——數(shù)學學科素質教育初探

王俊邦（北京教育學院宣武分院）

　　《中國教育改革和發(fā)展鋼要》指出：“中小學要由‘應試教育’轉向全面提高國民素質的軌道,。”因為學生在校內的絕大部分時間是在課堂上,，所以課堂教學應是對學生進行素質教育的主渠道,。這就是說，把素質教育深入到課堂教學中,，深入到每個學科是每個教師都應重視,、研究和探索的課題。素質教育的結構是復雜的,，內容是多方面的,，但素質教育有一個總的指導思想——關注人的全面發(fā)展。

　　1.3.1 數(shù)學“應試教育”存在的問題

　　(一)重理論輕應用

　　數(shù)學理論是重要的,，但輕視它的應用必然降低數(shù)學理論的價值,，而且對學生今后的就業(yè)也是不利的。該問題的解決需要數(shù)學教師的努力,，但更需要主管教育的領導機關進行統(tǒng)籌安排,。

　　(二)重“教”輕學

　　教師講的過多，甚至是很精彩的,，并帶有一定的啟發(fā)性,，分析問題有條有理，無可挑剔,，但是,，有很多經(jīng)學生思考便可知道的問題，由于教師的講解,，使學生失去了自己思考,，自己獲取,，自己發(fā)現(xiàn)，自己創(chuàng)造的鍛煉的機會,。這就是說,，使學生失去了發(fā)展能力的機會。對基礎教育而言,，這應該是一個嚴重的問題,。

　　由于重“教”輕學忽視了學生的參與和思維活動,，所以，必然產生以下問題：

　　1．學生的非智力因素得不到發(fā)揮,；

　　2．學生的學習行為得不到促進,；

　　3．學生的能力心理結構不易形成和發(fā)展,；尤其是學生的創(chuàng)造能力更無從談起了,。

　　總之,，重“教”輕學所產生的不良后果是嚴重的，日久天長學生便對數(shù)學產生了厭煩情緒,。

　　(三)重結果輕過程

　　以統(tǒng)考成績來衡量一個教師的教學狀況,，這有一定的道理。但是,，只看分數(shù)不看教學過程，這種看問題的方法是片面的,，正饒看法應該是既看結果又看過程,。符合學生認知規(guī)律的教學過程，必然產生好的結果,。這里所說的結果不僅包括高分數(shù),，而且包括能力的形成和良好的個性品質。這就是說,，在這種高分數(shù)中包含了對學生終身有益的成份,。

　　重過程與輕過程，究竟哪個能得到好的結果呢?我們不妨把結果只限制在考試分數(shù)上,，一般講,，重過程的要高于輕過程的。這里所說的“過程”是符合學生認知規(guī)律的過程,。因為“應試教育”片面追求分數(shù)結果而違背學生的學習規(guī)律,，故其結果必將事與愿違。而素質教育是通過科學地認知過程,，以發(fā)展學生能力提高素質為目標的,，故其結果必然是“水到渠成”。實際上,，素質教育所說的結果與“應試教育”所說的結果其內涵是不一樣的,。

　　(四)重“題?！陛p提煉

　　留大量的課外作業(yè)或在課堂上反復講解大量難題也可能得到高分，但這種高分只不過是一種暫時現(xiàn)象,，因為缺乏學生自己的歸納提煉,，在這種高分中，能力因素含量較低,，時間一長便失去了實際意義,。這里面還有更重要的問題，那就是極大地加重了學生的課業(yè)負擔,，尤其是初三,、高三的學生，他(她)們的睡眠嚴重不足,，這對學生的身體是極為不利的,。 　　

　　1.3.2 關于中學數(shù)學課堂教學的幾點思考　　

　　（1)在學生學習數(shù)學的過程中,，人腦并不是被動學習和記錄輸入的信息,，而是主動地對輸入的信息進行加工、整理,、儲存和提取,。由此可知，在數(shù)學教學中,，首先應強調的是學生的主動參與,。

　　(2)知識掌握是有規(guī)律的。從心理學的研究表明,，知識的掌握必須有序地經(jīng)歷領會(感知,、理解)、鞏固和應用這樣三個相對獨立又彼此相聯(lián)的階段,。這里特別注意的是讓學生掌握知識,，必須讓學生自己動腦動手親自經(jīng)歷這幾個過程，只靠老師講,，學生聽是達不到學生掌握知識這一目的的,。有的老師講完概念(或定理)講例題，講完例題再講注意事項,，學生的課堂活動極少,，教師講完了一切，教師放心了,，學生又是如何呢?教師全然不知,，這是違背知識掌握原則的。

