摘要：數(shù)學(xué)是探討數(shù)與形運動規(guī)律的學(xué)科,。數(shù)學(xué)教學(xué)法是研究數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律的。馬克思主義哲學(xué)是研究數(shù)學(xué),、自然科學(xué),、社會科學(xué)和思維科學(xué)的科學(xué)。數(shù)學(xué)教育工作者如何將哲學(xué)與數(shù)學(xué)緊密聯(lián)系起來,，使之相互通融非常關(guān)鍵,。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) 哲學(xué) 辨證統(tǒng)一 關(guān)系 淵源

1 引言

數(shù)學(xué)是探討數(shù)與形運動規(guī)律的學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)法是研究數(shù)學(xué)規(guī)律的,，即研究在教學(xué)過程中如何最有效地向?qū)W生傳授數(shù)學(xué)知識,、發(fā)展學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生能力和個性的學(xué)科,。這些都是研究數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的特殊規(guī)律的科學(xué),，而馬克思主義哲學(xué)是研究數(shù)學(xué)、自然科學(xué),、社會科學(xué)和思維科學(xué)的最一般,、最普遍規(guī)律的科學(xué)。馬克思主義哲學(xué)來源于實踐,，同時又對實踐具有重要的指導(dǎo)意義,。它來自于具體學(xué)科的最普遍規(guī)律、方法的高度抽象和概括,，同時又對具體學(xué)科有著重要的指導(dǎo)作用,。

因此，數(shù)學(xué)教育工作者只有將馬克思主義哲學(xué)的唯物辯證法思想,、認識論思想貫徹于認識數(shù)學(xué),、研究數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，以馬克思主義哲學(xué)思想為武器,，用馬克思主義哲學(xué)的觀點去分析,、解剖數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)的教學(xué)過程,，用馬克思主義哲學(xué)的思想去統(tǒng)帥數(shù)學(xué)的思想和方法，才能透徹明了地看待數(shù)學(xué)問題的思路,，清晰,、辯證地講解數(shù)學(xué)演澤的邏輯過程，才能掌握好數(shù)學(xué)的思想和精神,。這就需要研究數(shù)學(xué)與哲學(xué)的聯(lián)系,，將馬克思主義哲學(xué)與數(shù)學(xué)有機的辯證的結(jié)合在一起，用馬克思主義哲學(xué)指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)教學(xué),。

2 數(shù)學(xué)與哲學(xué)的關(guān)系

2.1數(shù)學(xué)對哲學(xué)的作用

2.1.1通過數(shù)學(xué)科學(xué),，更容易理解哲學(xué)基本規(guī)律。

美國數(shù)學(xué)家羅濱遜給出了實數(shù)的非標準模型,，為無限大,、無限小提供了嚴格的理論依據(jù)，為微積分增添了直觀的因素,，從而創(chuàng)立了新的微積分理論——非標準分析,。

在非標準分析中，構(gòu)建非標準實數(shù)軸并引入單子概念,，使非標準實數(shù)軸成為一個層次結(jié)構(gòu)空間,。在該空間中,，單子外部表現(xiàn)為不同數(shù)量層次之間質(zhì)的差異,；單子內(nèi)部是無窮小量，其間只是量的差異,，其比值是有限數(shù)量,，其運算性質(zhì)是同單子外普通實數(shù)是一樣的，可重新作為微分運算的出發(fā)點,。因而非標準分析的建立就為闡明質(zhì)量互變規(guī)律在“無限”領(lǐng)域的具體表現(xiàn)提供了一個適宜的數(shù)學(xué)模型,。而在這之前，人們在討論質(zhì)量互變規(guī)律中的量時,，還沒有涉及到無限數(shù)量的變化發(fā)生質(zhì)變的情形,，因而非標準分析的創(chuàng)立豐富了質(zhì)量互變規(guī)律的內(nèi)容。

