雙曲線

二. 本周教學(xué)重,、難點(diǎn)：

掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì),，能夠根據(jù)雙曲線性質(zhì)畫雙曲線簡圖,，了解雙曲線在實(shí)際問題中的初步應(yīng)用。

【典型例題】

[例1] 根據(jù)下列條件,，求雙曲線方程：

（1）與雙曲線有公共焦點(diǎn),，且過點(diǎn)；

（2）與雙曲線有共同漸近線,，且過點(diǎn)

解：（1）方法一：設(shè)雙曲線方程為

由題意易求

又雙曲線過點(diǎn)     ∴

又∵      ∴

故所求雙曲線方程為

方法二：設(shè)雙曲線方程為

將點(diǎn)代入得

∴ 雙曲線方程為

（2）方法一：設(shè)雙曲線方程為

由題意得

解之,，得

故雙曲線方程為

方法二：設(shè)所求雙曲線方程為，將點(diǎn)代入得

所以雙曲線方程為

即

[例2] 已知雙曲線的中心在原點(diǎn),，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,，離心率為，且過點(diǎn),。

（1）求雙曲線方程,；

（2）若點(diǎn)M（3，m）在雙曲線上,，求證：,；

（3）求的面積。

解析：（1）∵     ∴ 可設(shè)雙曲線方程為

∵ 雙曲線過點(diǎn)    ∴ ,，即

∴ 雙曲線方程為

（2）證法一：由（1）可知,，雙曲線中   ∴

∴ ，

∴ ,，

∵ 點(diǎn)M（3,，m）在雙曲線上    ∴ ，

故    ∴

∴

證法二：∵ ,，

∴

∵ M點(diǎn)在雙曲線上    ∴ ,，即

∴ ，即

（3）的底，的高

∴

[例3] 雙曲線C：的兩條準(zhǔn)線間距離為3,，右焦點(diǎn)到直線的距離為,，

（1）求雙曲線C的方程；

（2）雙曲線C中是否存在以為中點(diǎn)的弦,？

解：（1）根據(jù)題意有

解之,，得，,，

所以雙曲線C的方程為

（2）假設(shè)存在以為中點(diǎn)的弦AB，且設(shè)

則（*）

方法一：設(shè)AB所在直線方程為,，即①

將①代入雙曲線C：,，整理得

 ②

∴  ③

 ④

由（*）及④得，整理得

將代入③有

即當(dāng)時(shí),，方程②無解,，從而不存在以為中點(diǎn)的弦

方法二：將代入雙曲線C：

有

⑤－⑥，得

即

又由（*）知

即過AB的弦所在直線的斜率

從而AB所在的直線方程為,，即

代入雙曲線C的方程,，化簡得，此時(shí)

即時(shí),，所求直線與雙曲線實(shí)際上沒有交點(diǎn)

故不存在以為中點(diǎn)的弦

[例4] 在雙曲線的同一支上的不同三點(diǎn),，，與焦點(diǎn)F（0,，5）的距離成等差數(shù)列,。

（1）求；

（2）證明線段AC的垂直平分線經(jīng)過定點(diǎn),，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo),。

解析：（1）∵ 點(diǎn)A在雙曲線上支上，

由雙曲線第二定義,，

∴

同理,，，

由題意,，

得

∴

（2）證明：設(shè)AC的中點(diǎn)為,，AC的中垂線為，其斜率為,，則的方程為

由題意可得

<2>－<1>整理,，得

把<3><4><5>代入上式，得

∴

代入直線方程,，得

即

故直線過定點(diǎn)

[例5] 設(shè)雙曲線C：與直線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A,、B。

（1）求雙曲線C的離心率的取值范圍；

（2）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為P,，且,，求的值。

解：（1）由C與相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)

故知方程組

有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,，消去并整理得

   ①

所以

解之,，得且

雙曲線的離心率

因?yàn)?/SPAN>且，所以且

即離心率的取值范圍為

（2）設(shè)

