第一章  一元一次不等式和一元一次不等式組

一. 不等關(guān)系

※1. 一般地,用符號“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)連接的式子叫做不等式.

¤2. 要區(qū)別方程與不等式: 方程表示的是相等的關(guān)系;不等式表示的是不相等的關(guān)系.

※3. 準確“翻譯”不等式,正確理解“非負數(shù)”、“不小于”等數(shù)學術(shù)語.

非負數(shù) <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正數(shù) <===> 不小于0

非正數(shù) <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和負數(shù) <===> 不大于0

二. 不等式的基本性質(zhì)

※1. 掌握不等式的基本性質(zhì),并會靈活運用:

(1) 不等式的兩邊加上(或減去)同一個整式,不等號的方向不變,即:

如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.

(2) 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變,即

如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, .

(3) 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變,即:

如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, 

※2. 比較大小:(a,、b分別表示兩個實數(shù)或整式)

一般地:

如果a>b,那么a-b是正數(shù);反過來,如果a-b是正數(shù),那么a>b;

如果a=b,那么a-b等于0;反過來,如果a-b等于0,那么a=b;

如果a<b,那么a-b是負數(shù);反過來,如果a-b是正數(shù),那么a<b;

即:

a>b <===> a-b>0

a=b <===> a-b=0

a<b <===> a-b<0

 (由此可見,要比較兩個實數(shù)的大小,只要考察它們的差就可以了.

三. 不等式的解集:

※1. 能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解;一個不等式的所有解,組成這個不等式的解集;求不等式的解集的過程,叫做解不等式.

※2. 不等式的解可以有無數(shù)多個,一般是在某個范圍內(nèi)的所有數(shù),與方程的解不同.

¤3. 不等式的解集在數(shù)軸上的表示:

用數(shù)軸表示不等式的解集時,要確定邊界和方向: 

①邊界:有等號的是實心圓圈,無等號的是空心圓圈;

②方向:大向右,小向左

四. 一元一次不等式:

※1. 只含有一個未知數(shù),且含未知數(shù)的式子是整式,未知數(shù)的次數(shù)是1. 像這樣的不等式叫做一元一次不等式.

※2. 解一元一次不等式的過程與解一元一次方程類似,特別要注意,當不等式兩邊都乘以一個負數(shù)時,不等號要改變方向.

※3. 解一元一次不等式的步驟:

①去分母; 

②去括號; 

③移項; 

④合并同類項; 

⑤系數(shù)化為1(不等號的改變問題)

※4. 一元一次不等式基本情形為ax>b(或ax<b)

①當a>0時,解為;

②當a=0時,且b<0,則x取一切實數(shù);

當a=0時,且b≥0,則無解;

③當a<0時, 解為;

¤5. 不等式應用的探索(利用不等式解決實際問題)

列不等式解應用題基本步驟與列方程解應用題相類似,即:

①審: 認真審題,找出題中的不等關(guān)系,要抓住題中的關(guān)鍵字眼,如“大于”,、“小于”、“不大于”,、“不小于”等含義;

②設: 設出適當?shù)奈粗獢?shù);

③列: 根據(jù)題中的不等關(guān)系,列出不等式;

④解: 解出所列的不等式的解集;

⑤答: 寫出答案,并檢驗答案是否符合題意.

五. 一元一次不等式與一次函數(shù)

六. 一元一次不等式組

※1. 定義: 由含有一個相同未知數(shù)的幾個一元一次不等式組成的不等式組,叫做一元一次不等式組.

※2. 一元一次不等式組中各個不等式解集的公共部分叫做不等式組的解集.如果這些不等式的解集無公共部分,就說這個不等式組無解.

幾個不等式解集的公共部分,通常是利用數(shù)軸來確定.

※3. 解一元一次不等式組的步驟:

(1)分別求出不等式組中各個不等式的解集;

(2)利用數(shù)軸求出這些解集的公共部分,即這個不等式組的解集.

兩個一元一次不等式組的解集的四種情況(a,、b為實數(shù),且a<b)

第二章  分解因式

一. 分解因式

※1. 把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式分解因式.

※2. 因式分解與整式乘法是互逆關(guān)系.

因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系:

(1)整式乘法是把幾個整式相乘,化為一個多項式;

(2)因式分解是把一個多項式化為幾個因式相乘.

二. 提公共因式法

※1. 如果一個多項式的各項含有公因式,那么就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法.