法國數(shù)學(xué)家托姆,，在考察自然界,、社會領(lǐng)域大量存在不連續(xù)現(xiàn)象的基礎(chǔ)上，運用微分映射的奇點理論,，為這類客觀現(xiàn)象建立了數(shù)學(xué)模型,，用以預(yù)測和控制該類客觀對象，這就是突變論的產(chǎn)生,。

突變論提供的模型表明,，在一定條件下,，質(zhì)變可以通過飛躍的形式來實現(xiàn)，也可以通過漸變的方式來實現(xiàn),。在給定的條件下,，只要改變控制因素，一個飛躍過程可以轉(zhuǎn)化為漸變,；反過來,，一個漸變過程也可以轉(zhuǎn)化為飛躍。突變模型還表明,，在奇點 (質(zhì)變點)領(lǐng)域事物狀態(tài)的變化,，不僅具有多種可能性，而且有它的隨機性,。

2．1.2 數(shù)學(xué)的發(fā)展促進了邏輯的模式一合情推理的發(fā)現(xiàn)

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里觀察分析眾多典型事例基礎(chǔ)上,，經(jīng)過比較綜合，概括出合情推理的這一發(fā)現(xiàn)模式,。

波利亞把科學(xué)推理分成論證推理和合情推理兩種,。論證推理是一種必然推理，有邏輯所制定和闡明的嚴格標準,，每一步推理步驟都須經(jīng)的住邏輯規(guī)則檢驗,。合情推理則是一種或然推理，它由一些猜想構(gòu)成的,，因而它的標準是不固定的,。事實上，人類的認識都是經(jīng)過合情推理才得到,，而論證推理的主要作用在于肯定或解釋我們所得到的知識,。波利亞給出了三種合情推理類型：漸弱證明式、漸弱啟發(fā)式,、以及啟發(fā)式,。

無數(shù)事實證明，合情推理模型具有很大的普遍適應(yīng)性,，是科學(xué)發(fā)現(xiàn)邏輯的一般模式,。

2．1.3 數(shù)學(xué)發(fā)展使得科學(xué)思想方法產(chǎn)生重大變革

數(shù)學(xué)中某一重大成果及某一重要思想方法的取得，有時會為科學(xué)思想方法帶來巨大活力,，引起科學(xué)思想方法的重要變革,。美國控制論專家扎德于1965年創(chuàng)立的模糊數(shù)學(xué)就是典型事例。

模糊數(shù)學(xué)是以模糊性事物和現(xiàn)象為研究對象的,，模糊集合論與經(jīng)典集合論之間的根本區(qū)別在于兩者賴以存在的基本概念集合的意義不同,。在經(jīng)典集合中，一個元素是否屬于一個集合，只有兩種可能,，屬于或不屬于,，二者必居其一，其特征函數(shù)的邏輯基礎(chǔ)是二值邏輯,，它是對事物 “非此即彼”的定量描述,；模糊集合是把特征函數(shù)推廣到隸屬函數(shù)，把僅能取0與1兩個值推廣到可以取 [0,，1]的任何實數(shù)值,，其邏輯基礎(chǔ)是多值邏輯，它是對事物 “亦此亦彼”狀態(tài)的定量描述,。模糊集合是與經(jīng)典集合密切相關(guān)的,。

當隸屬函數(shù)的值只含0，1兩個數(shù)的集合時,，這時的隸屬函數(shù)就是經(jīng)典集合中的特征函數(shù),，此時的集合就是通常的經(jīng)典集合。當把經(jīng)典集合的特征函數(shù)視為隸屬函數(shù)時,，則經(jīng)典集合也可看作是模糊集合,。經(jīng)典集合是特殊的模糊集合，而模糊集合是經(jīng)典集合的推廣,。