因?yàn)?/SPAN>,，所以

由此得

由于都是方程①的根,，且

所以   

消去，得

由,，所以

[例6] 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2,，0），右頂點(diǎn)為,。

（1）求雙曲線C的方程,；

（2）若直線與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且（其中O為原點(diǎn)）,，求的取值范圍,。

解析：（1）設(shè)雙曲線方程為

由已知得，,，再由

得,，故雙曲線C的方程為

（2）將代入

得

由直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得

即且①

設(shè)，則,，

由得,，而

于是，即

解此不等式得②

由①②得

故的取值范圍為

[例7] 已知常數(shù),，向量,，，經(jīng)過定點(diǎn),，以為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn),，以為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中,。

（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程,；

（2）若，過E（0,，1）的直線交曲線C于M,、N兩點(diǎn)，求的取值范圍,。

解析：（1）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為,，則,，

又，

故,，

由題知向量與向量平行,，故

又向量與向量平行，故

兩方程聯(lián)立消去參數(shù)

得點(diǎn)的軌跡方程是

即

（2）∵ ,，故點(diǎn)P的軌跡方程為

此時(shí)點(diǎn)E（0,，1）為雙曲線的焦點(diǎn)。

① 若直線的斜率不存在,，其方程為,，與雙曲線交于

此時(shí)

② 若直線的斜率存在，設(shè)其方程為

代入化簡得

∵ 直線與雙曲線交于兩點(diǎn)

∴ 且,，解得

設(shè)兩交點(diǎn)為

則,，

此時(shí)

當(dāng)時(shí)，

故,；

當(dāng)或時(shí)，

故

綜上所述,，的取值范圍是

【模擬試題】

一. 選擇題

1. 過點(diǎn)且與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程是（    ）

A.                  B.

C.                  D.

2. 已知定點(diǎn)A,、B，且|AB|=4,，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|－|PB|=3,，則|PA|的最小值是（    ）

A.             B.             C.             D. 5

3. 設(shè)雙曲線以橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線過橢圓的焦點(diǎn),，則雙曲線的漸近線的斜率為（    ）

A.           B.          C.          D.

4. 設(shè)A為雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn),，F為該雙曲線的右焦點(diǎn)，連結(jié)AF交雙曲線于B,，過B作直線BC垂直于雙曲線的右準(zhǔn)線,，垂足為C，則直線AC必過定點(diǎn)（    ）

A.            B.             C. （4,，0）         D.

5. 把曲線C₁：按向量平移后得曲線,，曲線有一條準(zhǔn)線方程為，則的值為（    ）

A.           B.           C. 3        D.

6. 在中,，若,，則方程表示（    ）

A. 焦點(diǎn)在x軸上的橢圓                    B. 焦點(diǎn)在y軸上的橢圓

C. 焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線                D. 焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線

7. 已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)和，若是的等比中項(xiàng),，是與的等差中項(xiàng),，則橢圓的離心率是（    ）

A.          B.          C.             D.

8. 設(shè)分別為具有公共焦點(diǎn)與的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn),，且滿足,，則的值為（    ）

A. 1               B.             C. 2               D. 不確定

二. 解答題

9. 已知雙曲線M過點(diǎn),，且它的漸近線方程是,。

（1）求雙曲線M的方程,；

（2）設(shè)橢圓N的中心在原點(diǎn),，它的短軸是雙曲線M的實(shí)軸,，且N中斜率為的弦的中點(diǎn)軌跡恰好是M的一條漸近線在N內(nèi)的部分,，試求橢圓N的方程。

10. 已知雙曲線C的中心在原點(diǎn),，拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn),，且雙曲線C過點(diǎn)。

（1）求雙曲線C的方程,；

（2）設(shè)雙曲線C的實(shí)軸左頂點(diǎn)為A,，右焦點(diǎn)為F,，在第一象限內(nèi)任取雙曲線C上一點(diǎn)P,，試問是否存在常數(shù),，使得恒成立,？并證明你的結(jié)論,。

11. 雙曲線的中心是原點(diǎn)O，它的虛軸長為,，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)A,，且，過點(diǎn)F的直線與雙曲線交于P,、Q兩點(diǎn),。

（1）求雙曲線的方程及離心率；

（2）若,，求直線PQ的方程,。

【試題答案】

一.