　　(3)學生掌握知識的過程，實際上是觀察,、分析,、對比、綜合,、抽象和概括以及推理論證的過程,。這就是說，知識,、技能和能力是同步增長的,。

　　(4)學生的知識，技能和能力的形成不是一次完成的,，需要參加各種交流活動,，需要不斷地校正和不斷地完善。所以,，交流是校高學生元認知(即對自己認識的認識)水平的重要手段,。

　　(5)教師創(chuàng)設適合學生實際水平的教學　“情景”，引導學生主動建構知識,，主動練習技能,，主動發(fā)展能力是中學數(shù)學課堂教學的核心。

　　綜上所述,，中學數(shù)學教學,，教師必須轉變傳統(tǒng)的以教師講解為主的教學觀念，大膽地把“　給予”　變?yōu)橐龑?，讓學生由被動接受變?yōu)橹鲃訁⑴c,，讓學生充分展示自己，使學生在主動掌握知識的同時掌握技能和發(fā)展能力,。

　　教師教學觀念的轉變，首先要體現(xiàn)在教師的作用上,。由于數(shù)學對象都是抽象思維的產物,，所以，學生的數(shù)學學習應是一種他們自己的思維建構活動,。如果沒有這種思維建構活動,，談論數(shù)學教學是沒有任何意義的。所以,，認識論指導下的教師作用將不再是“　發(fā)給真理”　,，教師應該是教學“　情景”　的設計者，引導學生參與的促進者,，學生課堂活動的控制者,，學生困難的幫助者，學生能力和良好個性品質的培養(yǎng)者。這就是說,，教師要引導學生學會學習,。同時，教師要以身作則,，以自己的良好素質去影響學生,，進而提高學生的素質。

　　以下是筆者提出的教師的十個作用(僅供參考),?！　?/p>

　　下面，對每一個作用做一簡單解釋,。

　　尊重：教師尊重學生乃是給學生做了一個尊重別人的榜樣,，尊重別人也是尊重自己。如果教師不尊重學生,，就會挫傷學生學習的積極性,，影響學生非智力因素和智力因素的發(fā)揮，嚴重的會造成學生對教師的抵觸情緒,。如果您去聽一位優(yōu)秀教師的課,，您的第一印象或感覺會是：這位教師和藹可親，非常尊重學生,。尊重學生是了解學生的基礎,。

　　了解：了解學生進而研究學生是實施建構理論的基礎，學生原有的認知水平,、經(jīng)驗和策略是一切認知活動的基礎,。在新的問題面前，學生內在的思維建構活動,，實際上是對原有認知結構的重組和積累,，并通過同化和順應建構新的認知結構。因為教師創(chuàng)設的問題情境是由舊知識和新問題組合而成的,，如果教師不了解學生的現(xiàn)有水平,，教師設計的問題情境脫離實際，那么學生的思維建構活動就很難進行,。所以,，了解學生是引導學生進行建構活動的基礎。

　　關心：教師關心學生,，會使學生感到溫暖,，促進其內因發(fā)生變化 ，產生積極性,，發(fā)生學習行為,。尤其是對學習有困難的學生，應在課下給以更多的關心，了解困難所在,，及時地引導他(她)們通過自己的努力解決困難,，當解決了一個問題后，要及時地鼓勵和表揚,，使他(她)們樹立自信心,，產生成功感。關心學生是情感教育的基礎,，也是素質教育的一項內容,。

　　保護：保護是指保護學生的身心健康和學習的積極性。比如,，教師在讓學生回答問題時,，學生不一定答的完全正確，可能只答對一半或一部分,，這時教師要特別注意的是保護學生的自尊心,、積極性，答對的給以肯定和表揚,，答錯的要進一步啟發(fā)或鼓勵學生進一步思考,，或說一句我相信你經(jīng)過再思考會完全弄清的讓學生坐下，千萬不要指責學生,。

　　要求：嚴格要求學生是指按有關合理規(guī)定,，對學生不符合規(guī)定的行為不放任自流，要耐心引導,，讓學生自己修正錯誤,。

　　以上教師的五個作用可歸納為“完善自我，以德育人”,。對學生進行素質教育,，教師首先應具有高的素質，教師應以身作則,，成為學生的楷模,。落實了上面的五個作用，實際上為改進課堂教學建構了一個良好的“環(huán)境”,。

　　設計：在了解學生原認知結構和個性品質的基礎上，認真?zhèn)湔n,，精心設計教學模式是教師起主導作用的重要體現(xiàn),。在課堂上，教師的主要任務是對預先設計好的教案進行落實,。課堂教學效果的好壞,，教師的教學觀念，課前的“　設計”　是至關重要的。

