關(guān)于《算術(shù)基本定理》及其相關(guān)問題的討論
             盧照田（北京733信箱,，北京，100018）

一,、關(guān)于《算術(shù)基本定理》
    《算術(shù)基本定理》是初等數(shù)論中整除理論的中心內(nèi)容之一[1],，它的文字及數(shù)式表達(dá)形式為：每一個(gè)大于1的整數(shù)一定可以唯一地（不計(jì)次序的意義下）表為素?cái)?shù)之積。
         a=P1P2……Ps,，
   其中,，a＞1，Pj（1≤j ≤s）為素?cái)?shù),。

  現(xiàn)在,，根據(jù)定理的數(shù)式表述，我們將最簡(jiǎn)單的幾個(gè)整數(shù)寫出如下：2=2,，3=3,，4=2×2，5=5,，6=2×3,，7=7,，8=2×2×2，10=2×5,。仔細(xì)地觀察不難發(fā)現(xiàn),，4，6,，8,，9，10,，這幾個(gè)整數(shù),，他們都是素?cái)?shù)之積，其數(shù)式表達(dá)完全符合定理的文字表達(dá),。而對(duì)于作為素?cái)?shù)的2,，3，5,，7這幾個(gè)整數(shù),，好像就有了點(diǎn)兒?jiǎn)栴}。因?yàn)?，“積”應(yīng)當(dāng)是數(shù),、數(shù)相乘之結(jié)果，所以,，單一的一個(gè)數(shù)似乎不能稱為積,。而要想使它們真正符合積的定義，其數(shù)式表達(dá)的形式似應(yīng)變?yōu)椋?=1×2,，3=1×3,，5=1×5，7=1×7,。
     然而,，這又立即引起了矛盾。因?yàn)閿?shù)學(xué)家并不把整數(shù)1視為素?cái)?shù),，所以這種數(shù)式表達(dá)就與語言表達(dá)的“素?cái)?shù)之積”相違背,。于是，這就很自然地引出了“自然數(shù)1到底可不可以被視為素?cái)?shù)”的疑問,。
二,、自然數(shù)1能否被看作是素?cái)?shù)
     按照人們對(duì)于素?cái)?shù)的基本設(shè)定：除1與自身之外，沒有其他因子的大于1的整數(shù)[2],。1能被自身整除,，也能被1整除，且再也沒有其他的因子,，為什么不能把1視為素?cái)?shù),？數(shù)學(xué)家唯一的理由是：若把1看作是素?cái)?shù),，則破壞了《算術(shù)基本定理》的唯一性[3]。例如整數(shù)9,，數(shù)學(xué)家認(rèn)為它被表為9=3×3的形式是唯一的,。而如果一旦把1也認(rèn)作是素?cái)?shù)的話，就會(huì)出現(xiàn)諸如9=3×3×1,、9=3×3×1×1,、9=3×3×1×1×1、……,，9=3×3×1n（n≥1的自然數(shù)）之多重結(jié)果,，于是，其表達(dá)式就不是唯一的了,。
     其實(shí),，就是不把1看作是素?cái)?shù)，一些整數(shù)的素?cái)?shù)乘積表達(dá)式也不是唯一的,，例如整數(shù)30,，它可被寫成30=2×3×5、30=3×2×5,、30=5×2×3,、30=5×3×2，素因子排列次序的不同也破壞了表達(dá)式的唯一性,。而現(xiàn)在之所以說它是唯一的，是因?yàn)槿藗兘o了一個(gè)“不計(jì)次序的意義下”的寬松設(shè)定,。類似地,，在把1視為素?cái)?shù)之后，為了仍然保證《算術(shù)基本定理》之唯一性,，我們不妨再加一個(gè)限制條件,，即“素?cái)?shù)1在表整數(shù)為素?cái)?shù)乘積的表達(dá)式中只能出現(xiàn)一次”。又因?yàn)?，整?shù)1也可表為素?cái)?shù)之積：1=1×1,，所以，《算術(shù)基本定理》的文字表達(dá)及數(shù)式表達(dá)就變成了如下形式：每一個(gè)≥1的整數(shù)都可唯一地（不計(jì)次序的意義下,，且素?cái)?shù)1在乘積表達(dá)式中只能出現(xiàn)一次）表為素?cái)?shù)之積,。
         a=P1P2……Ps，
   其中,，a≥1,，Pj（2≤j ≤s）為素?cái)?shù)。

