［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

  1. 掌握二次函數(shù)的概念,，形如的函數(shù)，叫做二次函數(shù),，定義域,。

    特別地，時(shí),，是二次函數(shù)特例,。

  2. 能由實(shí)際問(wèn)題確定函數(shù)解析式和自變量取值范圍，明確它有三個(gè)待定系數(shù)a,，b,，c，,，需三個(gè)相等關(guān)系,，才可解。

  3. 二次函數(shù)解析式有三種：

    （1）  一般式

    （2）  頂點(diǎn)式；  頂點(diǎn)

    （3）  雙根式,；是圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo),。

  4. 二次函數(shù)圖象：拋物線(xiàn)

    分布象限，可能在兩個(gè)象限（1）,，三個(gè)象限（2）,，四個(gè)象限（3）。

  5. 拋物線(xiàn)與拋物線(xiàn)形狀,、大小相同,，只有位置不同。

  6. 描點(diǎn)法畫(huà)拋物線(xiàn)了解開(kāi)口,、頂點(diǎn),、對(duì)稱(chēng)軸、最值,。

    （1）a決定開(kāi)口：

    開(kāi)口向上,，開(kāi)口向下。

    表示開(kāi)口寬窄,，越大開(kāi)口越窄,。

    （2）頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí),，y有最值為,。

    （3）對(duì)稱(chēng)軸

    （4）與y軸交點(diǎn)（0，c）,，有且僅有一個(gè)

    （5）與x軸交點(diǎn)A（）,，B（）,，令則,。

    ①△＞0，有,，兩交點(diǎn)A,、B。

    ②△＝0,，有,，一個(gè)交點(diǎn)。

    ③△＜0,，沒(méi)有實(shí)數(shù)與x軸無(wú)交點(diǎn),。

  7. 配方可得

    向右（）或向左（）平移個(gè)單位，得到,，再向上向下平移個(gè)單位,，便得，即,。

  8. 五點(diǎn)法作拋物線(xiàn)

    （1）找頂點(diǎn),，畫(huà)對(duì)稱(chēng)軸,。

    （2）找圖象上關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的四個(gè)點(diǎn)（如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等）。

    （3）把上述五個(gè)點(diǎn)連成光滑曲線(xiàn),。

  9. 掌握二次函數(shù)與一元二次方程,、一元二次不等式的關(guān)系。

二. 重點(diǎn),、難點(diǎn)：

    重點(diǎn)掌握二次函數(shù)定義,、解析式、圖象及其性質(zhì),。

    難點(diǎn)是配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo),，只要堅(jiān)持配完后看看與原二次函數(shù)是否相等即可。

【典型例題】

  例1. 已知拋物線(xiàn),，五點(diǎn)法作圖,。

    解：

    ∴此拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為

    ∴對(duì)稱(chēng)軸為

    令，即解方程

    ∴拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A（1,，0）,，B（5，0）

    令則,，得拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)C（0,，）

    又C（0，）關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D

    將C,、A,、M、B,、D五點(diǎn)連成光滑曲線(xiàn),，此即為拋物線(xiàn)的草圖。

  例2. 已知拋物線(xiàn)如圖,，試確定：

    （1）及的符號(hào),；

    （2）與的符號(hào)。

    解：（1）由圖象知拋物線(xiàn)開(kāi)口向下,，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè),，過(guò)A（1，0）與y軸交于B（0,，c）,，在x軸上方

    ∵拋物線(xiàn)與x軸有兩交點(diǎn)

    （2）∵拋物線(xiàn)過(guò)A（1，0）

  例3. 求二次函數(shù)解析式：

    （1）拋物線(xiàn)過(guò)（0,，2）,，（1，1），（3,，5）,；

    （2）頂點(diǎn)M（-1，2）,，且過(guò)N（2,，1）；

    （3）與x軸交于A（-1,，0）,，B（2，0）,，并經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1,，2）。

    解：（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為

    由題意

    ∴所求二次函數(shù)為

    （2）設(shè)二次函數(shù)解析式為

    ∵頂點(diǎn)M（-1,，2）

    ∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)N（2,，1）

    ∴所求解析式

    即

    （3）設(shè)二次函數(shù)解析式為

    ∵拋物線(xiàn)與x軸交于A（-1，0）,，B（2,，0）

    ∵拋物線(xiàn)過(guò)M（1，2）

    ∴所求解析式

    即

  例4. 已知二次函數(shù)在時(shí),，y取最大值,，且拋物線(xiàn)與直線(xiàn)相交，試寫(xiě)出二次函數(shù)的解析式,，并求出拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo),。

