關(guān)于“數(shù)學(xué)是什么？”的文摘及思考*

揚州市育才小學(xué)       陳士文

 “當(dāng)人們發(fā)現(xiàn)一對雛雞和兩天之間有某種共同的東西（數(shù)字2）時,，數(shù)學(xué)就誕生了,。”（英國數(shù)學(xué)家羅素語）

那么數(shù)學(xué)是什么呢？

高斯說：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后,。”

伽利略說：“數(shù)學(xué)是上帝用來書寫宇宙的文字,。”

愛因斯坦說：“這個世界可以由音樂組成，也可以由數(shù)學(xué)公式組成,。”

數(shù)學(xué)身份尊貴,，地位顯赫，無之不可,?！翱茖W(xué)皇后”“宇宙文字”“世界組成”都是詩化的語言和比喻的描述，從學(xué)術(shù)的角度上,，并未回答“數(shù)學(xué)是什么”,。

讓我們打開浙江師范大學(xué)張維忠教授的專著《數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)課程》（上海教育出版社）：

數(shù)學(xué)對象終究不是物質(zhì)世界中的真實存在，而是抽象思維的產(chǎn)物,，它是一種認為約定的規(guī)則系統(tǒng),。為了描繪世界，數(shù)學(xué)家們總是在發(fā)明新的描述形式，除了在科學(xué)技術(shù)方面的應(yīng)用外,，同樣還具有精神領(lǐng)域的功效（比如通常人們所說的數(shù)學(xué)觀念,，如推理意識、化歸意識,、整體意識,、抽象意識、數(shù)學(xué)審美意識等）,。因此從以上兩方面的意義上來說,，數(shù)學(xué)就是一種文化。

張維忠教授認為數(shù)學(xué)是一種文化,，《數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)課程》一書的第四章《數(shù)學(xué)的文化價值》從六個方面加以闡述,，即：

數(shù)學(xué)——打開科學(xué)大門的鑰匙；數(shù)學(xué)——科學(xué)的語言,；數(shù)學(xué)——思維的工具,；數(shù)學(xué)——一種思想方法；數(shù)學(xué)——理性的藝術(shù),；數(shù)學(xué)——充滿理性精神,。

無獨有偶，東南大學(xué)博士生導(dǎo)師王元明教授的觀點與之是英雄所見略同,，其所著的《數(shù)學(xué)是什么》（東南大學(xué)出版社）分四個要點意在回答“數(shù)學(xué)是什么”,。

1、數(shù)學(xué)是一種語言,，是一切科學(xué)的共同語言,。

2、數(shù)學(xué)是一把鑰匙,，一把打開科學(xué)大門的鑰匙,。

3、數(shù)學(xué)是一種工具,，一種思維的工具,。

4、數(shù)學(xué)是一門藝術(shù),，一門創(chuàng)造性藝術(shù),。

綜合兩位教授的觀點，“鑰匙”“語言”“工具”“藝術(shù)”等名詞依然是譬喻,，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是什么呢,？甘肅政法學(xué)院計算機學(xué)院王汝發(fā)教授撰寫了《關(guān)于“數(shù)學(xué)是什么”的哲學(xué)反思》一文，文中把對“數(shù)學(xué)是什么”的回答歸為兩類,，摘要如下：

隱喻性回答：

1,、數(shù)學(xué)是打開科學(xué)大門的鑰匙,。因為“數(shù)學(xué)是一門科學(xué)”這是我們大家公認的，而自己是打開自己大門的鑰匙,！這似乎有點解釋不通,，這對于“數(shù)學(xué)是什么”的問題來說又似乎什么都沒說——試問哪一門學(xué)科不是打開科學(xué)大門的鑰匙。

2,、數(shù)學(xué)是科學(xué)的語言,。數(shù)學(xué)和語言在許多方面是不同的，如孫宏安所說：“不僅外延有較大的不同,，而且種屬關(guān)系也不一致,。”因此這種比喻不但沒有解決數(shù)學(xué)問題的性質(zhì),，甚至本身也有不能自圓其說之嫌,。