　　引導：引導學生主動參與,，自我建構是區(qū)別于傳統(tǒng)教學的重要標志,。數(shù)學課堂上的引導是指把學生吸引到舊知識與所要解決的新問題的結合點附近區(qū)域，指導學生思考各種數(shù)學思維方法,，讓學生自己把問題解決,。這與傳統(tǒng)教學中以教師講解為主的教學方法是截然不同的。當然,，這并不排除教師必要的講解,。

　　幫助：幫助學生解決學習中的困難，幫助學生掌握各種學習方法是對學生最大的幫助,。學生掌握了學習方法會終身受益的,。學法研究是另一個專題，這里不做介紹,。

　　教師作用中的“　培養(yǎng)”　與“　發(fā)展”　是數(shù)學教育的最終目的,。這里特別強調的是：要在學生的參與思維中培養(yǎng)，要在學生的參與思維中發(fā)展,。

　　 綜合以上所述,，中學數(shù)學教學可用下面的示意圖進行概括：　　

　　1.3.3 中學數(shù)學課堂教學模式設計原則

　　說明：這里只涉及中學數(shù)學課堂教學模式的框架設計，對于一般性和常規(guī)性教學原則,，在這里不做闡述,。

　　中學數(shù)學課堂教學模式是在某種理論的指導下，進行教學活動的一個“中介原則”,，并具有可操作性,。它是教學活動的一個有相對彈性的系統(tǒng)結構，由教師,、學生,、數(shù)學對象、教學媒體以及這四者的活動方式所構成,。

　　不同的教學觀念,，有著不同的教學模式。

　　“應試教育”的教學模式,，基本上是教師講解為主,，學生被動接受。

　　認識論指導下的課堂教學模式,，應該是教師,，學生主動探索，主動獲取知識,，主動發(fā)展自己的能力和良好的個性品質,。由于學生年齡的不同,，年級的不同，教學內容的不同,，學生基礎的不同,，教學模式會是多種多樣的。但是,，不論設計什么樣的教學模式,，必須遵循一個總的原則——全面落實教師的主導作用，真正讓學生主動地參與到思維建構活動中去,。

　　前面已經(jīng)提到,，教學模式是一個“框架”，這一“框架”是由教師設計的,，其“空間”必須讓學生有充分活動的余地,。這一“框架”又如一個劇場，起主導作用的是教師,，主要“表演者”是學生,。筆者認為，傳統(tǒng)教學重在教師的“表演”,，學生是“觀眾”,，認識論指導下的課堂教學是重在學生的“表演”，教師扮演“導演”角色,，起設計,、促進、幫助和引導等作用,。一節(jié)課,，只有學生在教師的引導下，進行了充分和有效地“表演”,，學生才能真正在頭腦中構造出一個與這節(jié)課相稱的數(shù)學知識“王國”或“數(shù)學網(wǎng)絡世界”,。基于以上認識,，筆者認為,，設計中學數(shù)學課堂教學模式可以從以下三個方面進行考慮。

　　1．符合認識理論

　　(1)了解學生,，研究學生,。例如了解學生的知識基礎、能力水平,、學習習慣,、上課狀況等。(2)創(chuàng)設“問題情境”,，吸引學生,，讓學生主動思維建構。即在學生原有知識經(jīng)驗的基礎上,，讓學生用眼,、腦、手,、耳,、嘴主動探索和發(fā)現(xiàn)，主動獲取新的知識,。并從這一探索,、發(fā)現(xiàn)、獲取知識的過程中培養(yǎng)和發(fā)展能力,。(3)相互交流,。①同學間、師生間的課堂交流,；課下的各種交流,；在教師指導下的作業(yè)交流；(4)知識系統(tǒng)的定期運轉和不斷完善,。例如,，讓學生寫作業(yè)小結，定期進行階段練習與小結等,。這樣做可以使學過的知識點經(jīng)常閃光,，使學生頭腦中知識系統(tǒng)的存入和提取始終處于一種“暢通狀態(tài)”。

　　2．符合學生的數(shù)學學習規(guī)律

　　例如,，激發(fā)學生的學習動機,，調動學習的積極性；知識掌握規(guī)律,；數(shù)學技能和能力的形成規(guī)律,；學習的遷移規(guī)律等。

　　在學生的數(shù)學學習規(guī)律中,，最基礎的是激發(fā)學生的學習動機(如理想,、信念、興趣,、愛好等),，調動學習的積極性。如果沒有這一基礎,，其它的學習規(guī)律就會落空,。這里應特別強調是：要使得學生學習的積極性持久，必須抓好“雙基”,，即基本知識,、基本技能,。“雙基”不好,，學習的積極性是不會持久的,，培養(yǎng)和發(fā)展學生的創(chuàng)造能力就更談不了。