模糊理論已不斷豐富,，應(yīng)用范圍不斷擴充，就基礎(chǔ)理論而言,，已經(jīng)涉及到諸如模糊數(shù),、模糊關(guān)系、模糊圖,、模糊概率,、模糊判斷、模糊邏輯,、模糊識別以及模糊控制等；就應(yīng)用領(lǐng)域來說,，已滲透到物理學(xué),、化學(xué)、生物學(xué),、醫(yī)學(xué),、氣象學(xué)、地質(zhì)學(xué),、社會科學(xué),、人文科學(xué)、系統(tǒng)論、控制論,、信息論與人工智能等,。可見,，模糊數(shù)學(xué)給整個科學(xué)帶來巨大的方法論啟迪,，它是科學(xué)思想史上的一次重大轉(zhuǎn)折。而今,，認識和利用模糊數(shù)學(xué)已經(jīng)成為觀察世界,、分析客觀事物的一個重要基本方法。

2.2哲學(xué)對數(shù)學(xué)的作用

2.2.1 哲學(xué)為數(shù)學(xué)發(fā)展起到了指導(dǎo)作用

在人類的科學(xué)手段,、科學(xué)方法尚未達到真切認識事物的時候,，哲學(xué)往往有很強的前瞻作用，這種認識往往會指導(dǎo)人類去準確定位客觀事物,，對科學(xué)的發(fā)展方向能夠正確把握,。

哲學(xué)作為人類認識世界的先導(dǎo)，其首先應(yīng)當關(guān)注的是科學(xué)的未知領(lǐng)域,，其往往對科學(xué)的發(fā)展有預(yù)言性定論,。在一門學(xué)科發(fā)展的萌芽階段，其粗淺認識經(jīng)常以哲學(xué)的形式出現(xiàn),。這方面的例子舉不勝舉,。

哲學(xué)家談?wù)撛釉谖锢韺W(xué)家研究原子之前，哲學(xué)家談?wù)撛卦诨瘜W(xué)家研究元素之前,，哲學(xué)家談?wù)摕o限與連續(xù)性在數(shù)學(xué)家說明無限與連續(xù)性之前,。

希爾伯特曾直言不諱，他關(guān)于無限的形式主義思想來自康德的哲學(xué)觀念,。羅素從分析哲學(xué)的基本立場出發(fā),，堅持邏輯即數(shù)學(xué)的青年時代，數(shù)學(xué)即邏輯的壯年時代的觀點,。從這個意義上來講,，哲學(xué)實際上就是數(shù)學(xué)發(fā)展前進路上的方向盤。

數(shù)學(xué)作為空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué),，其研究的是客觀世界的運動規(guī)律,，因而其必然是唯物的。數(shù)學(xué)對象是人類抽象思維的結(jié)果,，無法脫離感性事物而獨立存在,。數(shù)學(xué)是形式的，但決不是形式主義的,。數(shù)學(xué)的抽象形式離不開現(xiàn)實世界,，在內(nèi)容上仍與現(xiàn)實有著密切的關(guān)系，抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容在現(xiàn)實世界中都能找到原型。如平面幾何的全等,，就是反映了把兩個現(xiàn)實對象相互貼附在一起的實際操作過程,；微積分的概念，反映了自然界無限接近的結(jié)果,。不過,，數(shù)學(xué)形式對客觀現(xiàn)實而言，具有相對獨立性,。數(shù)學(xué)理論?。鶅H通過內(nèi)部因素交匯融合、震蕩提煉,，就會涌現(xiàn)出簡明深刻,、和諧統(tǒng)一的理論。但是,，我們應(yīng)當充分認識到,，這僅僅是暫時的形式脫離內(nèi)容。這種居高臨下的發(fā)展態(tài)勢,，往往有助于人類進一步理解認識其他學(xué)科,。只有形式而無內(nèi)容的事物是世界上沒有的，數(shù)學(xué)的形式必須結(jié)合內(nèi)容才會獲得旺盛的生命,。那種在數(shù)學(xué)工作中人為的推廣,、盲目的抽象，往往會形成無足輕重的支流末節(jié),，不久就會在數(shù)學(xué)大地上干涸消失,。雄才大略的希爾伯特數(shù)學(xué)規(guī)劃的破產(chǎn)就是不爭的事實。因此,，數(shù)學(xué)研究必須以客觀事物及其發(fā)展規(guī)律的客觀實在性為前提,，通過科學(xué)實踐完成所要解決的課題。