3、數(shù)學(xué)是思維的工具,。認為數(shù)學(xué)是思維的科學(xué),，將二者聯(lián)系起來一個是工具而另一個是科學(xué)，這就有點邏輯問題,，因為科學(xué)與工具相差還是很大的,。

4、數(shù)學(xué)是理性的藝術(shù),。數(shù)學(xué)與藝術(shù)有著很多的本質(zhì)不同，因為數(shù)學(xué)講究的是論證簡潔,、推理嚴謹,、文體優(yōu)美、思路清晰,、形式對稱等,，而藝術(shù)則是一種創(chuàng)作，要求特立獨行,、張揚個性,，不允許有雷同。

5,、數(shù)學(xué)是一種理性精神,。說數(shù)學(xué)是一種理性的精神，仍需重新面對“數(shù)學(xué)是什么”的問題,。

實質(zhì)性回答：

1,、形式傾向性說法。數(shù)學(xué)是一門演繹科學(xué),。推動數(shù)學(xué)發(fā)展的主要動力是歸納而不是演繹,，這種說法側(cè)重于數(shù)學(xué)的演繹性而忽略了數(shù)學(xué)的經(jīng)驗性特點,，并不能反映數(shù)學(xué)的全貌。

2,、綜合性說法,。數(shù)學(xué)是一門演算的科學(xué)。直接將“演”“算”——演繹證明作為“數(shù)學(xué)是什么”來回答等于又回到原來的問題,；其次是計算機技術(shù)已從數(shù)學(xué)學(xué)科中分離出來,，已經(jīng)成了一門獨立的學(xué)科，因此這種定義仍不能令人滿意,。

3,、對象性說法。數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的科學(xué),。這種定義在過去數(shù)學(xué)發(fā)展的一定時期內(nèi)是極其精辟和完美無缺的,，而數(shù)學(xué)的發(fā)展使其原來的定義已無法適應(yīng)新形勢下數(shù)學(xué)發(fā)展的需要。

反思總歸是反思,，好像并未立論,，就此為止，我們?nèi)晕吹玫健皵?shù)學(xué)是什么”的本質(zhì)回答,，究竟數(shù)學(xué)是不是一門演算的科學(xué),？

中國社會科學(xué)院哲學(xué)所教授林夏水撰文《論數(shù)學(xué)的本質(zhì)》，認為：

“演算”概括了數(shù)學(xué)研究的特點,，反映了數(shù)學(xué)的經(jīng)驗性與演繹性及其辯證關(guān)系,，我們有理由把它作為對數(shù)學(xué)本（性）質(zhì)的概括，說“數(shù)學(xué)是一門演算的科學(xué)”,。

隨即陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院教授黃秦安提出反對意見,，黃泰安教授在《我們應(yīng)該如何認識數(shù)學(xué)的本質(zhì)——對林夏水先生“論數(shù)學(xué)的本質(zhì)”一文的商榷》一文中寫到：

從邏輯的角度看，“數(shù)學(xué)是一門演算的科學(xué)”的結(jié)論既有定義過寬的缺點,，又有定義過窄的缺陷,。如果數(shù)學(xué)可以歸結(jié)為“演與算”，那計算機就是水平最高的數(shù)學(xué)家了,。

文摘摘到現(xiàn)在,，我們并沒有從學(xué)術(shù)的角度，把數(shù)學(xué)與哲學(xué),、數(shù)學(xué)與科學(xué),、數(shù)學(xué)與藝術(shù)作比較研究，當(dāng)我們讀到中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所教授胡作玄的專著——《數(shù)學(xué)是什么》（北京大學(xué)出版社）時,，我們有了新的認識,。胡作玄教授著力分辨出數(shù)學(xué)本質(zhì)的不同之處：