　　關于學生的數(shù)學學習規(guī)律,，在這里不做詳細闡述,，說一千，道一萬,，可用二個字進行概括,，即“做”和“悟”。這就是說,，學生的數(shù)學學習是學生不斷發(fā)現(xiàn)問題并解決問題,，不斷解題，不斷回顧與反思,，不斷系統(tǒng)和概括的過程,。

　　 3．符合數(shù)學教學大綱的要求

　　數(shù)學教學大綱是國家教育部制訂的，我們的教學活動不能違背《大綱》精神,，例如,，面向全體學生；聯(lián)系實際,，培養(yǎng)應用意識,；重視知識的產生過程和基本技能訓練，并從中培養(yǎng)能力,；教學方法要靈活恰當?shù)鹊取?/p>

　　綜上所述,，《中學數(shù)學課堂教學模式》應該至少具有六個特性。即

　　整體性————————建構空間,；

　　認知科學性——————建構過程,；

　　類化性————————建構目的。

　　整體性是指一節(jié)課的“框架”結構要完整,。這里特別強調的是一節(jié)課的最后一個環(huán)節(jié),，即課堂小結，教師要給以足夠地重視,，在時間上要給以保證,，讓學生思考，親自參與到課堂小結中去,。

　　認知科學性是指教學過程要符合學生的認知規(guī)律,，尤其是知識掌握規(guī)律。

　　主導性是指落實前面提到的教師的作用,?！　?/p>

　　主體性是指讓學生親自參與到全部教學過程中去,，積極主動地開展思維建構活動。

　　交流性是指對一些重要內容或在認識上容易產生差異的問題進行的小組交流,、全班交流,、師交流。

　　在什么問題上進行交流,，教師在課前要有計劃，要在個人充分思考的基礎上進行,。交流是一種強建構活動,，它是校正和不斷完善各自思維建構的有效手段。值得注意的是：課堂討論要用得恰當,，不需要討論的不要討論,，不要走形式。

　　類化性是指對知識,、技能和方法的系統(tǒng)化和概括化,。類化的目的是發(fā)展能力，掌握數(shù)學思想方法,。

　　中學數(shù)學課堂教學模式的設計,，僅是中學數(shù)學教學設計的一部分，根據(jù)目前具體的教學設計存在的問題,，提幾點建議：

　?。?）數(shù)學目的要從三個方面進行考慮：a.知識點；b.技能和能力,；c.辯證唯物主義觀點(如數(shù)學來源于實踐又反過來作用于實踐的觀點,；數(shù)學中普遍存在的對立統(tǒng)一、運動變化,、相互轉化等觀點),。

　　（2）教學目的,、重點,、難點、教學方法的確定,，要在編寫數(shù)學過程前進行,，不要本末倒置。

　?。?）教學方法要具體化,。

　　目前，我國已有相當數(shù)量的教師推出了各種各樣的教學方法,。常見的有講解法,、談話法,、討論法、實踐活動法,、學生獨立探究法等,。這些方法都有自己的長處和短處。具體到一節(jié)數(shù)學課采用何種教學方法,，這要視教學內容,、學生特點以及教學設備而定，同時也受到教師本人多種因素的制約,。

　　有的課,，可以使用一種教學方法，但多數(shù)課的教學方法是由幾種教學方法進行有效組合而成的,。本文提出的《中學數(shù)學課堂教學模式》就包含了幾種教學方法的組合,。

　　在教案設計中，數(shù)學方法一項要寫的很具體,。例如,，有的習題課可采用學生獨立探究法和討論法。

　?。?）教學過程要分清教師行為和學生行為,。

　　教改實驗班的情況：

　　1．實驗班學生的主動參與意識增強了，學習的積極性大大提高了,，逐步形成了良好的個性品質,。

　　由于實驗班的老師抓住了學生愿意展示自己的心理狀態(tài)，在學生的知識掌握過程中,，大膽地讓學生親自參與到知識掌握的一系列過程中去,，形成了“參與——興趣——參與”的良性循環(huán)。這是提高教學質量的基礎,，也是素質教育的必要條件,。在實驗班上，原來一些厭煩數(shù)學的學生變得樂學,、愛學,、會學、勤于思考和勇于探索,。有些膽小的學生,，現(xiàn)在膽子變大了，敢在全班向全體同學表述自己的見解,，剖析自己在自己解題中所犯的錯誤,，照這樣培養(yǎng)下去，提高學生素質就能成為現(xiàn)實。例如,，北京131中的李長龍老師,，經(jīng)常利用復習課，給學生創(chuàng)造剖析自己提醒別人的機會,，收到了很好地教學效果,；又例如，北京146中的李香芝老師經(jīng)常鼓勵學生編題,、講題也收到了很好地教學效果,。

