劃時代的里程碑——哥德爾的不完備性定理

　　在科學界有一些問題，當你由已知條件不可能證明其結(jié)論正確或是不正確,，就被稱為“悖論”問題,。早在公元前的四百多年，古希臘埃利亞學派巴門尼德的門徒芝諾,，就曾經(jīng)提出過“飛著的箭是靜止的”等四個悖論來反對赫拉克利特的流動說,，以維護自己學派的靜止說，這就是科學史上著名的“芝諾悖論”,，這個悖論在當時科學界引起了兩派激烈的爭論,。那么“悖論”究竟給數(shù)學界帶來什么樣的影響呢？

數(shù)學大廈的根基

　　早在古希臘時代,，由于人們對空間和時間及“無限”的認識缺乏嚴密的邏輯基礎,，引發(fā)了芝諾悖論,。1871年德國數(shù)學家康托創(chuàng)立了“集合論”，人們以為“集合論”的建立,，數(shù)學已經(jīng)達到了“絕對的嚴格”了,。可康托卻早已憂心忡忡,，擔心集合論可能遇到矛盾,。1899年他曾兩次寫信給戴德金，提出“集合的集合是否構(gòu)成一個集合,？若這是一個集合,，就會出現(xiàn)比一切基數(shù)都大的基數(shù)而陷入自相矛盾?！笨蛇@一問題在當時并未引起大家的注意,。

　　當時，德國大數(shù)學家希爾伯特認為,，數(shù)學的每一個分支,，都可以從一些簡單的事實出發(fā)，用嚴格的邏輯推理的辦法,，推演出結(jié)論來,。他的這個思想來源于他對幾何的研究。因為他對幾何知識進行了系統(tǒng)的歸納整理,，成功的把幾何建立在一些簡單的事實基礎之上,，他把這些事實稱之為公理。后來,，他又對其它的數(shù)學分支算術,、代數(shù)也使用了這種方法，也獲得了一些成功,，于是希爾伯特學派的數(shù)學家們以為數(shù)學的任務就是邏輯推理,。

塞爾維亞理發(fā)師的難堪

　　1900年在法國巴黎召開的國際數(shù)學家會議上，大數(shù)學家龐加萊宣布：“數(shù)學的嚴格性,，看來直到今天才可以說是實現(xiàn)了,。”當時的數(shù)學界真是興高采烈,，喜氣洋洋,。就在人們慶賀數(shù)學王國達到“絕對嚴格”時，1902年英國著名哲學家,、數(shù)學家羅素提出了一個令人難以解釋的“羅素悖論”：設z為一切不含自身為元素所組成的新集合,，那么z是包含在自身為元素的集合中呢？還是不包含于自身為元素的集合中呢？無論包含與否都會導致矛盾,。

　　為使這一表述通俗化,，羅素進而將它改編為“理發(fā)師悖論”。

　　在塞爾維亞有一位理發(fā)師,，他宣稱：他只給所有不給自己刮胡子的人刮胡子,，不給那些給自己刮胡子的人刮胡子?？墒钱斔约阂魏訒r，卻陷入了尷尬境地,。若他不給自己刮,，根據(jù)他前面的條件，應該給自己刮,；若他給自己刮胡子,，又由于他后面的聲明，他不該給自己刮胡子,?？傊瑹o論刮與不刮,，都違背了自己的諾言,，這位可憐的理發(fā)師陷入為難之中。

　　羅素所提出的集合論悖論,，向世人宣布了一條驚人的信息,，數(shù)學大廈的基礎——集合論是自相矛盾的，沒有相容性,。這一問題的出現(xiàn)使得剛剛平靜的數(shù)學界,，又掀起了軒然大波，也使眾多數(shù)學家們大驚失色,，不知如何是好,。千百年來辛辛苦苦建立起來的數(shù)學大廈的根基出了問題，這個數(shù)學大廈豈不危急,！

哥德爾的功績

　　為了解決集合論中的這個悖論,，眾多著名數(shù)學家們在驚惶之余又紛紛投入了工作，為修補數(shù)學大廈忙碌起來,。有的從公理體系方面入手論證,；有的從類型方面入手來討論；都想對集合論進行一些改造,，以彌補大廈根基的這條縫隙,，但成效甚微。