例如,，1=1×1,、2=1×2,、3=1×3、4=1×2×2,、5=1×5,，6=1×2×3，等等,。
     綜上所述,，原來不把自然數(shù)1視為素?cái)?shù)以及《算術(shù)基本定理》的唯一性條件，都是人們?yōu)榱四撤N特別需要而實(shí)施的自我設(shè)定,，并不是數(shù)學(xué)自身發(fā)展所產(chǎn)生的必然結(jié)果,。數(shù)學(xué)也應(yīng)與時(shí)俱進(jìn)。新情況的出現(xiàn),，以及為了更加合理,、更具廣泛的適應(yīng)性，現(xiàn)在重新認(rèn)定整數(shù)1為素?cái)?shù),，重新設(shè)定《算術(shù)基本定理》的唯一性條件,，也是必要且可行的。
三,、素?cái)?shù)1引起的某些數(shù)學(xué)概念的變化
     素?cái)?shù)1的被確認(rèn),，必然會(huì)引起某些數(shù)學(xué)概念的變化，而數(shù)學(xué)概念的變化又可導(dǎo)致數(shù)論中新的數(shù)學(xué)理念的產(chǎn)生,。新的數(shù)學(xué)理念是發(fā)展新的數(shù)論工具的基礎(chǔ),，而且，新的數(shù)論工具一旦發(fā)展并完善起來,，又必然推動(dòng)著數(shù)論向更深,、更廣的方向發(fā)展?；蛟S實(shí)踐將會(huì)證明,，素?cái)?shù)1的被確認(rèn)，將會(huì)引起連鎖反應(yīng),，其對(duì)數(shù)論發(fā)展的貢獻(xiàn)亦將被載入史冊(cè),。
      1．《算術(shù)基本定理》文字表述和數(shù)式表達(dá)的變化。上節(jié)已明確了該定理的文字表述和數(shù)式表達(dá)的變化,，其原因是在認(rèn)定整數(shù)1為素?cái)?shù)以后,，它也能被表為素?cái)?shù)之積：1=1×1，故整數(shù)最少可表為兩個(gè)素?cái)?shù)之積,。
      2．殆素?cái)?shù)之素因子個(gè)數(shù)概念的變化,。殆素?cái)?shù)者，“素因子（相同的或相異的）個(gè)數(shù)不超過某一固定常數(shù)的整數(shù)”[2]之謂也,。原來認(rèn)為,，素?cái)?shù)是素因子個(gè)數(shù)不超過1的殆素?cái)?shù)?，F(xiàn)在既已認(rèn)定整數(shù)1是素?cái)?shù)，又據(jù)算術(shù)基本定理的新概念,，就應(yīng)當(dāng)認(rèn)為素?cái)?shù)是素因子個(gè)數(shù)不超過2的殆素?cái)?shù),。相應(yīng)地，作為殆素?cái)?shù)的復(fù)合數(shù),，原來認(rèn)為其素因子個(gè)數(shù)最少為2,，現(xiàn)在應(yīng)認(rèn)為最少為3。
      3．哥德巴赫猜想命題概念的變化,。歌德巴赫猜想命題（A）的算術(shù)語言表達(dá)為：（A）每一個(gè)大于2的偶數(shù)都可表為兩個(gè)素?cái)?shù)之和?，F(xiàn)在，因?yàn)橛辛怂財(cái)?shù)1,，且偶數(shù)2可表為2=1+1,，故猜想（A）的算術(shù)語言表達(dá)應(yīng)為：自然數(shù)中≥2的所有偶數(shù)都可表為兩個(gè)素?cái)?shù)之和。
     基于對(duì)古老埃拉托色尼篩法觀念的修正和殆素?cái)?shù)的引入,，數(shù)學(xué)家又從命題（A）中引申出兩個(gè)新的命題[2],，它們的分析語言表達(dá)是：（F）每一個(gè)充分大的偶數(shù)都是素因子個(gè)數(shù)分別不超過a與b的兩個(gè)殆素?cái)?shù)之和，記為（a,，b）,；（G）每一個(gè)充分大的偶數(shù)都可表為一個(gè)素?cái)?shù)與一個(gè)素因子個(gè)數(shù)不超過C的殆素?cái)?shù)之和，記為（1,，c）,。