　　2．培養(yǎng)和發(fā)展了學生的交流意識和合作精神。

　　交流,、合作是將來學生生存和發(fā)展不可缺少的本領,。由于實驗班的老師經(jīng)常不斷地開展小組交流、全班交流,、作業(yè)交流、師生交流和小組合作共同解決一個問題等等活動,，這就為培養(yǎng)和發(fā)展學生的交流意識和合作精神建構了一個良好的環(huán)境,。環(huán)境能影響人，環(huán)境會造就人,，這是素質教育要達到的目的之一,。

　　3．增強了學生用數(shù)學的意識。

　　數(shù)學來源于現(xiàn)實,，必須扎根于現(xiàn)實,。實驗班的老師充分挖掘了數(shù)學模型的現(xiàn)實背景，注意了從實際問題中總結數(shù)學原理,，又用數(shù)學原理去解決現(xiàn)實問題,，這必然增強學生用數(shù)學的意識，這也貫徹了理論聯(lián)系實際的數(shù)學原則,。例如,，北京62中的郭亞森老師經(jīng)常從實際問題導入新課，這不但調動了學生學習數(shù)學的積極性,，而且培養(yǎng)了學生用數(shù)學的意識,，數(shù)學效果是極為明顯的。

　　4．學生的各種能力得到了發(fā)展,。

　　實驗班學生能力的普遍提高,，產生于學生課內外的數(shù)學活動過程，尤其是系統(tǒng)和概括過程,。

　　實驗班的老師,，嚴格遵守知識的掌握過程和堅持課堂小結、階段小結，并比較全面和正蓉落實了教師的主導作用和學生的主體地位,，使數(shù)學課堂真正地“活”了起來,，踏踏實實地培養(yǎng)和發(fā)展了學生的觀察、比較,、分析,、綜合、抽象和概括以及表達等多種能力,。

　　5．學生的成績得到了大面積提高,。

　　這里僅舉兩例。

　　北京131中的李長龍老師進行了兩輪教改實驗,。

　　第一輪某班：實驗前,，數(shù)學及格率僅49.6%，平均分為61.4分,，經(jīng)過一年多的實驗,，及格率上升為94.6%，平均分為88分(指全區(qū)統(tǒng)考),。而且超區(qū)同類校平均分5分,，及格率超過6個百分點。

　　第二輪某班：實驗前,，區(qū)統(tǒng)考成績在全校排最后一名,，經(jīng)過一年的建構教學實驗，區(qū)統(tǒng)考成在全校排了第一名,。

　　北京146中的李香芝老師曾接過全校成績最差的一個班,，該班是由統(tǒng)考從未及格的學生組成的，經(jīng)過一年的教學改革實驗,，竟有51%的同學在區(qū)統(tǒng)考中及格了,。

　　1.3.4 中學數(shù)學課堂教學模式范例

　　(一)《造、設,、變,、歸》及分析

　　根據(jù)數(shù)學的特點和學生的數(shù)學學習規(guī)律以及認識建論，在一節(jié)課里,，如果課題是新的基礎知識課,，可以把其教學過程分為四個環(huán)節(jié)，即

　　造“景”感知,，引導建構(或發(fā)現(xiàn)),；

　　設“樣”訓練，鞏固建構,；

　　變式導練,，應用建構,；

　　歸納提煉，完善建構,。

　　這四個環(huán)節(jié)可簡記為《造,、設、變,、歸》,。它可以做為基礎知識課教學的基本模式。

　　1.造“景”感知,，引導發(fā)現(xiàn),。

　　這里所說的“景”，可以是一組有結果的題目(歸知識),，可以是一組圖形,，可以是數(shù)學游戲，可以是數(shù)學故事,，可以是教師的演示,，可以是學生動手實踐，可以是日常生活問題或被學生所熟悉的生產問題,，可以是當堂要講的新問題并伴以舊知識和舊方法,，…?？傊@里的“景”要有助于新知識或新方法的建構或發(fā)現(xiàn),。 在這一環(huán)節(jié)里,，教師根據(jù)學生的學習需要把造設的與學生現(xiàn)有水平相適應的問題情境或者說“情景”(“美景”、“奇景”,、“妙景”)展現(xiàn)給學生,，使學生激發(fā)學習動機，產生積極性,，運用已掌握的知識和經(jīng)驗,，通過自己的觀察、和感知用比較,、分析,、綜合、抽象和概括,、歸納,、聯(lián)想、演繹等邏輯思維方法去建構或發(fā)現(xiàn)新的知識或方法,。 這一環(huán)節(jié)要達到的目的主要是領會新知識的產生過程,，并從中培養(yǎng)和發(fā)展學生的思維能力。通常所說的新課導入，知識形成就是指這一環(huán)節(jié),。這一環(huán)節(jié)的具體實施方法,，可根據(jù)課堂內容的不同而不同。這就是說,，該環(huán)節(jié)的教學模式也是多種多樣的,。