    解：∵二次函數(shù)有最大值

    即

    ∴拋物線(xiàn)為

    由題意

    ∴拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)是與

  例5. 已知函數(shù)，它的頂點(diǎn)為（-3,，-2）,，與交于點(diǎn)（1，6）,，求的解析式,。

    解：二次函數(shù)的解析式可化為：

    ∵已知頂點(diǎn)為,，可得：

    又點(diǎn)（1，6）在拋物線(xiàn)上，得：

    由<1>,、<2>,、<3>可解得：

    又點(diǎn)（1，6）在直線(xiàn)上

  例6. 拋物線(xiàn)過(guò)（-1,，-1）點(diǎn),，它的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，且在x軸上截取長(zhǎng)度為的線(xiàn)段，求解析式,。

    解：∵對(duì)稱(chēng)軸為,，即

    ∴可設(shè)二次函數(shù)解析式為

    ∵在x軸上截取長(zhǎng)度為

    ∴拋物線(xiàn)過(guò)與兩點(diǎn)

    又∵（-1，-1）在拋物線(xiàn)上

    由<1>,、<2>解得：

    ∴解析式為

    即

【模擬試題】（答題時(shí)間：35分鐘）

一. 選擇題,。

  1. 用配方法將化成的形式（    ）

    A.               B.

    C.                      D.

  2. 對(duì)于函數(shù)，下面說(shuō)法正確的是（    ）

    A. 在定義域內(nèi),，y隨x增大而增大

    B. 在定義域內(nèi),，y隨x增大而減小

    C. 在內(nèi)，y隨x增大而增大

    D. 在內(nèi),，y隨x增大而增大

  3. 已知,，那么的圖象（    ）

  4. 已知點(diǎn)（-1，3）（3,，3）在拋物線(xiàn)上,，則拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是（   ）

    A.           B.               C.               D.

  5. 一次函數(shù)和二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象（    ）

  6. 函數(shù)的最大值為（    ）

    A.             B.           C.             D. 不存在

二. 填空題。

  7. 是二次函數(shù),，則____________,。

  8. 拋物線(xiàn)的開(kāi)口向____________，對(duì)稱(chēng)軸是____________,，頂點(diǎn)坐標(biāo)是____________,。

  9. 拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是（2，3）,，且過(guò)點(diǎn)（3,，1），則___________,，____________,，____________。

  10. 函數(shù)圖象沿y軸向下平移2個(gè)單位,，再沿x軸向右平移3個(gè)單位,，得到函數(shù)____________的圖象。

三. 解答題,。

  12. 拋物線(xiàn),，m為非負(fù)整數(shù)，它的圖象與x軸交于A和B,，A在原點(diǎn)左邊,，B在原點(diǎn)右邊。

    （1）求這個(gè)拋物線(xiàn)解析式,。

    （2）一次函數(shù)的圖象過(guò)A點(diǎn)與這個(gè)拋物線(xiàn)交于C,，且,，求一次函數(shù)解析式。

【試題答案】

一. 選擇題,。

  1. A            2. C        3. C        4. D        5. C        6. C

二. 填空題,。

  7. 1

  8. 下；,；

  9.

  10. 大,，1

  11.

三. 解答題。

  12. （1）

    又∵m為非負(fù)整數(shù)

    ∴拋物線(xiàn)為

    （2）又A（-1,，0）,，B（3，0）

    設(shè)C點(diǎn)縱坐標(biāo)為a

    當(dāng)時(shí),，方程無(wú)解

    當(dāng)時(shí),，方程

【勵(lì)志故事】

神奇的皮鞋

    多明尼奎·博登納夫，是法國(guó)一位年輕的企業(yè)家,、藝術(shù)家,。他所經(jīng)營(yíng)的公司歷來(lái)就是發(fā)展美術(shù)業(yè)，但始終都是沒(méi)有看到興旺的一天,。

    一天,，他在徒步回家的路上，突然,，感到腳下有什么絆了一下,，低頭一看，原來(lái)是一只破舊皮鞋,，他剛想抬起腳將它踢開(kāi),，卻又發(fā)現(xiàn)這只鞋有幾分像一張皺紋滿(mǎn)布的人臉。一個(gè)藝術(shù)的靈感剎那間在他腦海里閃現(xiàn),，他如獲至寶,，于是趕忙將破舊皮鞋拾起，迫不及待地跑回家,，將其改頭換面,，變成了一件有鼻有眼有表情的人像藝術(shù)品。

    以后,，博登納夫又陸續(xù)撿回一些殘舊破皮鞋,，經(jīng)過(guò)他那豐富的想象力和神奇的藝術(shù)之手再加工，一雙雙被遺忘的“廢物”先后變成奇妙諧趣的皮鞋臉譜藝術(shù)品,。后來(lái),，博登納夫在巴黎開(kāi)設(shè)了皮鞋人像藝術(shù)館，引起了轟動(dòng),，生意異常興隆,。

    看來(lái)，在現(xiàn)實(shí)生活中,，在許多人不屑一顧的小小事情里,，往往都隱藏著成功的契機(jī)。當(dāng)然,，要獲得成功,，得靠用心發(fā)掘。博登納夫的這一成功,，無(wú)疑就在于他比別人多了一個(gè)“藝術(shù)”心眼,。