數(shù)學(xué)與哲學(xué)的區(qū)別：

1、哲學(xué)較大程度上是主觀知識,；而數(shù)學(xué)則是客觀知識,。

2,、哲學(xué)圍繞少數(shù)偉大的哲學(xué)家的論題發(fā)展；數(shù)學(xué)則是積累的,、不斷進步的,、逐步系統(tǒng)化的知識領(lǐng)域。

3,、哲學(xué)和數(shù)學(xué)各有其關(guān)聯(lián)的范圍：哲學(xué)的關(guān)聯(lián)的范圍廣,，但強度弱；數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)度強,，它把許多領(lǐng)域轉(zhuǎn)化為科學(xué),。

數(shù)學(xué)與科學(xué)的區(qū)別：

1、自然科學(xué)以現(xiàn)實世界的事物及對象為對象,；數(shù)學(xué)則以抽象模型,、抽象形式、抽象關(guān)系為對象,，這樣的對象可以來自自然界,，也可來自社會，其后來自原有概念的演化及加工,。

2,、自然科學(xué)的目標(biāo)是尋求對客觀事實的解釋，建立理論并提出可證實或證偽的預(yù)言,，這些往往稱為定律或規(guī)律,；數(shù)學(xué)的目標(biāo)則是尋求概念之間的邏輯關(guān)系，其結(jié)果形成定理或算法,。

3,、自然科學(xué)的確證必須靠觀察和實驗的經(jīng)驗證明，當(dāng)然它也依賴于理論的結(jié)果與已知確證的理論不相矛盾,。自然科學(xué)是站在理論和實驗兩條腿的基礎(chǔ)上；數(shù)學(xué)只有一條腿,，即邏輯的無矛盾性,。

4、自然科學(xué)的“真理”有其近似性和相對性,；而數(shù)學(xué)的真理則是絕對的和不朽的,。

5、自然科學(xué)工作的本質(zhì)是發(fā)現(xiàn),；數(shù)學(xué)工作的本質(zhì)是發(fā)明,。

數(shù)學(xué)與藝術(shù)的區(qū)別：

1、數(shù)學(xué)求真,，藝術(shù)求美,。真對數(shù)學(xué)來說是第一性的,，而美是第二性的。

2,、數(shù)學(xué)具有積累性,、進步性、歷史性,，數(shù)學(xué)同一領(lǐng)域的結(jié)果有可比性,；藝術(shù)則缺乏可比性，既沒有橫向的可比性也沒有歷史的可比性,。

3,、數(shù)學(xué)強調(diào)一般性、統(tǒng)一性,，數(shù)學(xué)的理解有程序性,，也就是需要按部就班的學(xué)習(xí)與掌握，大部分數(shù)學(xué)缺少直觀性常常構(gòu)成理解上的困難,；而藝術(shù)強調(diào)個性,、特殊性，但并不因此更難理解,，因為藝術(shù)作品帶有直觀性和直感性,。藝術(shù)理解的困難在于對情境的陌生。

從比較的視角,，中國的教授胡作玄著《數(shù)學(xué)是什么》,，而美國兩位數(shù)學(xué)教授柯朗、羅賓合著《什么是數(shù)學(xué)》（復(fù)旦大學(xué)出版社）,，美國數(shù)學(xué)教授斯圖爾特在修訂《什么是數(shù)學(xué)》一書的序言中申明：

《什么是數(shù)學(xué)》這本書是一本數(shù)學(xué)經(jīng)典名著,，它收集許多閃光的數(shù)學(xué)珍品。它的目標(biāo)之一是反擊這樣的思想：“數(shù)學(xué)不是別的東西,，而只是從定義和公理推導(dǎo)出來的一組結(jié)論,，而這些定義和命題除了必須不矛盾外，可以由數(shù)學(xué)家根據(jù)他們的意志隨意創(chuàng)造,?！?SPAN lang=EN-US>