辯證唯物主義克服了古代樸素唯物主義的缺點和唯心主義的局限性,，是科學(xué)的世界觀和方法論,。半個世紀以來，數(shù)學(xué)的發(fā)展呈現(xiàn)兩個態(tài)勢,，即高度分化又高度綜合,。分化越深人，綜合就越需要,，這是辨證統(tǒng)一的。在數(shù)學(xué)研究中自覺地運用辯證唯物主義哲學(xué)做指導(dǎo),，就可能避免或減少片面性,、局限性，否則數(shù)學(xué)的發(fā)展就可能會誤人歧途，停滯不前,。數(shù)學(xué)發(fā)展史上有很多這樣的實例,，如古希臘寧愿使用 “嚴格但相對貧瘠的窮竭法”而不采用根基松懈但很有效的 “原子法”，正是由于深受柏拉圖唯心主義的影響,。

非歐幾里德幾何學(xué)誕生時,，這一偉大的發(fā)現(xiàn)之所以不能立即被人接受，就連高斯這樣偉大的數(shù)學(xué)家也不敢發(fā)表看法,，正是由于康德哲學(xué)在作怪,。

因此，哲學(xué)對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響是深遠的,，正確的哲學(xué)思想無疑會極大促進數(shù)學(xué)發(fā)展,，反之，錯誤的哲學(xué)思想會阻礙數(shù)學(xué)的發(fā)展,。

2.2．2 哲學(xué)作為方法論,，為數(shù)學(xué)提供有用的認識工具和探索工具

從實無窮小一潛無窮小一實無限與潛無限交叉，無窮小方法走過了漫長的曲折道路,。實無窮小方法是一種靜態(tài)的思想方法,，潛無窮小方法是一種動態(tài)的思想方法，兩者是辨證統(tǒng)一的,。當人們認識充分到無窮小量方法和無限可分方法并非絕對對立,，它們不僅具有內(nèi)在聯(lián)系，而且是相輔相成的,，在一定條件下,，還可以相互轉(zhuǎn)化、相互借用的辨證統(tǒng)一后,，無窮小方法在就有了突破性進展,，因此就有了微積分的誕生的前提。

近代數(shù)學(xué)公理化進展中最重要且最有效的成果之一,，就是明確地認識到數(shù)學(xué)的基本概念并不必須具體化,，沖破了教條主義哲學(xué)的束縛。

再如：借用模型研究原型的功能特征及其內(nèi)在規(guī)律的數(shù)學(xué)模型方法,，在當今已成為解決科學(xué)技術(shù)及人腦思維等問題的最重要的一種常用方法,。它的主要特征是高度的抽象化和形式化。那么,，如何揭示和把握這種抽象形式結(jié)構(gòu)的規(guī)律性呢?是運用數(shù)學(xué)變換方法,。它的思想基礎(chǔ)是辯證法：任何事物都不是孤立、靜止和一成不變的,，而是在不斷的發(fā)展變化,。因此作為一個數(shù)學(xué)系統(tǒng)和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),，其組成要素之間的相互依存和相互聯(lián)系的形式是可變的。數(shù)學(xué)家們也正是利用這種可變的規(guī)律性,，強化自身在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力,，不斷提高自己解決數(shù)學(xué)問題的思維能力和技能、技巧,。

3 數(shù)學(xué)與哲學(xué)的淵源

3.1歷史上很多知名的數(shù)學(xué)家也是有影響的哲學(xué)家

他們既研究數(shù)學(xué)也研究哲學(xué),。比如：古希臘的泰勒斯(公元前624一前547)，他是著名的哲學(xué)家,，希臘幾何學(xué)的鼻祖,，也是天文學(xué)家。

