快樂課堂學(xué)數(shù)學(xué)-多余老師趣講“幾何初步”-華東師范大學(xué)出版社七年級(jí)上冊(cè)

一,、  本單元概述

前一單元,，我們接觸了“代數(shù)”，這一單元,，我們要接觸“幾何”,。

代數(shù)可簡稱“數(shù)”，幾何可簡稱“形”,，數(shù)和形是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要研究學(xué)習(xí)內(nèi)容,。

在數(shù)軸的學(xué)習(xí)時(shí)，我們已經(jīng)感受到“數(shù)形結(jié)合思想”,，數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)生數(shù)學(xué)生應(yīng)形成的數(shù)學(xué)意識(shí)中,，最重要的一項(xiàng),，“符號(hào)意識(shí)”是建立數(shù)形結(jié)合思想的重要基礎(chǔ)。

幾何要研究的圖形,，可分為“點(diǎn)”,、“線”、“面”,、“體”,。

課本，先簡要地說到“體”,，由“體”展開到“面”,，然后，是重點(diǎn)學(xué)習(xí)“點(diǎn)”和“線”,。

為什么會(huì)按這個(gè)順序編排本單元呢,？點(diǎn)、線,、面,、體四者之間，是什么樣的聯(lián)系,？為什么說本單元的重點(diǎn)是“點(diǎn)”和“線”,？

點(diǎn)是所有圖形的最基本的幾何元素。點(diǎn)動(dòng)成線,，線動(dòng)成面,，面動(dòng)成體。

要想掌握好幾何,，就要把最基礎(chǔ)的“點(diǎn)”,、“線”理解透徹。

二,、  先說說“體”

我們所處的空間,，是三維空間。三維的最簡單理解,，就是小學(xué)學(xué)過的“長”,、“寬”、“高”,。

現(xiàn)實(shí)中的“物”,，在幾何中都抽象成為“體”，所以我們說“物體”,。

現(xiàn)實(shí)中的物體,，在幾何中都是“體”，就是一張“長方形”的紙,，其實(shí)也是“長方體”,，只是它太?。ā案摺碧。┝?，忽略其厚度,，日常稱其為長方“形”。但一張紙,，你可以忽略它的厚度,，1000張紙，你也級(jí)忽略嗎,？

我們?yōu)榱搜芯俊绑w”,，或者說為了描述“體”，就要用到數(shù)學(xué)中“抽象”出來的“面”,、“線”,、“點(diǎn)”。

當(dāng)然,，由于“點(diǎn)”“線”“面”本身都圖形,，而圖形本身還是很“直觀的”，所以,，在數(shù)學(xué)中,，要“直觀化”，必然要借助于“形”,，“數(shù)形結(jié)合”就由此而來,。

我們把，由抽象的“面”,，向與該面垂直的方向,，平移運(yùn)動(dòng)能形成的體，稱之為“柱體”（以后會(huì)知道,，此時(shí)的準(zhǔn)確名稱為“直柱體”，此外還有“斜柱體”,。這個(gè)抽象的“面”,，稱為柱體的“底面”。平移運(yùn)動(dòng)時(shí)形成的面,，稱為“柱體的側(cè)面”,。

柱體有兩個(gè)底面，而且形狀,、大小完全一樣,。（平移的特征）

直柱體的底面是“圓形”（現(xiàn)在可簡稱為“圓”）時(shí)，稱為“圓柱”,。（只有一個(gè)側(cè)面）特別說明：在幾何中,，“圓”和“圓形”是不同的概念,，“圓”只是“圓形”的邊，不包括“圓形的內(nèi)部）,，即圓是一條封閉的“曲線”,，而圓形是圓圍成的“面”。

直柱體的底面是“多邊形”時(shí),，稱為“棱柱”,。（多邊形有N條邊，就有N個(gè)側(cè)面,，稱為“N棱柱）

棱柱的所有面（都是多邊形）的“邊”,，即面與面相交處的“線段”，稱為“棱”,。棱,，位于底面，稱“底棱”（即側(cè)面與底面相交處的線段）,；不位于底面的,，稱“側(cè)棱”（即側(cè)面相交處的線段）。