柯朗、羅賓認為：

數(shù)學(xué),，作為人類思維的表達形式,，反映了人們積極進取的意志、縝密周詳?shù)耐评硪约皩ν昝谰辰绲淖非?。它的基本要素是：邏輯和直觀,、分析和構(gòu)作、一般性和個別性,。

唯一能回答“什么是數(shù)學(xué)”這個問題的,，不是哲學(xué),，而是數(shù)學(xué)本身中活生生的經(jīng)驗。

同樣,，我們可以讀到浙江大學(xué)教授蔡天新在《數(shù)學(xué)與人類文明》（浙江大學(xué)出版社）一書中的觀點：

數(shù)學(xué)與科學(xué),、人文的各個分支一樣,，都是人類進化和智力發(fā)展進程的反映,。它們在特定的歷史時期必然呈現(xiàn)出某種相通的特性,，甚至相互影響。在按時間順序講述不同地域文明的同時,，我們先后探討了數(shù)學(xué)與各式各樣的文明之間的關(guān)系,。例如，埃及和巴比倫的數(shù)學(xué)源于人們生存的需要,，希臘數(shù)學(xué)與哲學(xué)密切相關(guān),，中國數(shù)學(xué)的活力來自歷法改革，印度數(shù)學(xué)的源泉始于宗教,，而波斯數(shù)學(xué)和天文學(xué)互不分離,。進入20世紀以后，抽象化成為數(shù)學(xué)和人文的共性,。

數(shù)學(xué)不僅來源于人們生存的需要,，最終也還是要返回到這個世界中去的。

邏輯和直觀,、分析和構(gòu)作,、一般性和個別性、抽象化……這是數(shù)學(xué)的本質(zhì)嗎,？還有“數(shù)學(xué)是關(guān)于數(shù)和形的科學(xué)”“數(shù)學(xué)是關(guān)于模式和結(jié)構(gòu)的科學(xué)”等等,，不同時代不同論述，難道我們莫衷一是嗎,？還是歷史辯證的分析呢,？且看下面的觀點：

關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的問題是一個具有時代性、前瞻性,、發(fā)展性,、綜合性的數(shù)學(xué)哲學(xué)核心問題。在數(shù)學(xué)的任何發(fā)展階段都不可能有固定的,、永恒不變的答案，這應(yīng)該成為數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的一條認識論原則,。單純片面地從某個角度去看數(shù)學(xué)的本質(zhì)都會是有失偏頗的,。

——摘自陜西師范大學(xué)教授黃秦安《我們應(yīng)該如何認識數(shù)學(xué)的本質(zhì)》

對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認識更多地取決于對數(shù)學(xué)的心靈感悟，這才是接近數(shù)學(xué),、走進數(shù)學(xué),、研究數(shù)學(xué)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的不竭動力源泉,。

對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認識，是數(shù)學(xué)認識的一個根本性問題,，也是數(shù)學(xué)教育論的一個根本性問題,。

人們對數(shù)學(xué)的不同感受可以得出對數(shù)學(xué)本質(zhì)完全不同的認識，從不同的角度觀察數(shù)學(xué)也可以得出對數(shù)學(xué)本質(zhì)的不同理解,。所以,，對數(shù)學(xué)本質(zhì)下一個統(tǒng)一的定義，既不大可能,，也沒有必要,。并且，我們最好不要花太多的精力去思考哪一個關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的定義更合乎自己的認識,，因為這是無關(guān)緊要的,。對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認識更多地取決于對數(shù)學(xué)的心靈感悟，這才是接近數(shù)學(xué),、走進數(shù)學(xué),、研究數(shù)學(xué)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的不竭動力源泉。

——摘自湖南大學(xué)衡陽分校副教授黃光榮《對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認識》

不想再摘了,，摘多了,，可能會中了法國數(shù)學(xué)家安德烈·韋伊的話——“數(shù)學(xué)的特別之處，就是它不能為非數(shù)學(xué)家所理解”,。