古希臘的畢達哥拉斯(約公元前580一前497),，他是古希臘數(shù)學(xué)家,、天文學(xué)家、哲學(xué)家,，還是音樂理論家,。他發(fā)現(xiàn)了勾股定理。他的哲學(xué)基礎(chǔ)是“萬物皆數(shù)”,。

法國的笛卡兒(1596—1650),，他是數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家,、物理學(xué)家,，角析幾何的奠基人之一。他于17世紀上半葉劃時代地在數(shù)學(xué)中引進了變量概念和運動的觀點,，被恩格斯贊譽為是 數(shù)“學(xué)的轉(zhuǎn)折點”,，它導(dǎo)致了微積分的誕生，進而推動了自然科學(xué)的發(fā)展,。<幾何學(xué))雖是這位著名的哲學(xué)家的惟一一篇數(shù)學(xué)著作,，然而它的歷史價值卻使笛卡兒的名字在數(shù)學(xué)史卷上寫下了重重的一筆。

法國的萊布尼茨(1646—1716),，他是德國的數(shù)學(xué)家,、哲學(xué)家、科學(xué)家,。他獨立創(chuàng)建了微積分,，并發(fā)明了優(yōu)越的微積分符號。他在哲學(xué)上是客觀唯心主義者,，“單子論”是他的著名哲學(xué)觀點,。

3.2歷史上很多哲學(xué)家及其哲學(xué)思想影響著數(shù)學(xué)的發(fā)展

馬克思(1818—1891)和恩格斯(1820—1895)不僅創(chuàng)立了馬克思主義哲學(xué)，對數(shù)學(xué)研究和發(fā)展起到了巨大的指導(dǎo)和推動作用,，而且他們也直接研究過數(shù)學(xué),。在辯證法的研究中,，他們對變量進入數(shù)學(xué)給了高度評價,，同時直接考察了無窮小量,。這可見于馬克思的<數(shù)學(xué)手稿>、因格斯的<自然辯證法>以及他們的其它著作和通信中,。對于實無窮小的建立,，他們的思想無疑是富有啟發(fā)性的。但由于<數(shù)學(xué)手稿>長期沒有發(fā)表,，人們對馬克思和恩格斯在這方面的工作所知甚微,。

   哲學(xué)家亞里士多德(前384一前322)，他也是邏輯學(xué)的創(chuàng)始人,，為幾何學(xué)奠定了鞏固的基礎(chǔ),。他的公理化思想促進了幾何學(xué)的誕生和發(fā)展。哲學(xué)家柏拉圖(前428一前348)對嚴密定義和邏輯證明的堅持,，促進了數(shù)學(xué)的科學(xué)化,。哲學(xué)家赫拉克利特提出的樸素的辨證法的思想促進了數(shù)學(xué)的發(fā)展。

3.3數(shù)學(xué)史上的三次“數(shù)學(xué)危機"都與哲學(xué)有關(guān)

哲學(xué)家芝諾于公元前5世紀提出了幾個著名的悖論,，加之無理數(shù)的發(fā)現(xiàn),，使人們對于數(shù)學(xué)能否成為一 門科學(xué)產(chǎn)生懷疑，這就是第一次 “數(shù)學(xué)危機”,；由于初期的微積分邏輯上的缺陷,，圍繞微積分基礎(chǔ)開始了大論戰(zhàn)。英國的唯心主義者大主教貝克萊對微積分的攻擊最為激烈,，數(shù)學(xué)家,、哲學(xué)家和神學(xué)家都紛紛介入，引起了第二次 “數(shù)學(xué)危機”,；哲學(xué)家羅素在集合論中發(fā)現(xiàn)的“羅素悖論”,，震動了整個數(shù)學(xué)界，引起了數(shù)學(xué)界,、哲學(xué)界激烈的爭論,，史稱第三次 “數(shù)學(xué)危機”。