　　范例：

　　(1)概念的導入及形成的教學模式：

　　①在“平衡”中制造“不平衡”(制造“懸念”),，

　　在個人思考的基礎上組織交流,，

　　在交流中教師引導，

　　在引導中實現(xiàn)“平衡”(新知識形成)

　　例如,，無理方程中“增根”概念的導入,。在學生學完用乘方有理化的方法解無理方程以后，可讓學生解下面兩個方程：

　　教師讓學生把方程的兩個根,，分別代入原方程進行檢驗,。

　　學生檢驗第1題時，會發(fā)現(xiàn)：x₂=9是原方程的根,，x₁=6不是原方程的根,，但解題過程并無差錯。

　　學生檢驗第2題時,，會發(fā)現(xiàn)：x₁=6是原方程的根,，x₂=9不是原方程的根，但解題過程也無差錯,。

　　這時,，學生自然產生認知上的“沖突”。這就制造了一個“不平衡”(即制造“懸念”),。教師要大膽地讓學生進行小組討論或全班討論,，教師可適當引導，讓學生認真觀察原來這兩個方程的區(qū)別(第1個方程與第2個方程,，僅是右邊的性質符號不同),。在學生討論到一定程度上，教師最后進行概括得到“增根”的概念,，并強調解無理方程時,，必須驗根。這種導入方法比教師直接講解所得到的效果要好得多,，學生的印象深刻,，不易忘記。這是鍛煉學生思維深刻性的具體落實,。

　　又例如,，“負指數(shù)”概念的引入也可以運用這種導入模式,。這就是說，學生可通過自己對和的計算與思考得到負指數(shù)的意義,。

　?、谡故救舾蓴?shù)學對象，引導學生認真觀察,，學生自己找出共性,，教師概括形成概念。

　　注：教師要引導學生在觀察中學會觀察,，在觀察中培養(yǎng)觀察能力,。

　　例如，平行四邊形,、矩形,、正方形、菱形等概念的形成,，可以采用這種教學模式,。 另外，某類概念可以從類比引入,。例如,，對于分式方程解法的教學(以“可化為一元一次方程的分式方程為例)，可運用類比聯(lián)想的方法,。具體步驟如下：

　　a. 通過解下列方程復習解一元一次方程的步驟,。

　　 （答案：x=2）

　　b.讓學生獨立解下列兩個分式方程(教師引導類比)。

　?、?②

　　c.當學生解①得到x=2和解②得到x=1時,，引導學生分析比較整式方程和分式方程解法的區(qū)別和聯(lián)系。然后,，引導學生檢驗。這時,，學生會發(fā)現(xiàn)x=1不是方程②的根,，在此基礎上，讓學生討論產生這種情況的原因,，從而引出“增根”概念,，強調解分式方程必須驗根和驗根的方法。 d.引導學生總結解分式方程的解題思想——化歸思想,。

　　(2)定理的導入及形成的教學模式：

　　例如：

　　復習舊知識,，提出新問題，

　　組織交流,，鼓勵猜想,，

　　引導論證,，獲取知識。

　　例如,，北京市回民學校的董慧老師,，在講“一元二次方程的根與系數(shù)關系”定理時就采用上述的教學模式。

　　董慧老師首先讓學生解幾道一元二次方程的題,，并讓學生思考一個問題：“這些方程的根與系數(shù)有何關系?”,，在同學解完題和個人思考的基礎上，組織交流并鼓勵同學們大膽猜想一般一元二次方程根與系數(shù)的關系,；然后引導學生自己證明猜想,。

　　提出實驗問題，學生動手感知,，

　　引導學生“發(fā)現(xiàn)”,，推理形成知識，

　　滿足學生期待,，解決實際問題,。

　　例如，北京62中學的郭亞森老師在講“平行線性質定理的導入和形成”課時,，其過程大體如下：

　?、僬故酒叫械牧杭芎托揆R履實際問題。

　?、诎褜嶋H問題抽象數(shù)學問題：

　?、郯l(fā)給每個學生一張紙。紙上印有：

　?、茏寣W生用剪子剪下∠1,，并和其它角比較。

　?、輪枌W生發(fā)現(xiàn)了什么?

