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您好,！您的文章“高考數(shù)學(xué)輕松搞定排列組合難題二十一種方法”深受廣大館友的喜愛,，于2012年10月12日進(jìn)入“閱覽室”頻道的“教育/學(xué)習(xí)”下“高中/高考”類別的精華區(qū),。360doc代表全體館友感謝您的辛勤勞動(dòng)和慷慨分享！

 

排列組合問題聯(lián)系實(shí)際生動(dòng)有趣,，但題型多樣,，思路靈活，因此解決排列組合問題,，首先要認(rèn)真審題,，弄清楚是排列問題、組合問題還是排列與組合綜合問題；其次要抓住問題的本質(zhì)特征,，采用合理恰當(dāng)?shù)姆椒▉硖幚怼?font style="font-family: ;" size="+0">


教學(xué)目標(biāo)


1.進(jìn)一步理解和應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理和分類計(jì)數(shù)原理,。
2.掌握解決排列組合問題的常用策略;能運(yùn)用解題策略解決簡單的綜合應(yīng)用題。提高學(xué)生解決問題分析問題的能力
3.學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)思想和方法解決排列組合問題.
復(fù)習(xí)鞏固


1.分類計(jì)數(shù)原理(加法原理)
完成一件事,，有n類辦法,，在第1類辦法中有種不同的方法，在第2類辦法中有種不同的方法,，…,，在第n類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．
2.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）
完成一件事,，需要分成n個(gè)步驟,，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法,，…,，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．
3.分類計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理區(qū)別
分類計(jì)數(shù)原理方法相互獨(dú)立,，任何一種方法都可以獨(dú)立地完成這件事,。
分步計(jì)數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個(gè)階段,，不能完成整個(gè)事件．

解決排列組合綜合性問題的一般過程如下:
1.認(rèn)真審題弄清要做什么事,。
2.怎樣做才能完成所要做的事,即采取分步還是分類,或是分步與分類同時(shí)進(jìn)行,確定分多少步及多少類。
3.確定每一步或每一類是排列問題(有序)還是組合(無序)問題,元素總數(shù)是多少及取出多少個(gè)元素.
4.解決排列組合綜合性問題,，往往類與步交叉,，因此必須掌握一些常用的解題策略。
一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略


例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).
解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置.
先排末位共有
然后排首位共有
最后排其它位置共有
由分步計(jì)數(shù)原理得




二.相鄰元素捆綁策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.
解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素,，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素,，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排,。由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的排法,。





三.不相鄰問題插空策略
例3.一個(gè)晚會的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？
解:分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有種,，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種不同的方法,由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有種


四.定序問題倍縮空位插入策略
例4.7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法
解:(倍縮法)對于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是：
(空位法)設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法,，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有 1種坐法，則共有種方法,。
思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎?
（插入法)先排甲乙丙三個(gè)人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有方法


五.重排問題求冪策略
例5.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有 7 種分法.把第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種分依此類推,由分步計(jì)數(shù)原理共有種不同的排法



六.環(huán)排問題線排策略
例6. 8人圍桌而坐,共有多少種坐法?
解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于,，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展成直線其余7人共有（8-1）,！種排法即7,！

 


七.多排問題直排策略
例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排前后兩排,相當(dāng)于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.個(gè)特殊元素有種,再排后4個(gè)位置上的特殊元素丙有種,其余的5人在5個(gè)位置上任意排列有種,則共有種



八.排列組合混合問題先選后排策略


例8.有5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個(gè)球,共有多少不同的裝法.
解:第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元共有種方法.再把4個(gè)元素(包含一個(gè)復(fù)合元素)裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有


九.小集團(tuán)問題先整體后局部策略
例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾1,５在兩個(gè)奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個(gè),？
解：把１,５,２,４當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與３排隊(duì)共有種排法,，再排小集團(tuán)內(nèi)部共有種排法，由分步計(jì)數(shù)原理共有種排法.



