在函數(shù)的三要素中,，定義域和值域起決定作用,，而值域是由定義域和對應法則共同確定,。研究函數(shù)的值域,，不但要重視對應法則的作用，而且還要特別重視定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用,。確定函數(shù)的值域是研究函數(shù)不可缺少的重要一環(huán),。對于如何求函數(shù)的值域,，是學生感到頭痛的問題，它所涉及到的知識面廣,，方法靈活多樣,，在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，占有一定的地位,，若方法運用適當,，就能起到簡化運算過程，避繁就簡,，事半功倍的作用,。本文就函數(shù)值域求法歸納如下，供參考,。
基本知識
1.定義：因變量y的取值范圍叫做函數(shù)的值域（或函數(shù)值的集合）,。
2.函數(shù)值域常見的求解思路：
⑴ 劃歸為幾類常見函數(shù)，利用這些函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解,。
⑵ 反解函數(shù),，將自變量x用函數(shù)y的代數(shù)式形式表示出來，利用定義域建立函數(shù)y的不等式,，解不等式即可獲解,。
⑶ 可以從方程的角度理解函數(shù)的值域，從方程的角度講,，函數(shù)的值域即為使關(guān)于x的方程y=f(x)在定義域內(nèi)有解的y得取值范圍,。
特別地，若函數(shù)可看成關(guān)于x的一元二次方程,，則可通過一元二次方程在函數(shù)定義域內(nèi)有解的條件,，利用判別式求出函數(shù)的值域,。
⑷ 可以用函數(shù)的單調(diào)性求值域。
⑸ 其他,。

1. 直接觀察法
對于一些比較簡單的函數(shù),，通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察,，結(jié)合函數(shù)的解析式,，求得函數(shù)的值域
例1. 求函數(shù)的值域。
解：∵ ∴
顯然函數(shù)的值域是：




2. 配方法
配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一,。
例2. 求函數(shù)的值域,。
解：將函數(shù)配方得：
∵
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當x=1時，,，當x=-1時,，
故函數(shù)的值域是：[4，8]

3. 判別式法



例3. 求函數(shù)的值域,。
解：兩邊平方整理得：（1）
∵ ∴
解得：
但此時的函數(shù)的定義域由,，得
由，僅保證關(guān)于x的方程：在實數(shù)集R有實根,，而不能確保其實根在區(qū)間[0,，2]上，即不能確保方程（1）有實根,，由 求出的范圍可能比y的實際范圍大,，故不能確定此函數(shù)的值域為。
可以采取如下方法進一步確定原函數(shù)的值域,。
∵ ∴

∴代入方程（1）

解得： 即當時,，
原函數(shù)的值域為：
注：由判別式法來判斷函數(shù)的值域時，若原函數(shù)的定義域不是實數(shù)集時,，應綜合函數(shù)的定義域,，將擴大的部分剔除。

4. 反函數(shù)法
直接求函數(shù)的值域困難時,，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域,。
例4. 求函數(shù)值域。

解：由原函數(shù)式可得：

則其反函數(shù)為：,，其定義域為：
故所求函數(shù)的值域為：

5. 函數(shù)有界性法
直接求函數(shù)的值域困難時,，可以利用已學過函數(shù)的有界性，反客為主來確定函數(shù)的值域,。




例5. 求函數(shù)的值域,。

解：由原函數(shù)式可得：，可化為：
即
∵ ∴
即 解得：

故函數(shù)的值域為


6. 函數(shù)單調(diào)性法
例6. 求函數(shù)的值域。
解：令 則在[2,，10]上都是增函數(shù)
所以在[2,，10]上是增函數(shù)
當x=2時，
當x=10時,，

故所求函數(shù)的值域為：


例7. 求函數(shù)的值域,。
解：原函數(shù)可化為：
令，顯然在上為無上界的增函數(shù)
所以,，在上也為無上界的增函數(shù)
所以當x=1時,，有最小值，原函數(shù)有最大值
顯然y>0,，故原函數(shù)的值域為

7. 換元法
通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù),，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，換元法是數(shù)學方法中幾種最主要方法之一,，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作
例8. 求函數(shù)的值域,。

解：因

即
故可令
∴
∵
∴
∴
故所求函數(shù)的值域為

例9. 求函數(shù)的值域,。

解：原函數(shù)可變形為：

可令,，則有
∴
當時，
當時,，
而此時有意義,。
故所求函數(shù)的值域為

例10. 求函數(shù)，的值域,。
解：

令,，則
由 且
可得：
∴當時，,，當時,，
故所求函數(shù)的值域為。

例11. 求函數(shù)的值域,。
解：由,，可得
故可令

∵ ∴
當時，
當時,，
故所求函數(shù)的值域為：

8. 數(shù)形結(jié)合法
其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義,，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數(shù)形結(jié)合法,，往往會更加簡單,，一目了然，賞心悅目,。[要學習網(wǎng),只做中學生最喜歡,、最實用的學習論壇，地址 www. 手機版地址 wap.]
例12. 求函數(shù)的值域。

解：原函數(shù)可化簡得：y=|x-2|+|x+8|
上式可以看成數(shù)軸上點P（x）到定點A（2）,，B(-8)間的距離之和,。
由上圖可知，當點P在線段AB上時,，y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10
當點P在線段AB的延長線或反向延長線上時,，y=|x-2|+|x+8|>|AB|=10
故所求函數(shù)的值域為：