將以上兩個(gè)命題的分析語言表達(dá)“譯為”算術(shù)語言表達(dá)[4]，就是：（F）＇自然數(shù)中每一個(gè)≥8的偶數(shù)都可表為兩個(gè)復(fù)合數(shù)之和,；（G）＇自然數(shù)中每一個(gè)≥6的偶數(shù)都可表為一個(gè)素?cái)?shù)與一個(gè)復(fù)合數(shù)之和,。全部的數(shù)素、全部的復(fù)合數(shù)構(gòu)成了全部的自然數(shù)數(shù),。于是，我們不妨將命題（A）,、（F）＇,、（G）＇用算術(shù)語言綜合表達(dá)于一個(gè)新的命題（H）之內(nèi)，這個(gè)新命題可稱為“歌德巴赫問題”,，即：（H）每一個(gè)≥8的偶數(shù)都可同為三種形式的兩自然數(shù)之和,。“譯為”分析語言的表達(dá),，即為：每一個(gè)充分大的偶數(shù)都可同為三種形式的,、素因子個(gè)數(shù)分別不超過h和s的兩個(gè)殆素?cái)?shù)之和，記為（h,，h,；h,，s；s,，s）,。其中，h意即身為合數(shù)之殆素?cái)?shù),，s意即身為素?cái)?shù)之殆素?cái)?shù),。
四、素?cái)?shù)1的應(yīng)用前景
     天生我才必有用,。素?cái)?shù)1的引入,，必然有其不可替代的作用。
     1．使《算術(shù)基本定理》的語言表述與數(shù)式表達(dá)相一致,。如前所述,，自從有了素?cái)?shù)1，才使每一個(gè)素?cái)?shù)都能表達(dá)成為真正意義上的“素?cái)?shù)乘積”,。例如,，素?cái)?shù)3可表為3=1×3，素?cái)?shù)5可表為5=1×5,，等等,。
     2．使“陳氏定理”更好理解、更加完美,。1966年,，陳景潤(rùn)大師將命題（G）證到（1，2）,，達(dá)到該命題的光輝頂峰,，被世界尊為“陳氏定理”。當(dāng)你確認(rèn)素?cái)?shù)1的合法性以后,，其定理的算術(shù)語言表達(dá)就應(yīng)變?yōu)槿缦滦问剑好恳粋€(gè)≥2的偶數(shù)都可表為一個(gè)素?cái)?shù)與兩個(gè)素?cái)?shù)乘積之和,。例如，2=1+1×1,、4=2+1×2,，6=2+2×2（或1+1×5）、8=2+2×3（或1+1×7,、3+1×5）,、10=1+3×3（或3+1×7、5+1×5,、7+1×3）,、……。其中，如果沒有素?cái)?shù)1,，偶數(shù)2,、4、和10都不符合“陳氏定理”的算術(shù)語言表達(dá),。
     3．可為哥德巴赫猜想命題（A）的最終得證開辟一條新路,。理論的分析[4]認(rèn)為，在沒有引入素?cái)?shù)1之前,，命題（F）之（a,，b）、命題（G）之（1,，c）和命題（A）之（1,，1）是各自獨(dú)立、互不隸屬的三個(gè)數(shù)學(xué)范籌,，正如由（a,，b）不能導(dǎo)出（1，c）那樣,，由（1,，c）也不能推出（1，1）,。即是說,，由（2，2）不能進(jìn)一步得到（1,，2）,，由（1，2）也不能進(jìn)一步得到（1,，1）,。這也是原來數(shù)學(xué)家企圖通過證明命題（F）或命題（G）以最終證明命題（A）的愿望最終不能實(shí)現(xiàn)的根本原因。
     然而,，素?cái)?shù)1的引入和殆素?cái)?shù)素因子個(gè)數(shù)概念的變化,，卻可將所涉哥德巴赫問題的三個(gè)數(shù)學(xué)命題（A）、（F）＇和（G）＇,，用分析的語言綜合于新命題（H）之內(nèi),，從而使它們實(shí)現(xiàn)了完美而相互關(guān)聯(lián)的統(tǒng)一。如果這是被允許的,，那將是數(shù)論發(fā)展中的重大革命性事件。它使人們的思想突破了自設(shè)的種種禁錮,，由此樹立了哥德巴赫問題這一新的理念,，并為用篩法最終證明猜想（A）鋪平了道路。因?yàn)?，用篩法將命題（H）證到（3,，3）時(shí),，就相當(dāng)于將原命題（F）證到（2，2）,；證到（2,，3）時(shí)，就相當(dāng)于將原命題（G）證到（1,，2）,；若證到（2，2）時(shí),，就相當(dāng)于將原命題（A）證到（1,，1），即實(shí)現(xiàn)了哥德巴赫猜想命題（A）的最終證明,。其根本原因在于,，在證明命題（H）時(shí)，可由結(jié)果（3,，3）進(jìn)一步導(dǎo)出（2,，3），由結(jié)果（2,，3）亦可進(jìn)一步導(dǎo)出（2.,，2）。既如此,，便實(shí)現(xiàn)了在“陳景潤(rùn)大師的證明結(jié)果（1+2）與哥氏猜想命題（A）的（1+1）之間架起一座自然暢通的金橋,，那將是站在巨人肩頭摘取皇冠明珠的一條捷徑?！盵5]