當(dāng)柱體的一個(gè)底面,，縮小變成一個(gè)“點(diǎn)”時(shí),，稱為“錐體”。這個(gè)點(diǎn)稱為錐體的“頂點(diǎn)”,，沒變的那個(gè)底面,，稱為錐體的“底面”。（錐體只有一個(gè)頂點(diǎn),，當(dāng)把棱錐當(dāng)多面體對(duì)待時(shí),，才可以說“每個(gè)棱與棱的交點(diǎn)，稱為多面體的頂點(diǎn)”,。如,，三棱錐，確定底面后,，就只有一個(gè)頂點(diǎn),；而把三棱錐說成為“四面體”時(shí)，才能說“四面體有4個(gè)頂點(diǎn)”）

更專業(yè)的描述是：一個(gè)與平面圖形不在同一平面上的點(diǎn),，與平面圖形邊上的所有點(diǎn)連接,，所圍成的體，稱為錐體,。

與柱體一樣,，錐體也分為圓錐、棱錐,。

我們把圓以直徑為軸,，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)而形成的體,，稱為“球體”。（球體就一個(gè)面）

當(dāng)“體”的所有面,，都是“多邊形”時(shí),，稱為“多面體”。

從以上可以看出,，“體”的描述,，要有“點(diǎn)線面”來共同完成。而各種“體”的概念,，很抽象,，但圖形卻是非常“直觀”,。

三,、再談?wù)動(dòng)谩懊妗眮硌芯俊绑w”

我們?cè)谡n本上，可以看到,，很多立體圖形在紙張平面上的“立體示意圖”,。

“立體示意圖”非常直觀，非常形象,。

但是,，由于要把“立體”變成“平面”，立體圖形的很多面的形狀與大小,、很多棱的長度,，都需要“變形”。如正方體的立體示意圖,，只有正面和背面還是正方形,，其它四個(gè)面都變成了平行四邊形，相應(yīng)的棱長也變短了,。

為了,，在“平面”中展示“立體”，又讓立體的面的形狀大小,、棱的長度還保持不變,。于是，數(shù)學(xué)制定了“三視圖”的規(guī)則,，使得“平面”能“準(zhǔn)確”表示“立體”。

立體,，是三維的,，有“長、寬,、高”,；平面,，是二維的，于是用“長,、寬”“長,、高”“寬、高”這三個(gè)二維,，來表示三維的體,。

一般來說，正視圖表達(dá)的是“長與高”的二維數(shù)據(jù),；左視圖表達(dá)的是“寬與高”的二維數(shù)據(jù),；俯視圖表達(dá)的是“長與寬”的二維數(shù)據(jù)。

三視圖,，肯定沒有立體示意圖直觀,，但三視圖的優(yōu)點(diǎn)是：尺寸準(zhǔn)確。

把立體圖形的三維,，分解成三個(gè)二維,，就成了三視圖。反之,，由三個(gè)二維,，來確定三維，就把三視圖“組裝”成了立體圖形,。

除了“三視圖”這種用“面”來研究“體”的方法外,，還有一種是“表面展開圖”。

但是,，“表面展開圖”只能展開“多面體”,。（曲面不能展開，展開一定變形）

展開圖的研究重點(diǎn)是：相鄰的面（鄰面）和互相平行的面（對(duì)面）,。

而鄰面和對(duì)面,，重點(diǎn)又在“對(duì)面”。

正方形的展開圖,，共有6個(gè)正方形,，分為3組對(duì)面，而每個(gè)面有4個(gè)鄰面,。

每個(gè)面的對(duì)面只有一個(gè),，確定后，4個(gè)鄰面也就出來了,。

而由鄰面來確定對(duì)面,，就要用“排除法”，就是排除“自己的鄰面”和“不是自己的對(duì)面”。

而正方體展開圖中,，“對(duì)面”有何特征呢,？

1、在同一行（或列）時(shí),，中間只隔一個(gè)面的兩個(gè)面,，就是一組對(duì)面。

2,、當(dāng)某個(gè)面在同一行（或列）中,，沒有對(duì)面時(shí)，其對(duì)面必然與自己相隔一行（或列）,。

如果,，不能按以上規(guī)則，找出剛好3組對(duì)面,，那么,，這個(gè)展開圖一定是錯(cuò)誤的。

由這個(gè)規(guī)則,，可以嘗試畫出不同形狀的展開圖,，看你能畫出多少種？

既然,，要用面來研究體,，就先把面先說一下。

平面圖形,，是由平面上,，封閉的線所圍成的圖形。

其中：

圓是由一條封閉曲線圍成的,。

多邊形是由多條線段首尾連接所封閉而成,。由N條線段圍成的多邊形，叫N邊形,。這每一條線段,，都是多邊形的一個(gè)“邊”。邊的交點(diǎn),，稱為多邊形的“頂點(diǎn)”