例13. 求函數(shù)的值域。
解：原函數(shù)可變形為：

上式可看成x軸上的點P(x,0)到兩定點A(3,2),B(-2,-1)的距離之和,，
由圖可知當點P為線段與x軸的交點時,，，
故所求函數(shù)的值域為


例14. 求函數(shù)的值域,。
解：將函數(shù)變形為：
上式可看成定點A（3,，2）到點P（x，0）的距離與定點B(-2,1)到點P(x,0)的距離之差,。
即：y=|AP|-|BP|
由圖可知：（1）當點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點時,，如點P'，則構(gòu)成△ABP',，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊,，有
即：
（2）當點P恰好為直線AB與x軸的交點時，有
綜上所述,，可知函數(shù)的值域為：

注：由例13,，14可知，求兩距離之和時,，要將函數(shù)式變形,，使A、B兩點在x軸的兩側(cè),，而求兩距離之差時,，則要使A，B兩點在x軸的同側(cè),。
如：例13的A,，B兩點坐標分別為：（3，2）,，(-2,-1),，在x軸的同側(cè)；例14的A,，B兩點坐標分別為（3,，2），(2,-1),，在x軸的同側(cè),。

9. 不等式法
利用基本不等式，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值,，解析式是積時要求和為定值,，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧,。
例15. 求函數(shù)的值域,。
解：原函數(shù)變形為：

當且僅當tanx=cotx
即當時，等號成立
故原函數(shù)的值域為：

例16. 求函數(shù)y=2sinxsin2x的值域,。
解：y=4sinxsinxcosx


當且僅當,，即當時，等號成立,。
由可得：
故原函數(shù)的值域為：

10. 映射法
原理：因為在定義域上x與y是一一對應的,。故兩個變量中，若知道一個變量范圍,，就可以求另一個變量范圍,。
例17. 求函數(shù)的值域。

解：∵定義域為

由得

故或

解得

故函數(shù)的值域為

11．最值法
對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域,。[要學習網(wǎng),只做中學生最喜歡,、最實用的學習論壇，地址 www. 手機版地址 wap.]
例18.已知,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域,。
點撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍,，將目標函數(shù)消元,、配方,，可求出函數(shù)的值域。
解：∵,，上述分式不等式與不等式同解,，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1,，將y=1-x代入z=xy+3x中,，得(-1≤x≤3/2),
∴且x∈[-1,3/2],函數(shù)z在區(qū)間[-1,3/2]上連續(xù)，故只需比較邊界的大小,。
當x=-1時,，z=－5；當x=3/2時,，z=15/4,。
∴函數(shù)z的值域為｛z∣－5≤z≤15/4｝。
點評：本題是將函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值,。對開區(qū)間,，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數(shù)的值域。
12.構(gòu)造法
根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,，賦予幾何圖形,，數(shù)形結(jié)合。
例19.求函數(shù)的值域,。
點撥：將原函數(shù)變形,，構(gòu)造平面圖形，由幾何知識,，確定出函數(shù)的值域,。
解：原函數(shù)變形為
作一個長為4、寬為3的矩形ABCD,，再切割成12個單位正方形,。設HK=x,則EK=2-x,KF=2+x,,。
由三角形三邊關(guān)系知,，AK+KC≥AC=5,。當A、K,、C三點共線時取等號,。
∴原函數(shù)的知域為｛y|y≥5｝。
點評：對于形如函數(shù)(a,b,c均為正數(shù)),，均可通過構(gòu)造幾何圖形,，由幾何的性質(zhì)，直觀明了,、方便簡捷,。這是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。
13．比例法
對于一類含條件的函數(shù)的值域的求法,，可將條件轉(zhuǎn)化為比例式,，代入目標函數(shù)，進而求出原函數(shù)的值域,。
例20.已知x,y∈R,，且3x-4y-5=0,求函數(shù)的值域。
點撥：將條件方程3x-4y-5=0轉(zhuǎn)化為比例式,，設置參數(shù),，代入原函數(shù)。
解：由3x-4y-5=0變形得,，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數(shù))
∴x=3+4k,y=1+3k,
∴,。
當k=－3/5時，x=3/5,y=－4/5時,，,。
函數(shù)的值域為｛z|z≥1｝.
點評：本題是多元函數(shù)關(guān)系,，一般含有約束條件，將條件轉(zhuǎn)化為比例式,，通過設參數(shù),，可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為單函數(shù)的形式，這種解題方法體現(xiàn)諸多思想方法,，具有一定的創(chuàng)新意識,。
14．利用多項式的除法
例21.求函數(shù)y=(3x+2)/(x+1)的值域。
點撥：將原分式函數(shù),，利用長除法轉(zhuǎn)化為一個整式與一個分式之和,。
解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。
∵1/(x+1)≠0,，故y≠3,。
∴函數(shù)y的值域為y≠3的一切實數(shù)。
點評：對于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數(shù)均可利用這種方法,。
15. 多種方法綜合運用
例22. 求函數(shù)的值域,。
解：令，則
（1）當t>0時,，,，當且僅當t=1，即x=-1時取等號,，所以
（2）當t=0時,，y=0。
綜上所述,，函數(shù)的值域為：
注：先換元,，后用不等式法

例23. 求函數(shù)的值域。
解：

令,，則

∴

∴當時,，
當時,，
此時都存在,，故函數(shù)的值域為
注：此題先用換元法，后用配方法,，然后再運用的有界性,。
總之，在具體求某個函數(shù)的值域時,，首先要仔細,、認真觀察其題型特征，然后再選擇恰當?shù)姆椒?，一般?yōu)先考慮直接法,，函數(shù)單調(diào)性法和基本不等式法,，然后才考慮用其他各種特殊方法。