不等式（一）

二. 知識講解：

有關(guān)《不等式》的中等問題（中檔題）主要是考查各類不等式的解法。

從涉及題目的類型來看，有整式不等式,，分式不等式,，含有絕對值符號的不等式，對數(shù)不等式等等,。

從解題方法看,，主要有因式分解法、換元法等等,。

從數(shù)學(xué)思想來看,，主要是轉(zhuǎn)化思想和分類討論的思想。

例如對數(shù)不等式的解法,，就是利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，把它轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的代數(shù)不等式,，只要我們充分注意轉(zhuǎn)化過程中的等價(jià)性,，完全可以掌握這類問題的解法。

分類討論的思想在不等式的解法中頻頻出現(xiàn),。比如對數(shù)式的底數(shù)中字母的取值就影響到函數(shù)的增減性,，需要分類討論；含有絕對值符號的不等式在去掉絕對值符號時(shí),，需要對絕對值符號內(nèi)的解析式的取值進(jìn)行討論,。

有一些應(yīng)用問題中間也涉及到一些不等式的解法，在依據(jù)題意建立了數(shù)學(xué)模型之后,，主要的任務(wù)就是解一個(gè)不等式,，關(guān)于這個(gè)不等式的解，除去上面提到的注意事項(xiàng)之外,，特別要注意實(shí)際問題對未知數(shù)取值的限制,，把這種限制與不等式的解集取交集得到的才是問題的正確解答。

【典型例題】

[例1] 解不等式,。

解：令,，則或

（1）當(dāng)或時(shí)，原不等式化為

∴     ∴

（2）當(dāng)時(shí),，原不等式化為  

∴ 或     ∴

綜合（1）,、（2）知，原不等式的解集為

[例2] 解關(guān)于的不等式：（）

解：原不等式等價(jià)于：

（1）若,，或,，不等式的解集為空集

（2）若，即時(shí),，不等式解集為

（3）若,，即或時(shí),，不等式的解集為

綜上知：或時(shí)，解集為空集,；時(shí),，解集為｛｝；或時(shí),，解集為｛｝,。

[例3] 解關(guān)于的不等式：

解：原不等式變形為：   ∴

∴    等價(jià)于

（1）若，   ∴

（2）若,，原不等式化為

（3）若,，原不等式化為

∴ 或   綜上，時(shí),，

時(shí),，；時(shí),，或

[例4] 已知關(guān)于的不等式的解集為M,；

（1）當(dāng)時(shí)，求集合M,；

（2）若,，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

解：（1）當(dāng)時(shí),，原不等式可化為：

即  

∴ M為

（2）由于   即

∴ 或   ∴ 的取值范圍是

[例5] 解關(guān)于的不等式：,。

解：原不等式變形為：

（1）時(shí)，

（2）時(shí),，不等式變形為

當(dāng)時(shí),，或   當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí),，,，當(dāng)時(shí)，

綜上,，時(shí),，    時(shí)，或

時(shí),，   時(shí)，

時(shí),，

[例6] 解關(guān)于的不等式：

解：原不等式化為  

即    當(dāng)時(shí),，

此時(shí)不等式的解集為

當(dāng)時(shí)，不等式無解

當(dāng)時(shí),，,，此時(shí)不等式的解集為

綜上,，時(shí)，

時(shí),，無解,；時(shí)，

[例7] 已知函數(shù)

（1）試判斷函數(shù)的奇偶性,；

（2）解不等式：,。

解：

（1）∵

∴ 是奇函數(shù)

（2）∵

∴

由<1>、<2>解出   <4>

由<3>得,，,，

   ∴ 或  <5>

取<4>、<5>的交集,，不等式的解集為

[例8] 已知,，設(shè)P：函數(shù)在R上單調(diào)遞減，Q：不等式的解集為R,。如果P和Q有且僅有一個(gè)正確,，求的取值范圍。

解：函數(shù)在R上單調(diào)遞減

不等式的解集為在R上恒大于1

∵

∴ 函數(shù)在R上的最小值為

∴ 不等式的解集為R

如果P正確,，且Q不正確,，則

如果P不正確，且Q正確,，則

∴ 的取值范圍為

[例9] 解關(guān)于的不等式：（且）

解：令

原不等式化為  *

等價(jià)于

由（3）得    即10

解得或（4）

由（1）,、（2）得（5）

∴ *的解為    ∴

① 當(dāng)時(shí)，

② 當(dāng)時(shí),，

綜上,，原不等式的解為時(shí)，

時(shí),，

[例10] 解關(guān)于的不等式：

解：由,，得①

設(shè)，則①式變?yōu)?/SPAN>

解得或     即或

∵     ∴     ∴ 原不等式等價(jià)于或

∵     ∴      ∴ 或

∴ 當(dāng)時(shí),，原不等式的解集為：

【模擬試題】

1. 已知,，不等式對一切實(shí)數(shù)都成立}，那么下列關(guān)系中成立的是（    ）

    A.     B.     C.     D.

2. 不等式的解集為,，則的值為        ,。

3. 不等式對任意實(shí)數(shù)都成立，則的取值范圍是（    ）

A. 或                          B. 或

C.                                     D.

4. 若不等式的解集為,，求不等式的解集,。

5. 若不等式組的整數(shù)解只有，試求的取值范圍,。

6. 解關(guān)于的不等式,。

7. 解關(guān)于的不等式,。

【試題答案】

1. A    2. 或    3. C

4. 提示：的二根為2，3    ∴

∴ 化為    ∴

5. 解：由（1）得或   由（2）得

① 當(dāng),，

② 當(dāng),，

③ 當(dāng)時(shí)，無解

因?yàn)椴坏仁浇M的整數(shù)解只有,，則

只有②這種情況即   不等式組只有整數(shù)解

則     ∴

6. 解：

① 當(dāng)時(shí),，原不等式的解集為

② 當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為

③ 當(dāng)時(shí),，原不等式的解集為

④ 當(dāng)時(shí),，不等式無意義

⑤ 當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為

7. 解：（1）當(dāng)時(shí),，原不等式化為    ∴

（2）當(dāng)時(shí),，原不等式化為（*）

① 當(dāng)時(shí)，（*）化為

<1> 當(dāng)時(shí),，   ∴

<2> 當(dāng)時(shí),，無解

<3> 當(dāng)時(shí)，   ∴

② 當(dāng)時(shí),，（*）化為    ∴ 或

綜上以上,，得當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為

當(dāng)時(shí),，原不等式的解集為

當(dāng)時(shí),，原不等式的解集為

當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為

當(dāng)時(shí),，原不等式的解集為