多邊形,，最基本的是三邊形，多邊形都可以分割成若干三角形,。

四,、重點(diǎn)談?wù)劇包c(diǎn)和線”

點(diǎn)，是幾何圖形,，最基本的元素,。

點(diǎn),，沒有大小，卻可以組成有大小的圖形

一般,，在圖形中，點(diǎn)表示某一處的具體位置,。（即圖形是表示空間的,，空間的每一個(gè)位置是“點(diǎn)”）

當(dāng)然，在時(shí)間中,，用點(diǎn)來表示某一具體時(shí)刻,。（如，3點(diǎn)整是點(diǎn),，3個(gè)小時(shí)是時(shí)間）

在線,、面、體中,，特殊位置上的點(diǎn),，就會(huì)定一個(gè)專門的名稱。

點(diǎn),，沿著一個(gè)方向平移,，就形成“線”。

“線”分為三種,，點(diǎn)平移成線時(shí)：

1,、有開始位置和結(jié)束位置，叫“線段”,。這兩個(gè)位置,，都叫線段的“端點(diǎn)”。

2,、有開始位置,，沒有結(jié)束位置，叫“射線”,。開始位置,，叫射線的“端點(diǎn)”。

3,、沒有開始位置,，也沒有結(jié)束位置，叫“直線”,。所以,，直線沒有端點(diǎn)。

線段,，也可以看成是：兩點(diǎn)間的最短連接,。即：兩點(diǎn)之間,，線段最短。

所以規(guī)定：幾何中,，“連接兩點(diǎn)”,，就是把兩點(diǎn)當(dāng)端點(diǎn)，作線段,。

線段有準(zhǔn)確的起點(diǎn)和終點(diǎn),，所以可以量出線段的長度。連接兩點(diǎn)線段的長度,，也就是這兩點(diǎn)間的距離,。

射線，可以看作是,，將線段朝一個(gè)方向無限延伸,。也可以看作是，直線上一點(diǎn),，將直線所分成的兩部分,。

由于射線只有一個(gè)端點(diǎn)，即射線有明確的方向,，所以,，射線只能用兩個(gè)大寫字母表示，且表示端點(diǎn)的字母必須寫在前面,。（規(guī)定：點(diǎn)用大寫字母表示,，線用小寫字母表示）

直線，可以看作是,，將線段朝兩個(gè)方向無限延伸,。（即，兩點(diǎn)確定一條直線）也可以看作是,，將射線反向延長,。

由于直線和線段都沒有方向性，所以,，它們都可以用兩個(gè)大寫字母（無順序要求）,，或一個(gè)小寫字母表示。

由于直線和射線,，都是無限延伸的,，所以，它們都不能測(cè)量長度,，也就不能進(jìn)行長度的比較,。（“直線和射線沒有長度”，這句話是不準(zhǔn)確的,，準(zhǔn)確的說法是“有長度,，但無法測(cè)量,。這好比整數(shù)有無限多個(gè)，你不能說整數(shù)沒有個(gè)數(shù)吧,。）

在以后的學(xué)習(xí)中,，會(huì)逐漸體會(huì)到：

由于射線和直線沒有具體長度，所以它們一般用于研究角度問題,。在涉及角度問題的表示時(shí),，直線二字可以省略。如：a平行于b,，這里的a和b是直線、線段都可以,。

線段有具體長度,，所以，線段的研究基本都會(huì)涉及長度大小的比較,。在涉及長度表示時(shí),，線段二字可以省略。如：MN=10,，一定說的是線段MN的長度是10,，而肯定不會(huì)說直線MN）

把線段分成N條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的N等分點(diǎn),。

當(dāng)把線段分面2條相等線段時(shí),，二等分點(diǎn)只有一個(gè)，所以,，就單獨(dú)起個(gè)名字,，叫“中點(diǎn)”。

三個(gè)點(diǎn),，一共可以確定三條線段,，只有兩條較短線段長度的和，等于最大線段的長度,，才能說,，這三點(diǎn)在同一直線上。（AB+BC=AC時(shí),，A,、B、C三點(diǎn)共線）

