經(jīng)常聽到同行抱怨學(xué)生對(duì)空間垂直關(guān)系以及二面角掌握的不好，確實(shí),，筆者每次遇到講授線線垂直,、線面垂直、面面垂直的內(nèi)容時(shí)候,，也曾經(jīng)為學(xué)生的茫然而頭痛,。

怎么突破這個(gè)難點(diǎn)？筆者找到了一個(gè)辦法,，希望和讀者分享,。當(dāng)然僅是一家之言，效果如何,？還有待實(shí)踐的檢驗(yàn),。

先講點(diǎn)有關(guān)的數(shù)學(xué)歷史。我國古代的數(shù)學(xué)成就除了在代數(shù)上獨(dú)占熬頭以外,，在立體幾何方面的成就也是舉世共睹的,。

在立體幾何方面曾經(jīng)作出過杰出貢獻(xiàn)的有祖沖之、祖暅,、劉徽等數(shù)學(xué)家,。古代數(shù)學(xué)家在研究空間幾何體時(shí)，提出了兩種比較特殊的錐體：陽馬,、鱉臑,。《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方,，得兩壍堵,。斜解壍堵，其一為陽馬,，一為鱉臑,。陽馬居二,，鱉臑居一,，不易之率也。合兩鱉臑三而一,，驗(yàn)之以棊,，其形露矣?！?劉徽 注：“此術(shù)臑者,，背節(jié)也，或曰半陽馬，其形有似鱉肘,，故以名云,。中破陽馬，得兩鱉臑,，鱉臑之起數(shù),，數(shù)同而實(shí)據(jù)半，故云六而一即得,?！?SPAN lang=EN-US>

什么是鱉臑？其實(shí)就是四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐,，兩個(gè)鱉臑拼在一起就是陽馬,。筆者就用鱉臑來作為學(xué)生學(xué)習(xí)空間垂直問題這個(gè)難點(diǎn)的突破口的，效果很好,。

在1992年全國高考理科數(shù)學(xué)試題中,，曾經(jīng)有這樣的問題：

在四棱錐的四個(gè)側(cè)面中，直角三角形最多有（   ）個(gè),？

A.1       B.2       C.3      D.4

當(dāng)年本題目的得分也是十分低的,，足以說明學(xué)生對(duì)垂直關(guān)系的掌握是不樂觀的。

突破難點(diǎn)采用的是一種循序漸進(jìn)的思路：

一．        提出問題：有沒有四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐,？請(qǐng)用學(xué)具（塑料棒,、橡皮泥）制作模型。

新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)立體幾何的教學(xué)要求十分符合學(xué)生的認(rèn)知心理,，概括起來就是“直觀感知,、操作確認(rèn)、思辯論證,、歸納證明”這幾個(gè)重要環(huán)節(jié),。多年來，我在講授立體幾何時(shí)一直要求學(xué)生準(zhǔn)備學(xué)具,，用學(xué)具擺模型,，或者用硬紙片制作幾何體。那道著名的曾經(jīng)讓命題者尷尬的美國德克薩斯州中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題：一個(gè)正三棱錐和一個(gè)正四棱錐的所有棱長都相等,，將它們的某兩個(gè)面重合,，組成的新幾何體有幾個(gè)面？解決時(shí),，就是先讓學(xué)生制作模型,，再去論證。

二．        觀察思考：

將你擺出的幾何體的直觀圖繪制出來,，標(biāo)上字母,。然后觀察其中有哪些線線垂直,、線面垂直、面面垂直,？能夠給出證明嗎,？

引導(dǎo)學(xué)生“提煉”出一個(gè)有用的結(jié)論：如果一直線與三角形的兩邊垂直，那么必定與第三邊垂直,。這樣學(xué)生再思考垂直關(guān)系時(shí),，思維的質(zhì)量就會(huì)有明顯的提高。

如圖1,，在三棱錐 中,， 平面 ，

,，求證： 平面 ,，平面 ⊥平面 。

證明：

∵ 平面 ,， 平面

∴ ,，又

∴ 平面 ，又 平面

∴平面 ⊥平面 ,。

三．        變換位置：

再提供任意位置的鱉臑,，由學(xué)生去觀察。最好能夠給出一些比較復(fù)雜的幾何體,，由學(xué)生去發(fā)現(xiàn)其中隱藏著的鱉臑,。

例如：已知直四棱柱 的底面是菱形，且 是棱 的中點(diǎn),。

四．        靈活應(yīng)用：

有了上面的鋪墊,，相信學(xué)生對(duì)空間垂直關(guān)系一定有了比較深刻的認(rèn)識(shí)，學(xué)生如同習(xí)了一身本領(lǐng)的將士,，可以經(jīng)歷如火如荼的“解題”洗禮了,。

在三棱錐 ，已知 ,， 是線段 上一點(diǎn),， ，點(diǎn) 在線段 ,，且 （圖3）,。

求 長。

分析：結(jié)合已知條件,，觀察圖形,，追根溯源,，要想證明 平面 ,，必須先證明 平面 。

證明：∵ ，

∴ ,，同理 ,， ，

∴ 平面 ,，而 平面  ∴ ,，

又∵ ，

而 ,，∴ ,，又 ，

∴ 平面 ,，∴ ,，

根據(jù) ， ,，∴ 平面 ∴ ,，

那么在 中 。

至于二面角的教學(xué),，鱉臑也是一個(gè)特別好的載體,。可以讓學(xué)生觀察鱉臑中有多少個(gè)二面角,？哪些是直二面角,？哪些二面角的平面角已經(jīng)給出？當(dāng)然其中有一個(gè)難度稍大一些的問題：

如圖1,，做二面角 的平面角,。

如同垂直關(guān)系的教學(xué)一樣，充分作好這些準(zhǔn)備工作以后,，再提供一些幾何體供學(xué)生演練鞏固提高,。

這樣的處理，可以充分利用鱉臑的解題“標(biāo)本”功能,。數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué),，盡管沒有萬能的解題模式，但是會(huì)有一些捷徑,。教師就是要發(fā)現(xiàn)這些捷徑,，然后提供給學(xué)生，讓他們少走彎路,。