．會(huì)用描點(diǎn)法畫(huà)出二次函數(shù)的圖象．

2．能利用圖象或通過(guò)配方確定拋物線的開(kāi)口方向及對(duì)稱軸,、頂點(diǎn),、的位置．

*3．會(huì)由已知圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求出二次函數(shù)的解析式．

重點(diǎn)難點(diǎn)

1.本節(jié)重點(diǎn)是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)的理解及靈活運(yùn)用，難點(diǎn)是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的性質(zhì)和通過(guò)配方把解析式化成y＝a(x-h)2+k的形式,。

2.學(xué)習(xí)本小節(jié)需要仔細(xì)觀察歸納圖象的特點(diǎn)以及不同圖象之間的關(guān)系,。把不同的圖象聯(lián)系起來(lái)，找出其共性,。

一般地幾個(gè)不同的二次函數(shù),，如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同，那么拋物線的開(kāi)口方向,、開(kāi)口大小(即形狀)完全相同，只是位置不同.

任意拋物線y＝a(x-h)2+k可以由拋物線y＝ax2經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)仄揭频玫?，具體平移方法如下圖所示：

注意：上述平移的規(guī)律是：“h值正,、負(fù)，右,、左移,；k值正,、負(fù)，上,、下移”實(shí)際上有關(guān)拋物線的平移問(wèn)題,，不能死記硬背平移規(guī)律，只要先將其解析式化為頂點(diǎn)式,，然后根據(jù)它們的頂點(diǎn)的位置關(guān)系,，確定平移方向和平移的距離非常簡(jiǎn)便.

圖13-11

例如，要研究拋物線L1∶y＝x2-2x+3與拋物線L2∶y＝x2的位置關(guān)系,，可將y＝x2-2x+3通過(guò)配方變成頂點(diǎn)式y(tǒng)＝(x-1)2+2,，求出其頂點(diǎn)M1(1，2),，因?yàn)長(zhǎng)2的頂點(diǎn)為M2(0,，0)，根據(jù)它們的頂點(diǎn)的位置,，容易看出：由L2向右平移1個(gè)單位,，再向上平移2個(gè)單位，即得L1,；反之,，由L1向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位,，即得L2.

二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與y＝ax2的圖象形狀完全一樣,，它們的性質(zhì)也有相似之處。當(dāng)a＞0時(shí),，兩條拋物線的開(kāi)口都向上,，并向上無(wú)限延伸，拋物線有最低點(diǎn),，y有最小值,，當(dāng)a＜0時(shí)，開(kāi)口都向下,，并向下無(wú)限延伸,，拋物線有最高點(diǎn)，y有最大值.

3.畫(huà)拋物線時(shí)一定要先確定開(kāi)口方向和對(duì)稱軸,、頂點(diǎn)位置,，再利用函數(shù)對(duì)稱性列表，這樣描點(diǎn)連線后得到的才是完整的,，比較準(zhǔn)確的圖象,。否則畫(huà)出的圖象，往往只是其中一部分,。例如畫(huà)y＝- (x+1)2-1的圖象,。

列表：

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-3

-1.5

-1

-1.5

-3

-5.5

-9

描點(diǎn),，連線成如圖13-11所示不能反映其全貌的圖象。

正解：由解析式可知,，圖象開(kāi)口向下,，對(duì)稱軸是x＝-1,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1，-1)

列表：

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

y

-5.5

-3

-1.5

-1

-1.5

-1.5

-5.5

描點(diǎn)連線：如圖13-12

圖13-12

4.用配方法將二次函數(shù)y＝ax2+bx+c化成y＝a(x-h)2+k的形式,，首先要提出二次項(xiàng)系數(shù)a,。常犯的錯(cuò)誤只提第一項(xiàng)，后面漏提,。如y＝- x2+6x-21 寫(xiě)成y＝- (x2+6x-21)或y＝- (x2-12x-42)把符號(hào)弄錯(cuò),，主要原因是沒(méi)有掌握添括號(hào)的規(guī)則。

本節(jié)命題主要考查二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)及其在實(shí)際生活中的運(yùn)用,。既有填空題,、選擇題，又有解答題,，與方程,、幾何、一次函數(shù)的綜合題常作為中考?jí)狠S題,。

核心知識(shí)

規(guī)則1

拋物線 y=a(x-h)2+k 的性質(zhì):

一般地,，拋物線 y=a(x-h)2+k 與 y=ax2 形狀相同，位置不同．拋物線 y=a(x-h)2+k 有如下特點(diǎn)：

(l) a＞0時(shí),，開(kāi)口向上,；a＜0時(shí)，開(kāi)口向下,；

(2) 對(duì)稱軸是直線x＝h,；

(3) 頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h，k)．

規(guī)則2

二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的性質(zhì):

y=ax2+bx+c （ a,，b,，c 是常數(shù)，a≠0）是二次函數(shù),，圖象是拋物線．利用配方,，可以把二次函數(shù)表示成 y=a(x-h)2+k 的形式，由此可以確定這條拋物線的對(duì)稱軸是直線 ,，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ,，當(dāng)a＞0時(shí),，開(kāi)口向上,；a＜0時(shí),，開(kāi)口向下．

規(guī)則3

1.二次函數(shù)解析式的幾種形式

(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c為常數(shù),，a≠0).