同樣,，三點(diǎn)確定的三條線段中,，只有兩條較短線段的長相等，且都等于最長線段的長度一半時(shí),，才能說,，這三點(diǎn)在同一直線上,，且中間位置的點(diǎn)，是最長線段的中點(diǎn),。（AB=BC=AC/,，則B是線段AC的中點(diǎn)）

同學(xué)們，在幾何學(xué)習(xí)中,，一定要鍛煉自己的語言表達(dá)能力,，包括

1、用“文字語言,、符號(hào)語言,、圖形語言”分別描述同一種情況。

2,、對(duì)同一種情況,，使用不同的文字語言進(jìn)行描述，

五,、最后談?wù)劇熬€與線的組合”

在前面,，已經(jīng)談過“點(diǎn)與點(diǎn)”、“點(diǎn)與線”的關(guān)系?，F(xiàn)在升級(jí),，研究“線與線”的關(guān)系。

在同一平面內(nèi),，兩條直線的關(guān)系：

1,、按是否重合分為：兩線重合、兩線不重合,。

2,、不重合的兩線，再按是否相交分為：兩線相交,、兩線平行（不相交）,。相交時(shí)，稱為“相交線”,；平行時(shí),，稱為“平行線”。注意：相交線,、平行線,，都不可能是一根。想想,，這是為什么,？

3、兩線相交時(shí),，所成的角都是90度,，則兩線“互相垂直”,。兩直線的交點(diǎn)，稱“垂足”,。

特別說明：初中,，除對(duì)立體圖形的初步認(rèn)識(shí)外，只研究“平面幾何”,，在能確定是在一個(gè)平面上時(shí),，“在同一平面內(nèi)”才可以省略；不能確定是在一個(gè)平面上時(shí),，千萬不能省略,。因?yàn)椋谌S情況下（立體情況）,，兩線不相交時(shí),，也可以不平行，稱為“異面直線”,，即兩線不可能位于同一平面內(nèi)。

兩線相交,，就會(huì)出現(xiàn)“角”,，這就要研究角了。

由于,，初中和小學(xué)一樣,，只研究小于或等于180度的角，所以,，角的概念,，仍使用小學(xué)時(shí)的概念：兩條有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形。

關(guān)于角的旋轉(zhuǎn)定義,，現(xiàn)在只要知道,，可以用旋轉(zhuǎn)這個(gè)角度描述角，就可以了,。等到高中,，才正式使用這一概念。現(xiàn)在可用的地方,，就是用來描述“周角”和“0度角”的不同,。

角的正規(guī)表示方法是，“角符號(hào)”+“組成角的兩條射線”,，由于這兩條射線的端點(diǎn)是共用的,，所以將表示端點(diǎn)的字母放在中間，用三個(gè)字母+“角符號(hào)”表示角,。

當(dāng)射線端點(diǎn)處,，只有一個(gè)角時(shí),，可省略為“角符號(hào)”+“端點(diǎn)字母”。

由于角的正確符號(hào)書寫要寫三個(gè)字母,，為了“簡潔”,，經(jīng)常用“標(biāo)注法”來表示角。標(biāo)注角時(shí),，用數(shù)字（從1開始）或希臘字母（從а開始）,。

標(biāo)注，是指只能在圖形上直接使用,。即使用時(shí),，必須有圖形配合，沒有圖形,，就不能直接用標(biāo)注法表示角,，而必須先說明“標(biāo)注角”代表的是哪個(gè)“正規(guī)角”。

角的大小比較,，與線段的長度比較,，都和小學(xué)一年級(jí)就學(xué)過的比較方法一樣。

1,、直接數(shù)出,，或測(cè)量后，進(jìn)行數(shù)值比較,。

2,、二是開始處對(duì)齊，比較結(jié)尾處,。

角的平分線的命名方法和判斷方法,，與中點(diǎn)一樣。

角的度分秒計(jì)算,，與小學(xué)的時(shí)間的時(shí)分秒計(jì)算一樣,。

用三角形板玩組合角，更是小學(xué)時(shí)的數(shù)學(xué)游戲,。就是90度,、60度、30度,、45度之間進(jìn)行加減組合,。

角與角的關(guān)系，分為位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,。（這兩種關(guān)系的分類考慮,，在幾何中是最常見的）