1. A

解析：設(shè)與有公共漸近線的雙曲線方程為，把點(diǎn)代入可求得,。

2. C

解析：P點(diǎn)軌跡是以A（左）,、B（右）為焦點(diǎn)的雙曲線的右支（如圖）P與雙曲線右支頂點(diǎn)M重合時(shí)最小，最小值為,。

3. C

解析：橢圓的長軸兩端點(diǎn)和焦點(diǎn)分別為（5,，0），,，（4,，0），

設(shè)雙曲線的方程為,，則有,，，

∴ ,，

故其漸近線為

4. A

解析：（特殊值法）取,，則

∴ 直線AC與x軸相交于點(diǎn)，故選A

5. C

解析：無論曲線為橢圓還是雙曲線都可得到,，且由題意可知曲線中心由（0,，0）（1，2）后，曲線的一條準(zhǔn)線為,，可判定為的右準(zhǔn)線

故,，即，故

6. C

解析：

即

,，,，

表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，故選C,。

7. D

解析：由題意得

由（2）（3）可得,，代入（1）得橢圓的離心率，故選D,。

8. C

解析：設(shè)

設(shè)橢圓的長軸為,，雙曲線的實(shí)軸長為，

則

由此可得

即

將,，代入,，選C

二.

9. 解析：（1）所求雙曲線的方程為

（2）由（1）知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上

∴ 橢圓的焦點(diǎn)在y軸上

由于雙曲線M的實(shí)軸長為

∴ 設(shè)橢圓方程為（其中

又設(shè)N中斜率為的弦的兩端點(diǎn)為，其中點(diǎn)為

則

由（1）（2）得     ∴ N中斜率為的弦的中點(diǎn)的軌跡是直線在N內(nèi)的部分,。根據(jù)題意得    ∴

∴ 橢圓N的方程為

10. 解析：（1）由題意設(shè)雙曲線方程為,，把代入得①

又拋物線的焦點(diǎn)是（2，0）

故②

由①②得

所以所求雙曲線方程為

（2）假設(shè)存在適合題意的常數(shù),，此時(shí)

先來考慮特殊情形下的值,；

當(dāng)軸時(shí)，將代入雙曲線方程

解得

因?yàn)?/SPAN>,，所以是等腰直角三角形,，，

此時(shí)

以下證明當(dāng)PF與x軸不垂直時(shí),，恒成立

設(shè),，由于點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，所以直線PA的斜率存在,，為

因?yàn)?/SPAN>PF與x軸不垂直,，所以直線PF的斜率也存在，為

所以

因?yàn)?/SPAN>

所以

將其代入上式并化簡得

因?yàn)?/SPAN>,，所以

即

因?yàn)?/SPAN>,，

所以

所以恒成立

綜合以上兩種思路，得存在常數(shù),，使得雙曲線C在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)P，使恒成立,。

11. 解：（1）由題意,，設(shè)雙曲線的方程為

由已知  解得

所以雙曲線的方程為

離心率

（2）由（1）知A（1，0）,，F（3,，0）

當(dāng)直線PQ與x軸垂直時(shí),，PQ方程為

此時(shí)，,，應(yīng)舍去

當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時(shí),，設(shè)直線PQ的方程為

由方程組

得

由于過點(diǎn)F的直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn),，則,，即

由于，即

∴ 且（*）

設(shè),，則

由直線PQ的方程得,，

于是<3>

∵      ∴

即<4>

由<1><2><3><4>得

整理得    ∴ [滿足（*）]

∴ 直線PQ的方程為或