同學(xué)們，大家好,！這一講我們主要來研究一下“列方程求面積”這方面的問題,，也就是研究如何利用列簡易方程求面積。

【典型例題】

一. 閱讀思考：

  例1. 圖1中三角形ABE,、AFD和四邊形AECF的面積相等,，求三角形AEF的面積（單位：厘米）

    分析與解答：因為三角形AEF的底和高很難求出，所以用三角形面積公式求三角形AEF的面積是很困難的,。

    但是,，三角形ABE、AFD和四邊形AECF面積相等,，也就是說它們?nèi)齻€把這個長方形的面積平均分成了三份,。因為長方形的面積是平方厘米，所以它們?nèi)齻€的面積都是平方厘米,。

    我們只要從四邊形AECF中減去三角形ECF的面積,，就可以求出三角形AEF的面積了。

    而三角形ECF的面積,，需要利用EC,、CF的長來求。要想求EC,、CF的長,，就要知道BE和DF的長。

    我們利用現(xiàn)有條件可以求出BE和DF的長度,。

    解：設(shè)BE長為厘米,，DF長厘米。

    所以厘米

    厘米

    那么,，三角形ECF的面積就是平方厘米

    三角形AEF的面積就是平方厘米

  例2. 如圖2所示,，四個一樣的長方形和一個小正方形，拼成一個面積為49平方米的大正方形，小正方形的面積是4平方米,，問長方形的短邊長是幾米,？

圖2

    分析與解答：因為大正方形和小正方形的面積分別是49和4平方米，所以我們可以很快想出大正方形和小正方形的邊長分別是7米和2米,。從圖中可以看出：大正方形的邊長是2個長方形短邊與一條小正方形邊長的和,。

    解：設(shè)長方形短邊長米。

    答：長方形的短邊長2.5米,。

  例3. 圖3中,，梯形ABCD的面積為24平方厘米，求三角形ABD的面積,。

圖3

    分析與解答：要想求三角形ABD的面積,，就要知道它的底和高分別是多少。三角形ABD的底就是梯形的上底AD長5厘米,，高就是梯形的高?，F(xiàn)在已知梯形的上底和下底以及面積，可以求出梯形的高,，也就是三角形ABD的高,。

    解：設(shè)梯形ABCD的高是x厘米。

    所以的面積是：（平方厘米）

    答：的面積是10平方厘米,。

二. 嘗試體驗：

  1. 圖中,，平行四邊形的面積是48平方厘米。

  2. 圖中ABCD是直角梯形,，三角形ABC,、ACE和AED的面積相等，BF與AC垂直,，AC為10厘米,，AF為2厘米，梯形面積為45平方厘米,，求三角形BCF的面積,。

  3. 如圖所示，有9張相同的小長方形卡片擺成一個大長方形,，已知每個小長方形的周長為18厘米,，短邊長4厘米，求大長方形的面積,。

  4. 一塊長方形鐵皮,，在長邊減去6厘米，短邊減去3厘米后,，得到的正方形面積比原長方形面積少了54平方厘米,，求原長方形鐵皮的面積,。

  5. 將圖中的三角形紙片沿虛線折疊，原三角形面積是這個新圖形面積的1.5倍,，折后三個陰影三角形的面積之和是1,，求重疊部分面積。

  6. 圖中,，DE和AC垂直,，AF和BC垂直，三角形ABC的面積為48平方厘米,，AE=11厘米,，AC=16厘米，求三角形DCE的面積,。

參考答案：

  1. 圖中,，平行四邊形的面積是48平方厘米。

    9平方厘米

  2. 圖中ABCD是直角梯形,，三角形ABC,、ACE和AED的面積相等，BF與AC垂直,，AC為10厘米，AF為2厘米,，梯形面積為45平方厘米,，求三角形BCF的面積。

    12平方厘米

  3. 如圖所示,，有9張相同的小長方形卡片擺成一個大長方形,，已知每個小長方形的周長為18厘米，短邊長4厘米,，求大長方形的面積,。

    180平方厘米

  4. 一塊長方形鐵皮，在長邊減去6厘米,，短邊減去3厘米后,，得到的正方形面積比原長方形面積少了54平方厘米，求原長方形鐵皮的面積,。

    70平方厘米

  5. 將圖中的三角形紙片沿虛線折疊,，原三角形面積是這個新圖形面積的1.5倍，折后三個陰影三角形的面積之和是1,，求重疊部分面積,。

    1

  6. 圖中，DE和AC垂直,，AF和BC垂直,，三角形ABC的面積為48平方厘米,，AE=11厘米，AC=16厘米,，求三角形DCE的面積,。

    10平方厘米

【模擬試題】（答題時間：20分鐘）

1、如下圖所示,，一個矩形被分成A,、B、C,、D四個矩形,，已知A的面積是，B的面積是,，C的面積是,，試問原矩形的面積是多少？

2,、在圖中,，圓面積與長方形面積正好相等，問圖中陰影部分的周長是多少,？

【試題答案】

1,、［解答］

解法一：按照上圖的方式在矩形A、B,、C的邊上標注字母,，于是原矩形的面積等于

因為矩形A的面積是

所以

所以原矩形的面積為

解法二：仔細觀察上圖的特征，它的四個矩形是大矩形被兩條直線分割后得到的,。矩形的面積等于一組鄰邊的乘積,。從橫的方向看，兩個相鄰矩形的倍比關(guān)系是一致的,，也就是說,，B是A的2倍，那么D也應(yīng)是C的2倍,，所以D的面積是,，這樣原矩形的面積應(yīng)是。

答：原矩形的面積是,。

［點津］

上面兩個解法都很巧妙,，解法一是運用字母表示邊長，充分利用原來大矩形與小矩形A的關(guān)系,，順利獲解,；解法二是根據(jù)矩形面積計算公式，抓住這一條規(guī)律：“圖形中兩相鄰矩形面積的倍比關(guān)系,，與另兩個相鄰面積的倍比關(guān)系是一致的”,，求出D的面積,。解法二是橫向觀察圖形找兩個相鄰矩形的倍比關(guān)系，我們從縱向觀察圖形找兩個相鄰矩形的倍比關(guān)系：C是A的3倍,，所以D也應(yīng)是B的3倍,，即D的面積是，得到相同結(jié)果,。

2,、［思路剖析］

（1）設(shè)圓的半徑為r，長方形的長為a,，從圖中可以看出,，陰影部分的周長為（圓周長）

因此現(xiàn)在的關(guān)鍵是求a。

（2）由于長方形面積＝長×寬,，圓的面積,。

而長方形的寬恰好是圓的半徑r，于是據(jù)已知條件有

所以,，即：a是圓周長的一半,。

由（1）、（2）兩步分析便可求出陰影部分的周長,。

［解答］

設(shè)圓半徑為r,，長方形的長為a，因為圓面積＝長方形面積

所以           解出

得（圓周長）

于是       陰影部分周長

答：圖中陰影部分的周長是,。