當(dāng)兩角和為90度時(shí)，兩角“互為余角”（互余）。

當(dāng)兩角和為180度時(shí),，兩角“互為補(bǔ)角”（互補(bǔ)）,。互余和互補(bǔ),，都是只考慮數(shù)量關(guān)系,，不考慮位置關(guān)系。

當(dāng)互補(bǔ)的兩角有一條公共邊,，且另兩邊位于同一直線上時(shí),，稱為“鄰補(bǔ)角”?！班彙闭f的是位置關(guān)系,；“補(bǔ)”說的是數(shù)量關(guān)系。

余角一詞,，來自于中國的傳統(tǒng)數(shù)學(xué),，在中國歷史上，把直角三角形的兩個(gè)銳角,，稱為“余角”,。（直角三角形的兩銳角互余；有兩個(gè)角互余的三角形,，是直角三角形）,。

這個(gè)“余”字，以后還會(huì)出現(xiàn),，叫“余弦”?？傊?，在幾何中，“余”這個(gè)字,，與“直角”有關(guān),。

兩條直線相交，共得到4個(gè)角,，其中不相鄰的兩角,，叫作“一組對(duì)頂角”。這是從對(duì)頂角的“產(chǎn)生”來描述的,。

按對(duì)頂角的位置關(guān)系描述為：不重合的兩角有共同的端點(diǎn),，且兩角的兩邊分別位于同一直線上。

對(duì)頂角也具有數(shù)量關(guān)系,，即“對(duì)頂角相等”,。但對(duì)頂角的定義，是由位置決定的,，所以,，根據(jù)數(shù)量關(guān)系,，不能判斷是否為對(duì)頂角。

數(shù)學(xué)中的句子,，有“等價(jià)形”“描述形”等,。

等價(jià)形句子的前后兩部分可以互換，其實(shí)質(zhì)是“用不同的語言描述同一種情況”,。

描述形句子的前后兩部分不能交換,，其實(shí)質(zhì)是“后者是由前者得到的一種結(jié)果”。

將成立的數(shù)學(xué)句子的前后兩部分交換,，看是否仍然成立,，是很重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

另外要強(qiáng)調(diào)一下,，“余角,、補(bǔ)角、鄰補(bǔ)角,、對(duì)頂角”都是“相對(duì)詞”,，不是“絕對(duì)詞”。區(qū)分“相對(duì)詞”和“絕對(duì)詞”,，也是很重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法,。

兩線相交，有一個(gè)非常特別的情況,，就是兩線垂直,。此時(shí)，兩線所成的4個(gè)角都等于90度,。

在幾何中“垂直”既強(qiáng)調(diào)了位置關(guān)系,，又強(qiáng)調(diào)了數(shù)量關(guān)系。

一條直線,，有無數(shù)條垂線,。

但在同一平面內(nèi)，無論是過直線外一點(diǎn),、還是過直線上一點(diǎn),，都只能做一直線的一條垂線。即：過平面內(nèi)一點(diǎn),，有且只有一條直線與已知直線垂直,。

過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，該點(diǎn)和垂足之間的線段,，叫做垂線段,。直線外一點(diǎn)與已知直線上任一點(diǎn)之間的連線中，垂線段最短。垂線段的長,，稱為該點(diǎn)到直線的距離,。

在小學(xué)時(shí)，我們就知道“用直尺和三角板畫平行線”,，這個(gè)過程,，用數(shù)學(xué)語言敘述就是，將“角”沿其中一邊所在直線平移,，則另一邊平移前后,，互相平行。

這說明,，平行線間也存在“角相等”的情況,。通過平行線作圖，可知以下結(jié)論：

1,、經(jīng)過直線外一點(diǎn),，有且只有直線與已知直線平行。

2,、如果兩條直線都和第三條直線平行,，那么這兩條直線也互相平行。

注意：這兩個(gè)結(jié)論,，都沒有使用“在同一平面內(nèi)”,，尤其是第2條，根據(jù)內(nèi)容也不能確定就是在平面內(nèi),。這是為什么呢,？