　?、抟龑д撟C。

　　注：有的實際問題直接包含著有關的數(shù)學關系,，只要通過簡單的變換或過渡,，就可以從實際問題轉化成相應的數(shù)學問題。有的實際問題,，需要學生尋求與之有關的數(shù)學知識,，并加以組合，建立數(shù)學模型,，最后運用數(shù)學理論解決問題,。

　　以上范例，對于知識的形成來說,，其共同點是由具體到抽象,。對于數(shù)學活動來說,，其共同點是個人先對問題情境進行感知和思考，然后進行交流,，在教師的之下,，每個學生都在校正和完善自己的認識，最終建構起新的知識結構,。

　　2.設“?！庇柧殻柟探?/strong>,。

　　在第一環(huán)節(jié)的基礎上,，教師給出“樣”題(即例題)，這里的“樣題”要有典型性,，示范性,，要先易后難，先簡后繁,?！皹宇}”可根據(jù)具體情況由教師精講或讓學生自己看。然后,，教師再給出類似“樣題”的練習題,，讓學生進行練習。這時教師可在班內巡視,，了解情況或回答學生提出的問題,，及時獲取反饋信息，調節(jié)教學安排,。如果有條件的話,，“樣題”和練習題可充分利用現(xiàn)代化教學手段進行顯示以減少抄題的時間。練習題的答案要在這一環(huán)節(jié)即將完成時給出,。(可用投影儀顯示),，并讓學生進行一下簡單小結，找出新知識的特點和注意事項,。必要時,，總結一下記憶方法。

　　這一環(huán)節(jié)的主要目的是通過模仿練習(一級模仿理論),，鞏固新知識,，訓練基本技能,，一定要在時間上給以充分保證,。這就是說，該環(huán)節(jié)重在學生的動腦動手練習上,。 有人說：“天下文章一大抄”,，這句話雖不真實,，但含有一定道理。人就是在模仿中長大的,，在模仿中創(chuàng)新,，在模仿中發(fā)展的，這是千真萬饒真理,。

　　第二環(huán)節(jié)所體現(xiàn)的是由抽象到具體的認識過程,。

　　3.變式導練，應用建構,。

　　這里所說的“變式”是指非規(guī)范問題,。

　　第二環(huán)節(jié)學生練習的是基本題，規(guī)范題,，在此基礎上,，教師再給出一些非規(guī)范問題讓學生練習。這里特別指出的是：這些非規(guī)范問題一定要按著一點一點加難或加繁的順序給出,。給出非規(guī)范問題后,，教師的主導作用是引導學生運用化舊思想把非規(guī)范問題轉化成規(guī)范問題。這就是說,，在這一環(huán)節(jié)里,，教師所做的事是引導化歸或幫助學生塔橋或組織學生展開討論，問題的解決要由學生自己完成,。 這一環(huán)節(jié)的主要目的是進一步鞏固和理解在第一環(huán)節(jié)所建構起來的新知識,，并通過對新知識的應用，逐步培養(yǎng)學生的數(shù)學能力和掌握數(shù)學思想方法,。如化歸思想中的特殊化思想,，一般化思想(含函數(shù)思想)、分割與變形思想,、數(shù)形結合思想,、RMI原則等。為此,，解完題后引導學生回顧和反思是非常必要的,。

　　“變式導練，應用建構”可用于習題課教學,。

　　以上三個環(huán)節(jié)的安排,，體現(xiàn)了具體——抽象——具體的認識過程。這也是數(shù)學教學的特點之一,。

　　4.歸納提煉,，完善建構。

　　完成以上三個環(huán)節(jié)以后,，要繼續(xù)進行第四個環(huán)節(jié)的活動,。這不是一個可有可無的環(huán)節(jié),，這是當前數(shù)學課堂數(shù)學往往被忽視的一個重要環(huán)節(jié)——課堂小結。利用下課前的幾秒鐘,，由教師重復一下黑板上的大小標題不能視為進行了課堂小結,。真正的課堂小結要由學生的主動參與，在教師的引導下,，由學生對本節(jié)課進行歸納,、整理和提煉，以達到完善建構使建構系統(tǒng)化的目的,。

　　這一環(huán)節(jié)盡管所用的時間較少(大約5分鐘),，但如能長期堅持，它會有利于學生系統(tǒng)掌握知識和能力的形成,。要讓學生養(yǎng)成習慣,，養(yǎng)成做完一件事就要進行總結的良好的個性品質。這就是我們常說的一句話：“貴在堅持”,。 如何進行課堂小結?

　　開始,，可由教師提出要總結的問題，例如：

　　(1)新知識或新方法發(fā)生的大體過程是什么?

　　(2)新知識或新方法有何特點?

　　(3)非規(guī)范化問題是如何轉化成規(guī)范問題的?

　　(4)在使用某一概念或某一定理的時,，要特別注意的是什么?