我們要思考,！我們不是數(shù)學(xué)家，我們是數(shù)學(xué)教育工作者,，我們是小學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者,。那么小學(xué)數(shù)學(xué)是什么？小學(xué)數(shù)學(xué)教育是什么,？

我們摘錄了許多數(shù)學(xué)家的觀點,，現(xiàn)在來聽聽教育家的聲音。美國數(shù)學(xué)教育家克萊因說：“音樂能激發(fā)或撫慰情懷,，繪畫使人賞心悅目,，詩歌能動人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧,，科技改善物質(zhì)生活,，但數(shù)學(xué)卻能提供以上一切。”

這一切的核心是什么呢,？從何處起步呢,？

中國科學(xué)院院士張景中提出了從“數(shù)學(xué)教育”到“教育數(shù)學(xué)”的觀點。張景中、曹培生教授合著《從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)》（中國少年兒童出版社）一書的前言及后記中這樣寫道：

為了教育的需要,，對數(shù)學(xué)研究成果進行再造式的整理,，提供適于教學(xué)法加工的材料，往往需要數(shù)學(xué)上的創(chuàng)新,。這屬于教育數(shù)學(xué)的任務(wù),。

所謂教育數(shù)學(xué)，就是為了教育而做數(shù)學(xué),。它和數(shù)學(xué)教育有關(guān)系,，但又不相同。數(shù)學(xué)教育著眼于教學(xué)法和如何對數(shù)學(xué)材料進行教學(xué)法的加工,，是為了數(shù)學(xué)而做教育,，并不承擔(dān)數(shù)學(xué)上的創(chuàng)造工作，也就是并不做數(shù)學(xué),；教育數(shù)學(xué)則實實在在是要做數(shù)學(xué)的,。

英國數(shù)學(xué)家阿蒂亞說：“數(shù)學(xué)的目的，就是用簡單而基本的詞匯去盡可能地多解釋世界,。如果我們積累起來的生活經(jīng)驗要一代代傳下去,，就必須不斷努力把它們簡化和統(tǒng)一。”

波蘭數(shù)學(xué)家馬克·卡茨說：“推廣與抽象是數(shù)學(xué)的最重要的工作,。正是由于推廣與抽象,，數(shù)學(xué)才能具有如此不可思議的有效性。”

簡化和統(tǒng)一,、推廣和抽象……就是為了教育而做數(shù)學(xué)——教育數(shù)學(xué),。

文章寫到此，我們應(yīng)該明白了,，我們不是從數(shù)學(xué)家的角度為數(shù)學(xué)定義,而是為小學(xué)數(shù)學(xué),為小學(xué)數(shù)學(xué)教育,為了小學(xué)生享受數(shù)學(xué)教育,。

我們所作的教育數(shù)學(xué)，就是“智慧數(shù)學(xué)”,?！皵?shù)學(xué)是一種智慧，數(shù)學(xué)造就智慧人生,?！边@是誰說的？陳士文,，我,。

我在繼續(xù)思考，數(shù)學(xué)是什么,？小學(xué)數(shù)學(xué)是什么,？小學(xué)數(shù)學(xué)教育是什么？

我提出了“智慧數(shù)學(xué)”的教育觀點，數(shù)學(xué)是一種創(chuàng)造,，從結(jié)繩記事，到石頭算籌,，算盤電腦……從歐幾里德,，到歐拉，到牛頓……歸納演繹,，抽象推廣,，三次危機，建立新論,，數(shù)學(xué)是人類智慧的生長和超越,。

“對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認識更多地取決于對數(shù)學(xué)的心靈感悟，這才是接近數(shù)學(xué),、走進數(shù)學(xué),、研究數(shù)學(xué)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的不竭動力源泉”（黃光榮語），我的心靈感悟是——“智慧數(shù)學(xué)”,，小學(xué)數(shù)學(xué)教育,，為什么不是“智慧數(shù)學(xué)”呢？