    如: 

※2. 概念內(nèi)涵:

(1)因式分解的最后結(jié)果應當是“積”;

(2)公因式可能是單項式,也可能是多項式;

(3)提公因式法的理論依據(jù)是乘法對加法的分配律,即: 

※3. 易錯點點評:

(1)注意項的符號與冪指數(shù)是否搞錯;

(2)公因式是否提“干凈”;

(3)多項式中某一項恰為公因式,提出后,括號中這一項為+1,不漏掉.

三. 運用公式法

※1. 如果把乘法公式反過來,就可以用來把某些多項式分解因式.這種分解因式的方法叫做運用公式法.

※2. 主要公式:

(1)平方差公式: 

(2)完全平方公式: 

¤3. 易錯點點評:

因式分解要分解到底.如就沒有分解到底.

※4. 運用公式法:

(1)平方差公式: 

①應是二項式或視作二項式的多項式;

②二項式的每項(不含符號)都是一個單項式(或多項式)的平方;

③二項是異號.

(2)完全平方公式:

①應是三項式;

②其中兩項同號,且各為一整式的平方; 

③還有一項可正負,且它是前兩項冪的底數(shù)乘積的2倍.

※5. 因式分解的思路與解題步驟:

(1)先看各項有沒有公因式,若有,則先提取公因式;

(2)再看能否使用公式法;

(3)用分組分解法,即通過分組后提取各組公因式或運用公式法來達到分解的目的;

(4)因式分解的最后結(jié)果必須是幾個整式的乘積,否則不是因式分解;

(5)因式分解的結(jié)果必須進行到每個因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止.

四. 分組分解法:

※1. 分組分解法:利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法.

     如: 

※2. 概念內(nèi)涵:

分組分解法的關(guān)鍵是如何分組,要嘗試通過分組后是否有公因式可提,并且可繼續(xù)分解,分組后是否可利用公式法繼續(xù)分解因式.

※3. 注意: 分組時要注意符號的變化.

五. 十字相乘法:

※1.對于二次三項式,將a和c分別分解成兩個因數(shù)的乘積, , , 且滿足,往往寫成 的形式,將二次三項式進行分解. 

如: 

※2. 二次三項式的分解:

※3. 規(guī)律內(nèi)涵:

(1)理解:把分解因式時,如果常數(shù)項q是正數(shù),那么把它分解成兩個同號因數(shù),它們的符號與一次項系數(shù)p的符號相同.

(2)如果常數(shù)項q是負數(shù),那么把它分解成兩個異號因數(shù),其中絕對值較大的因數(shù)與一次項系數(shù)p的符號相同,對于分解的兩個因數(shù),還要看它們的和是不是等于一次項系數(shù)p.

※4. 易錯點點評:

(1)十字相乘法在對系數(shù)分解時易出錯;

(2)分解的結(jié)果與原式不等,這時通常采用多項式乘法還原后檢驗分解的是否正確.

第三章  分式

一. 分式

※1. 兩個整數(shù)不能整除時,出現(xiàn)了分數(shù);類似地,當兩個整式不能整除時,就出現(xiàn)了分式.

    整式A除以整式B,可以表示成的形式.如果除式B中含有字母,那么稱為分式,對于任意一個分式,分母都不能為零.

※2. 整式和分式統(tǒng)稱為有理式,即有:   

※3. 進行分數(shù)的化簡與運算時,常要進行約分和通分,其主要依據(jù)是分數(shù)的基本性質(zhì):

    分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式,分式的值不變.

※4. 一個分式的分子、分母有公因式時,可以運用分式的基本性質(zhì),把這個分式的分子,、分母同時除以它的們的公因式,也就是把分子,、分母的公因式約去,這叫做約分.

二. 分式的乘除法

※1. 分式乘以分式,用分子的積做積的分子,分母的積做積的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母顛倒位置后,與被除式相乘.

即: ,  

※2. 分式乘方,把分子,、分母分別乘方.

即:   

逆向運用,當n為整數(shù)時,仍然有成立.

※3. 分子與分母沒有公因式的分式,叫做最簡分式.

三. 分式的加減法

※1. 分式與分數(shù)類似,也可以通分.根據(jù)分式的基本性質(zhì),把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.

※2. 分式的加減法:

  分式的加減法與分數(shù)的加減法一樣,分為同分母的分式相加減與異分母的分式相加減.

(1)同分母的分式相加減,分母不變,把分子相加減;

上述法則用式子表示是:

(2)異號分母的分式相加減,先通分,變?yōu)橥帜傅姆质?/FONT>,然后再加減;