十.元素相同問題隔板策略
例10.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額,，分給7個(gè)班,，每班至少一個(gè),有多少種分配方案？
解：因?yàn)?0個(gè)名額沒有差別,，把它們排成一排,。相鄰名額之間形成９個(gè)空隙。在９個(gè)空檔中選６個(gè)位置插個(gè)隔板,，可把名額分成７份,，對應(yīng)
地分給７個(gè)班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有種分法,。






十一.正難則反總體淘汰策略
例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù),，使其和為不小于 10的偶數(shù),不同的取法
有多少種？
解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法,。這十個(gè)數(shù)字中有5個(gè)偶數(shù)5個(gè)奇數(shù),所取的三個(gè)數(shù)含有3個(gè)偶數(shù)的取法有,只含有1個(gè)偶數(shù)的取法有,和為偶數(shù)的取法共有,。再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種，符合條件的取法共有種



十二.平均分組問題除法策略
例12. 6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法,？
解: 分三步取書得種方法,但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF,，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為(AB,CD,EF),則中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法 ,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共有種分法。




十三. 合理分類與分步策略
例13.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能能唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個(gè)2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法
解：10演員中有5人只會唱歌,，2人只會跳舞3人為全能演員,。選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有種, 只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員種,只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有種，由分類計(jì)數(shù)原理共有種,。




十四.構(gòu)造模型策略
例14. 馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種,？
解：把此問題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3個(gè)不亮的燈有 種



十五.實(shí)際操作窮舉策略
例15.設(shè)有編號1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號1,2,3,4,5的五個(gè)盒子,現(xiàn)將5個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi),要
求每個(gè)盒子放一個(gè)球,，并且恰好有兩個(gè)球的編號與盒子的編號相同,有多少投法
解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對號有種還剩下3球3盒序號不能對應(yīng)，利用實(shí)際操作法,，如果
剩下3,4,5號球, 3,4,5號盒3號球裝4號盒時(shí),，則4,5號球有只有1種裝法，同理3號球裝5
號盒時(shí),4,5號球有也只有1種裝法,由分步計(jì)數(shù)原理有種


3號盒 4號盒 5號盒




十六. 分解與合成策略
例16. 30030能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除
分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13
依題意可知偶因數(shù)必先取2,再從其余5個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成乘積,，所有的偶因數(shù)為：
練習(xí):正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可連成多少對異面直線
解：我們先從8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四體共有體共,每個(gè)四面體有3對異面直線,
正方體中的8個(gè)頂點(diǎn)可連成3×58=174對異面直線






十七.化歸策略
例17. 25人排成5×5方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種,？
解：將這個(gè)問題退化成9人排成3×3方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少
選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉，如此繼續(xù)下去.
從3×3方隊(duì)中選3人的方法有種,。再從5×5方陣選出3×3方陣便可解決問題.從5×5
方隊(duì)中選取3行3列有選法所以從5×5方陣選不在同一行也不在同一列的3人有
選法,。






十八.數(shù)字排序問題查字典策略
例18．由0，1,，2,，3，4,，5六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)的比324105大的數(shù),？
解:




十九.樹圖策略
例19．3人相互傳球,由甲開始發(fā)球,并作為第一次傳球,經(jīng)過5次傳求后,球仍回到甲的手中,則不同的傳球方式有




二十.復(fù)雜分類問題表格策略
例20．有紅、黃,、蘭色的球各5只,分別標(biāo)有A,、B、C,、D,、E五個(gè)字母,現(xiàn)從中取5只,要求各字母均有且三色齊備,則共有多少種不同的取法？
解:




二十一：住店法策略
解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復(fù),，另一類不能重復(fù),，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”,，再利用乘法原理直接求解.
例21.七名學(xué)生爭奪五項(xiàng)冠軍,，每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有 種.
分析：因同一學(xué)生可以同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍,，故學(xué)生可重復(fù)排列,，將七名學(xué)生看作7家“店”，五項(xiàng)冠
軍看作5名“客”,，每個(gè)“客”有7種住宿法,，由乘法原理得種.
小結(jié)
本節(jié)課，我們對有關(guān)排列組合的幾種常見的解題策略加以復(fù)習(xí)鞏固,。排列組合歷來是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn),，通過我們平時(shí)做的練習(xí)題，不難發(fā)現(xiàn)排列組合題的特點(diǎn)是條件隱晦,，不易挖掘,，題目多變,，解法獨(dú)特，數(shù)字龐大,，難以驗(yàn)證,。同學(xué)們只有對基本的解題策略熟練掌握。根據(jù)它們的條件,我們就可以選取不同的技巧來解決問題.對于一些比較復(fù)雜的問題,我們可以將幾種策略結(jié)合起來應(yīng)用把復(fù)雜的問題簡單化,，舉一反三，觸類旁通,，進(jìn)而為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),。