　　直到1931年奧地利的青年數(shù)學家哥德爾間接地回答了這一問題。

　　哥德爾是20世紀的一位偉大的數(shù)理邏輯學家,，他于1906年出生于奧地利,，1930年在維也納大學獲博士學位。1931年哥德爾對希爾伯特的形式化目標表示了懷疑,，他想說明這個目標是不可能達到的,。他認為，數(shù)學的任務不能只是邏輯推理,，還必須對外界進行觀察,，不斷用新的發(fā)現(xiàn)來豐富數(shù)學，而這些新的發(fā)現(xiàn),，是不能使用原來的數(shù)學知識去證明的,。這樣他就想到了要去證明他的上述想法。

　　證明卻是極其困難的,。因為它要洞察全部數(shù)學推論能力的界限,，就在哥德爾一籌莫展的時候，有一個有名的問題給了他很大的啟發(fā),。這個問題是：下面這句話對不對,？

　　“這句話是假話”。

　　如果你說這句話對,，那你就得承認這句話是假話,，因為這是這句話本來的意思；如果你說這句話不對,，那你就得認為它不是假話,，這一來，那你就得認為它不是假話,，可這樣,，那你就承認這句話是對的了。不管怎么回答,，都會導致矛盾,。

　　哥德爾模仿這個問題也寫出了一句話：“這句話是不能證明的?！彼?，如果你能從某些前提出發(fā)證明這句話是對的，那你就得承認這句話是不能證明的,，那你就陷入矛盾,；如果你能證明這句話不對，那你就承認這句話是可以證明的,，你又怎能證明它是錯誤的呢,？

　　可見，從任何前提出發(fā)，你既不可能證明這句話對,，也不可能證明它不對,。

　　這樣，哥德爾就得出一個結(jié)論：任何一門數(shù)學中都有這樣的東西,，從這門數(shù)學中的已知事實出發(fā),，你不可能證明它對，也不可能證明它不對,。這也就是說,，包含通常邏輯和數(shù)論的一個系統(tǒng)的無矛盾性是不可能證明的。這看起來似乎簡單,，但卻具有重大意義的發(fā)現(xiàn),，被數(shù)學界稱為“不完備性定理”，也叫“哥德爾定理”,。

劃時代的貢獻

　　哥德爾的發(fā)現(xiàn)轟動了世界，他的這一“不完備性定理”是數(shù)理邏輯發(fā)展史上的一個重大研究成果,，是數(shù)學與邏輯發(fā)展史的又一個里程碑,。因為羅素集合論悖論的提出，從理論上動搖了千百年來數(shù)不清的數(shù)學家們辛勤建立起來的數(shù)學大廈根基,，數(shù)學基礎理論——集合論有了問題,，并導致了第三次數(shù)學危機。因此,，必須對數(shù)學的基礎進行嚴密的考察,，而哥德爾的理論恰恰完成和解決了這個問題，把眾多的數(shù)學家們從迷惑和惶恐中解救出來,，并推動了數(shù)學的向前發(fā)展,。所以，科學家們一致稱哥德爾的不完備性定理是劃時代的里程碑,。

　　哥德爾定理不但宣告了把數(shù)學徹底形式化的愿望是不可能實現(xiàn)的,，而且給數(shù)學中證明不可能問題開創(chuàng)了一條新路。例如,，希爾伯特在1900年國際數(shù)學家大會上提出的23個問題中,，第10個問題是：能不能找到一個辦法，用來判斷任何一個不定方程有沒有整數(shù)解,？應用哥德爾定理,，數(shù)學家們成功地解決了這一難題，其答案是“不可能”,。而這一問題答案的取得花了70年的時間,。

　　哥德爾定理的發(fā)現(xiàn)，使他受到普遍的崇敬。第二次世界大戰(zhàn)前夕,，他去美國普林斯頓高級研究所工作,，1951年獲得愛因斯坦勛章。大數(shù)學家馮·諾伊曼在授勛儀式上說：“哥德爾在現(xiàn)代邏輯中的成就是非凡的,，不朽的——它的不朽甚至超過了紀念碑,。”