      4．積極評(píng)價(jià)現(xiàn)有證明成果,。用素?cái)?shù)1引起的殆素?cái)?shù)素因子個(gè)數(shù)變化的新概念來對(duì)現(xiàn)有證明結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)，其結(jié)論當(dāng)十分耐人尋味,。（1）關(guān)于王元院士所征得的（2+3）,。根據(jù)殆素?cái)?shù)的素因子個(gè)數(shù)最少為2的新概念，王院士所證得的（2+3）,，其文字表達(dá)即為：每一個(gè)充分大的偶數(shù)都可表為一個(gè)素?cái)?shù)與一個(gè)素因子個(gè)數(shù)比素?cái)?shù)多1的殆素?cái)?shù)之和,。這實(shí)際上就是“陳氏定理”。（2）關(guān)于陳景潤(rùn)大師所證得的（1+2）,。新概念下的文字表達(dá)即為：每一個(gè)充分大的偶數(shù)都是一個(gè)素?cái)?shù)與一個(gè)素因子個(gè)數(shù)不大于2的殆素?cái)?shù)之和,。素因子個(gè)數(shù)不大于2的殆素?cái)?shù)就是一個(gè)素?cái)?shù)，所以,，陳景潤(rùn)大師實(shí)際上已經(jīng)最終證明了哥德巴赫猜想命題（A）,。
五、結(jié)束語
     從本文的分析中可知，素?cái)?shù)1的被認(rèn)定,，決不是人為地戲說或惡搞,，而是數(shù)論發(fā)展的真實(shí)召喚。沒有素?cái)?shù)1,，一個(gè)完美統(tǒng)一的“哥德巴赫問題”——表偶數(shù)同為三種形式的兩整
數(shù)之和的規(guī)律——就顯得支離破碎,。或許,，數(shù)論中就根本不存在素因子個(gè)數(shù)為1的殆素?cái)?shù),，數(shù)學(xué)家卻要試圖用篩法通過證明命題（F）以便得到“每一個(gè)充分大的偶數(shù)都是素因子個(gè)數(shù)分別不超過1的兩個(gè)殆素?cái)?shù)之和（1，1）”,、或者通過證明命題（G）以便得到“每一個(gè)充分大的偶數(shù)都可表為一個(gè)素?cái)?shù)與一個(gè)素因子個(gè)數(shù)不超過1的殆素?cái)?shù)之和（1,，1）”，其無功而返的結(jié)果就在情理之中了,。本文經(jīng)綜合歸納提出的命題（H）,，它所揭示的數(shù)學(xué)本質(zhì)是：在整個(gè)整數(shù)數(shù)軸上，每一個(gè)正,、負(fù)偶數(shù)皆可同時(shí)表為三種形態(tài)的兩整數(shù)之和,，即或?yàn)閮珊蠑?shù)之和，或?yàn)閮伤財(cái)?shù)之和,，或?yàn)橐凰財(cái)?shù)與一合數(shù)之和,。當(dāng)然，這要在引入負(fù)整數(shù)之后才能迎刃而解,。然而,，素?cái)?shù)1的被認(rèn)定卻是最為關(guān)鍵的，沒有素?cái)?shù)1就沒有命題（H）,。因此可以毫不夸張地說：素?cái)?shù)1是一個(gè)最為奇妙,、最為偉大的素?cái)?shù)！

                       參考文獻(xiàn)

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[3]張順燕,，編著．?dāng)?shù)學(xué)的源與流[M]，北京,，高等教育出版社出版，2000,。
[4]盧照田．“關(guān)于哥德巴赫猜想證明的反思（二）”,，博客，http://blog.sina.com.cn/u/1237145547,，2006,。
[5]盧照田．“關(guān)于哥德巴赫猜想證明的反思（一）”（待發(fā)表）。