這三次“數(shù)學(xué)危機”,，都和哲學(xué)家及其哲學(xué)思想相聯(lián)系,，伴隨著哲學(xué)家之問激烈的論戰(zhàn)，反映了尖銳的哲學(xué)思想的斗爭,。歷史表明,，“危機”大大促進了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的奠定工作，數(shù)學(xué)在攻擊的洗禮中進一步并不斷地完善和發(fā)展,。同時說明,，在新學(xué)科產(chǎn)生的時候,，總是唯心主義者首先加以反對，而實踐又總是證明,，利用新理論暫時的邏輯上的困難所制造的 “危機”,，雖然可能暫時阻礙理論的發(fā)展，但必然隨著新理論的基礎(chǔ)的完善而消失,?？茖W(xué)就是在這種不斷戰(zhàn)勝各種唯心論和形而上學(xué)的過程中發(fā)展和完善的。

故數(shù)學(xué)和哲學(xué)事相互促進,，共同發(fā)展的,。數(shù)學(xué)和哲學(xué)都產(chǎn)生于生產(chǎn)勞動的實踐，它們都是隨著社會的進步,，科學(xué)的日益發(fā)展而發(fā)展,。哲學(xué)的觀點決定了數(shù)學(xué)的思想，哲學(xué)思想指導(dǎo)著數(shù)學(xué)的發(fā)展,。在數(shù)學(xué)中處處體現(xiàn)了唯物辨證法的思想的光輝,，處處閃爍著人類思維進步的理論結(jié)晶。數(shù)學(xué)的每一成果,，都是 自然現(xiàn)象理性的概括,。數(shù)學(xué)的每項重大成就，都在證實并豐富和發(fā)展馬克思主義哲學(xué)理論,。所以,，數(shù)學(xué)和哲學(xué)有著不可分割的內(nèi)在聯(lián)系。哲學(xué)以博大的胸懷容納了數(shù)學(xué)的理論,，數(shù)學(xué)以廣泛而深奧的知識豐富了哲學(xué)寶庫,。要想學(xué)好數(shù)學(xué)，教好數(shù)學(xué),，必須具有哲學(xué)的理性思維的頭腦,，必須掌握哲學(xué)科學(xué)的認識方法，這無論對于數(shù)學(xué)理論工作者,，還是對于數(shù)學(xué)教學(xué)工作者來說都具有十分重要的意義,。

作為數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)教學(xué)工作者，應(yīng)發(fā)而且必需研究數(shù)學(xué)與哲學(xué)的聯(lián)系,，用哲學(xué)的觀點來看待數(shù)學(xué),，這不僅是認識數(shù)學(xué)的需要，而且也是研究數(shù)學(xué),，發(fā)展數(shù)學(xué),，保持數(shù)學(xué)之樹常青的需要。數(shù)學(xué)與哲學(xué)之間的聯(lián)盟與結(jié)合必將產(chǎn)生重大的影響,。一切數(shù)學(xué)工作者應(yīng)當看到這一結(jié)合的深遠意義,。作為數(shù)學(xué)教師,，無論是自身進修提高，還是進行數(shù)學(xué)教學(xué)活動,，無論是要提高自己的數(shù)學(xué)水平,，還是要提高自己的教學(xué)能力，都必須深刻了解數(shù)學(xué)與哲學(xué)的聯(lián)系,，只有這樣才有可能掌握好數(shù)學(xué)思想方法,，才能按照數(shù)學(xué)認識的規(guī)律科學(xué)地進行數(shù)學(xué)教學(xué)，才能達到數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的要求,，寓辨證唯物主義思想教育于數(shù)學(xué)學(xué)科教育之中，培養(yǎng)學(xué)生樹立馬克思主義的觀點,、方法,。

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