　　……

　　在學生學會了如何進行總結后,，教師可不再提出提綱。但學生總結后,，教師要給以補充和完善,。 總之，通過課堂小結,，要使學生對這一節(jié)課有一個整體認識,，使知識成串成鏈系統(tǒng)化。這有助于學生對知識的記憶和能力的形成與發(fā)展,。另外,，通過小結要使學生學會提煉數(shù)學思想。數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂,，提煉和掌握數(shù)學思想是學好數(shù)學的根本,。

　　在這里順便提一個建議：教師在每次留作業(yè)時，可向學生倡導,，做完作業(yè)后,，寫出簡單小結。如能長期堅持,，必會收到很好的效果,。

　　《造、設、變,、歸》教學模式操作說明：

　　①當課題為新的基礎知識時,，一般講,，該模式的四個環(huán)節(jié)既要完備而且有序。即先一后二再三最后四,。每一環(huán)節(jié)的時間控制可根據(jù)學生的實際和課題的特點以及當時的具體情況靈活掌握,。

　　②根據(jù)課題在教材中的地位和復雜程序,，第三個環(huán)節(jié)的“變式導練”可在下一節(jié)課或下下節(jié)課繼續(xù)進行,。

　　③第一環(huán)節(jié)的造“景”可以在上一節(jié)課留成作業(yè),。

　?、苷n堂小結必須給以足夠重視，千萬不要剪進行小結的時間,?？梢詴婵偨Y，可以全班交流,。

　　根據(jù)上面對《造,、設、變,、歸》教學模式的分析,，我們不難得到下面的結論：

　　知識形成在于“景”，

　　突出重點重在練,，

　　解決難點要巧中探,，

　　發(fā)展能力需提煉。

　　由此,，我們可形成與《造,、設、變,、歸∪價的教學模式——《“景”,、練、探,、煉》,。 《造、設,、變,、歸》教學模式的表面形式多是“兩頭活，中間靜”。所謂“兩頭活”是指在一節(jié)課的開頭和末尾,，課堂上的交流氣氛相對活躍,，“中間靜”是指在知識形成后的一段時間里，教師要讓學生安安靜地作題,，對新形成的知識進行鞏固和應用,。

　　(二)習題課教學模式

　　“習題課”，故名思意,，應當以學生自己作習題為主,，而且是以作變式題為主。上這種課需要掌握的基本原則是基本教學模式中的“變式導練,，應用建構”和“歸納提煉,，完善建構?！?/p>

　　提高習題課質量的關鍵是精選習題和解題后的回顧與反思,，即通過解題進一步鞏固學過的知識并發(fā)展能力(含數(shù)學思想方法)。

　　(三)復習課教學模式

　　教學進度中,，某一單元結束后,，期中測驗前，期末考試前,，都要安排復習課,。上好復習課是提高教學質量，發(fā)展學生能力的重要環(huán)節(jié),。傳統(tǒng)的教學復習課的教學模式,，一般是由教師對所要復習的內容進行系統(tǒng)歸納，更多的是讓學生作題,。認識論指導下的數(shù)學復習課的教學模式應該把系統(tǒng)歸納的責任還給學生,。

　　1.基本原則：

　　(學生)課前復習，課上交流,，適當練習,，重在類化。

　　設計數(shù)學復習課教學模式時,，應注意以下問題：

　　(1)課前必須讓學生親自參與到復習中去——看書,，自己查找學習中的漏洞，自己校正錯誤的思維建構,，并讓學生寫出歸納小結,。

　　(2)課上組織交流，形式可以多樣化,。如在小組內交流,，在全班組織同學間的經(jīng)驗交流或錯例分析交流,，或宣讀小論文等。

　　(3)教師的主導作用：精心設計復習課的教學模式,，組織交流,，引導合作，培養(yǎng)學生的歸納綜合和概括能力,，補充和完善同學們的思維建構等等,。

　　2.最終目的：

　　綜上所述，認識論指導下的教學模式應理解為“導學模式”,，其最終目的是發(fā)展學生能力，提高素質,，讓學生學會學習,。而學會的手段是科學的過程。具體到數(shù)學教學,，就是要讓學生親自經(jīng)歷知識形式過程,、鞏固和應用的過程以及知識、技能和方法的類化過程,。沒有這些過程,，學生是學不好數(shù)學的，更談不上學會學習,。這里需要強調的是：絕不能用教師的分析講解去代替學生親自經(jīng)歷這些過程,。這就是說，數(shù)學課堂教學模式設計的核心思想是學生自己的做和悟,。說得再通俗一點就是：學生的數(shù)學是在教師的作用下,，自己做會和悟會的。筆者的最后結論是：中學數(shù)學課堂教學的最佳教學法是“導,、做,、悟”，并以導,、做,、悟的有機平衡為最高標準(有機平衡分析略)。