(2)頂點(diǎn)式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù)，a≠0).

(3)兩根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根，a≠0.

說(shuō)明：(1)任何一個(gè)二次函數(shù)通過(guò)配方都可以化為頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x-h)2+k,，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k),，h＝0時(shí)，拋物線y＝ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上,；當(dāng)k＝0時(shí),，拋物線a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)h＝0且k＝0時(shí),，拋物線y＝ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn).

(2)當(dāng)拋物線y＝ax2+bx+c與x軸有交點(diǎn)時(shí),，即對(duì)應(yīng)二次方程ax2+bx+c＝0有實(shí)數(shù)根x1和

x2存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函數(shù)y＝ax2+bx+c可轉(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng)＝a(x-x1)(x-x2).

2.二次函數(shù)解析式的確定

確定二次函數(shù)解析式,，一般仍用待定系數(shù)法.由于二次函數(shù)解析式有三個(gè)待定系數(shù)a,、b、c(或a,、h,、k或a、x1,、x2),，因而確定二次函數(shù)解析式需要已知三個(gè)獨(dú)立的條件.當(dāng)已知拋物線上任意三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，選用一般式比較方便,；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),，選用頂點(diǎn)式比較方便；當(dāng)已知拋物線與x軸兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(或橫坐標(biāo)x1,x2)時(shí),，選用兩根式較為方便.

注意：當(dāng)選用頂點(diǎn)式或兩根式求二次函數(shù)解析式時(shí),，最后一般都要化一般式.

3.二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像

二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像是對(duì)稱軸平行于(包括重合)y軸的拋物線.

4.二次函數(shù)的性質(zhì)

根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像可歸納其性質(zhì)如下表：

函數(shù)

二次函數(shù)y＝ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)

圖

像

a＞0

a＜0

(1)拋物線開(kāi)口向上,，并向上無(wú)限延伸.

(2)對(duì)稱軸是x＝- ,，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(- , ).

(3)當(dāng)x＜- 時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x＞- 時(shí)，y隨x的增大而增大.

(4)拋物線有最低點(diǎn),，當(dāng)x＝- 時(shí),，y有最小值，y最小值＝ .

(1) )拋物線開(kāi)口向下,，并向下無(wú)限延伸.

(2)對(duì)稱軸是x＝- ,，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(- , ).

(3)當(dāng)x＜- 時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＞- 時(shí),，y隨x的增大而減小.

(4)拋物線有最高點(diǎn),，當(dāng)x＝- 時(shí)，y有最大值,，y最大值＝ .

5.求拋物線的頂點(diǎn),、對(duì)稱軸、最值的方法

①配方法：將解析式化為y＝a(x-h)2+k的形式,，頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k),，對(duì)稱軸為直線x＝h，若a＞0,，y有最小值,，當(dāng)x＝h時(shí)，y最小值＝k,，若a＜0,，y有最大值，當(dāng)x＝h時(shí),，y最大值＝k.

②公式法：直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式(- , ),求其頂點(diǎn),；對(duì)稱軸是直線x＝- ,若a＞0，y有最小值,，當(dāng)x＝- 時(shí),，y最小值＝ ，若a＜0,，y有最大值,，當(dāng)x＝- 時(shí)，y最大值＝ .

6.二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像的畫(huà)法

因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖像是拋物線,，是軸對(duì)稱圖形,，所以作圖時(shí)常用簡(jiǎn)化的描點(diǎn)法和五點(diǎn)法，其步驟是：

(1)先找出頂點(diǎn)坐標(biāo),，畫(huà)出對(duì)稱軸,；

(2)找出拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸的四個(gè)點(diǎn)(如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)；

(3)把上述五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來(lái).

7.二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像的位置與a,、b,、c及Δ符號(hào)有密切的關(guān)系(見(jiàn)下表)：

項(xiàng)

目

字

母

字母的符號(hào)

圖像的位置

a

a＞0

a＜0

開(kāi)口向上 開(kāi)口向下

b

b=0 ab＞0 ab＜0

對(duì)稱軸為y軸 對(duì)稱軸在y軸左側(cè) 對(duì)稱軸在y軸右側(cè)

c

c=0 c＞0 c＜0

經(jīng)過(guò)原點(diǎn) 與y軸正半軸相交 與y軸負(fù)半軸相交

8.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像(拋物線)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2,，是對(duì)應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

Δ＞0 拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn),；

Δ＝0 拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；

Δ＜0 物線與x軸有0個(gè)交點(diǎn)(沒(méi)有交點(diǎn)).