結(jié)論是根據(jù)“平移”得出的，而平移“沒有在同一平面內(nèi)”的限制,。即,，平移的結(jié)果，在平面和立體情況下,，都是一樣的。

繼續(xù)研究：將“角”沿其中一邊所在直線平移,，則另一邊平移前后,，互相平行。

這說明：由角相等,，可得到兩直線平行的結(jié)論,。

可這相等的角，如何描述,？起什么名字呢,？

幾何中，有數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系的元素，都會(huì)起個(gè)專用的名字,。如：余角,、補(bǔ)角、對(duì)頂角等,。

現(xiàn)在觀察,，平移前后的兩個(gè)角，有什么關(guān)系,？數(shù)量關(guān)系肯定是相等,，位置關(guān)系呢？

兩個(gè)角有一條公共邊,。

于是,，研究一下，符合“兩個(gè)角有一條公共邊”這一要求的情況,。通過畫圖,，可知，符合要求的,，一共有四種情況,。

一是F形，二是Z形,，三是匚形,，四是“半反F”形（F的一條橫線沿豎線軸對(duì)稱）。

角的邊是射線,，而“線”的完整情況是直線,。我們將上面這四種情況中角的邊，都延長成直線,。這時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn),，四個(gè)情況的圖形，都變成了同一類圖形：兩角不共線的邊所在的兩條直線,，被公共邊所在的直線所截,。（即，兩直線都與第三條直線相交）

一個(gè)交點(diǎn)處的4個(gè)角,，都分別與另一交點(diǎn)的4個(gè)角,，形成總結(jié)的4種關(guān)系。

其中：

第一種關(guān)系（F形）,，命名為“同位角”,，即在兩條直線的同側(cè)，也在第三條直線的同側(cè),。同位即“相同位置”,。

第二種關(guān)系（Z形）,，命名為“內(nèi)錯(cuò)角”，即在兩條直線間的內(nèi)側(cè),，在第三條直線的兩側(cè),。內(nèi)錯(cuò)即“內(nèi)側(cè)錯(cuò)位”或“內(nèi)側(cè)相錯(cuò)”。

第三種關(guān)系（匚形）,，命名為“同旁內(nèi)角”,，即在兩條直線間的內(nèi)側(cè)，在第三條直線的同側(cè),。同旁內(nèi)即“內(nèi)側(cè)同旁”,。

第四種關(guān)系（半反F形），不予命名,。 為什么這么不公平,，它們?nèi)济荩臀覜]有,？

這就是因?yàn)閿?shù)學(xué)的“簡潔性”,。命名的新詞，越少越好,；新詞,，要求簡潔，用字少且表達(dá)清楚明了,。

第四種關(guān)系,，通過“對(duì)頂角”和“鄰補(bǔ)角”，就可轉(zhuǎn)化為前三種關(guān)系中的一種,，而且由前三種關(guān)系的命名方法,，不能起個(gè)簡潔的名字,。于是,，“半反F“就成了一個(gè)另類,。

根據(jù)畫平行線的方法可知：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行,。

而“內(nèi)錯(cuò)角”和“同旁內(nèi)角”,，經(jīng)過“對(duì)頂角”或“鄰補(bǔ)角”，可轉(zhuǎn)化到內(nèi)錯(cuò)角關(guān)系是,。從而得到：

內(nèi)錯(cuò)角相等,，兩直線平行（經(jīng)過對(duì)頂角關(guān)系）；同旁內(nèi)角補(bǔ),，兩直線平行（經(jīng)過鄰補(bǔ)角關(guān)系）。

數(shù)學(xué)有一大特點(diǎn)：喜歡研究特殊情況,。

兩條直線被第三條直線所截（兩條直線都與第三條直線相交）的特殊情況是,，兩條直線都與第三條直線垂直,。此時(shí)，不用分“同位”,、“內(nèi)錯(cuò)”,、“同旁內(nèi)”，都是直角,。

于是直接定下：垂直于同一直線的兩條直線平行,。

以上得到平行結(jié)論的4句話，前后反過來,，看是否成立,？（反過來看，是一個(gè)重要的理科方法和習(xí)慣）

很明顯,，依然成立,。

由角的數(shù)量關(guān)系，判定位置關(guān)系,。稱為“平行線的判定”,。

由位置關(guān)系，得出角的數(shù)量關(guān)系,。稱為“平行線的性質(zhì)”,。

六、超前說說“幾何證明”

“證明”一詞,，在華東師大的數(shù)學(xué)版本中,，要到初三才正式出現(xiàn)。

但在實(shí)際的作業(yè)和考試中,，現(xiàn)在就已經(jīng)開始出現(xiàn)了,，只不過換了個(gè)說法，叫“請(qǐng)說明”,、“請(qǐng)說明理由”等,。所以，不得不超前說說“幾何證明”,。

“幾何證明”,，是最體現(xiàn)數(shù)學(xué)的“邏輯性”。

“邏輯”,，簡單地說,，就是根據(jù)“大家認(rèn)可的理由”，經(jīng)過“大家認(rèn)可的推理”,，由具體的情況,，推導(dǎo)得出一個(gè)具體的結(jié)論。

在證明中,，“大家認(rèn)可的理由”,，就是課本上的黑體字印刷的句子,。

這些句子，分為三類：

一是公理,，也稱“基本事實(shí)”或“定義”,，公理的結(jié)論不需要證明，是其它證明的基礎(chǔ),。

二是定理,，也稱“判定”、“性質(zhì)”,，是由公理推導(dǎo)證明得出,，具有通用性。

三是推論,，課本上的團(tuán)體句子,，但不是以上4種情況，是則公理和定理證明得出的,，關(guān)于特殊情況下的結(jié)論,。

在證明中，“大家認(rèn)可的推理”,，就是三段論,。

第一段，是大前提,，即“大家認(rèn)可的理由”（寫在“所以句”,，后面括號(hào)里的文字）。公理,、定理,、推論，這些句子,，本身就包含有,，“條件”（因?yàn)椤⑷绻?、由于）和結(jié)論（所以,、那么、可得）,。

熟練地將,，課本上的黑體句子，拆寫成標(biāo)準(zhǔn)的“因?yàn)椋?/SPAN> ）,，所以（ ）”這樣的“推理句式”,，是做好證明的基本功。

第二段,，是小前提,，即符合“大前提”的“因?yàn)榫洹钡摹耙阎獥l件”或“已推理得出的結(jié)論”,。

第三段，是結(jié)論,，即符合“大前提”的“所以句”的“具體情況下的結(jié)論”。

在證明的實(shí)際書寫中,，在要盡量使用“符號(hào)語言”,，“大前提”省略不寫，現(xiàn)階段作為訓(xùn)練基本功的要求,，要求將大前提,，寫在“所以句”后的括號(hào)內(nèi)；只寫“小前提”（因?yàn)榫洌┖汀敖Y(jié)論”（所以句）,。

在證明時(shí),，還涉及到數(shù)量關(guān)系的代換和計(jì)算。

代換依據(jù)的大前提是“等量代換”（即由幾個(gè)相等量,，相互代換而得）,。

計(jì)算依據(jù)的大前提是“等式的性質(zhì)”（即已知等式，和等式中部分量,，得出其它部分量）,。

有很多同學(xué)，對(duì)證明題很感到頭痛,，甚至是,，知道是怎么推導(dǎo)出結(jié)論，可就是不會(huì)書寫完整,、準(zhǔn)確的推理過程,。

多余老師告訴這些同學(xué)，一個(gè)很簡單的方法：

1,、推理過程的最基本單元,，就是一個(gè)因?yàn)楹鸵粋€(gè)所以。你就將題目的每個(gè)已知條件,，作為因?yàn)?，寫出?duì)應(yīng)的所以；將題目要推導(dǎo)的結(jié)論和你能得到的結(jié)論,，作為所以,，寫出對(duì)應(yīng)的因?yàn)椤?/SPAN>

2、完整的推理過程,，是由一個(gè)個(gè)推理的基本單元,，一環(huán)套套一環(huán)而成的，上一單元的所以,，是下一單元的因?yàn)?。這樣,，你就將你寫出的每一個(gè)因?yàn)樗裕凑浙暯拥年P(guān)系,，標(biāo)出先后順序,，這樣就組合成了完整的推理過程。如果發(fā)現(xiàn)有銜接不上的情況,，那肯定是缺少了“基本單元”,，就在脫節(jié)處，繼續(xù)進(jìn)行第一步的工作,，直到銜接上,。

由于，現(xiàn)在讓你們寫證明,，屬于超前要求,，所以，對(duì)證明頭痛的同學(xué),，不要因此而對(duì)自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去信心,。

只要你能快速、準(zhǔn)確地完成課本上的,，“填空式”證明題,，那么你的證明水平就是合格的。完全能把數(shù)學(xué)學(xué)好,。